Какие элементарные преобразования можно выполнять с матрицей. Матричная алгебра - элементарные преобразования матриц. Матрица, виды матриц, действия над матрицами

Элементарн ыми преобразованиями строк матрицы называется преобразования следующих типов:

1) Умножение каждого элемента некоторой строки на одно и то же ненулевое число. Остальные строки остаются без изменения (кратко: умножение строки на число).

2) Прибавление к каждому элементу некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на одно и то же число. Остальные строки (в том числе и прибавляемое) остаются без изменения (кратко: прибавление к строке другой, умноженной на число).

3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы. Остальные строки остаются без изменения.

Эти преобразования называются соответственно преобразованиями первого , второго и третьеготипа (рода ). Последовательно применяя их, мы получаем более сложные преобразования.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема

Преобразование третьего типа является некоторой комбинацией преобразований первого и второго типов .

Таким образом, преобразованием третьего типа можно отнести к более сложным, чем элементарные. Но его принято всё-же считать элементарным ради удобства.

Теорема

Любую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатой . Если к матрице применить элементарные преобразования строк и столбцов , то её можно привести к трапециедальному виду .

Например ,

á(1) Поменяли местами первую и вторую строки (преобразование третьего типа).

(2) Первую строку, умноженную на 2, прибавили ко второй и вычли из третьей, умноженную на 3, прибавили к четвёртой (преобразования второго типа).

(3) Вторую строку вычли из третьей и вторую строку, умноженную на 14/11 вычли из четвёртой.

(4) Поменяли местами третью и четвёртую строки.ñ

Таким образом, преобразовали исходную матрицу

в ступенчатую

Теперь, поменяв местами второй и третий столбец, а затем поменяв его же с четвёртым столбцом, перемещаем второй столбец на место четвёртого, третий и четвёртый столбцы окажутся соответственно на месте второго и третьего столбцов:

тем самым преобразовали исходную матрицу в трапециедальную.

Упражнения

Привести матрицу к ступенчатому и трапециедальному видам:

Следующие три операции называют элементарными преобразованиями строк матрицы :

1) Умножение i-й строки матрицы на число λ ≠ 0:

которое будем записывать в виде (i) → λ(i).

2) Перестановка двух строк в матрице, например i-й и k-й строк:

которую будем записывать в виде (i) ↔ (k).

3) Добавление к i-й строке матрицы ее k-й строки с коэффициентом λ:

что будем записывать в виде (i) → (i) + λ(k).

Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов .

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование , которое преобразованную матрицу превращает в исходную. Например, обратным преобразованием для перестановки двух строк является перестановка тех же строк.

Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы А можно трактовать как умножение A слева (справа) на матрицу специального вида. Эта матрица получается, если то же преобразование выполнить над единичной матрицей . Рассмотрим подробнее элементарные преобразования строк.

Пусть матрица B получается в результате умножения i-й строки матрицы A типа m×n на число λ ≠ 0. Тогда B = Е i (λ)А, где матрица Е i (λ) получается из единичной матрицы E порядка m умножением ее i-й строки на число λ.

Пусть матрица B получается в результате перестановки i-й и k-й строк матрицы А типа m×n. Тогда B = F ik А, где матрица F ik получается из единичной матрицы E порядка m перестановкой ее i-й и k-й строк.

Пусть матрица B получается в результате добавления к i-й строке матрицы А типа m×n ее k-й строки с коэффициентом λ. Тогда B = G ik (λ)А, где матрица G ik получается из единичной матрицы E порядка m в результате добавления к i-й строке k-й строки с коэффициентом λ, т.е. на пересечении i-й строки и k-го столбца матрицы E нулевой элемент заменен на число λ.

Точно так же реализуются элементарные преобразования столбцов матрицы A, но при этом она умножается на матрицы специального вида не слева, а справа.

С помощью алгоритмов, которые основаны на элементарных преобразованиях строк и столбцов, матрицы можно преобразовывать к различному виду. Один из важнейших таких алгоритмов составляет основу доказательства следующей теоремы.

Теорема 10.1. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду .

◄ Доказательство теоремы состоит в построении конкретного алгоритма приведения матрицы к ступенчатому виду. Этот алгоритм состоит в многократном повторении в определенном порядке трех операций, связанных с некоторым текущим элементом матрицы, который выбирается исходя из расположения в матрице. На первом шаге алгоритма в качестве текущего элемента матрицы выбираем верхний левый, т.е. [A] 11 .

1*. Если текущий элемент равен нулю, переходим к операции 2*. Если же он не равен нулю, то строку, в которой расположен текущий элемент (текущую строку), добавляем с соответствующими коэффициентами к строкам, расположенным ниже, так, чтобы все элементы матрицы, стоящие в столбце под текущим элементом, обратились в нуль. Например, если текущий элемент есть [A] ij , то в качестве коэффициента для k-й строки, k = i + 1, ... , нам следует взять число - [A] kj /[A] ij . Выбираем новый текущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо и на одну строку вниз, и переходим к следующему шагу, повторяя операцию 1*. Если такое смещение невозможно, т.е. достигнут последний столбец или строка, преобразования прекращаем.

2*. Если текущий элемент в некоторой строке матрицы равен нулю, то просматриваем элементы матрицы, расположенные в столбце под текущим элементом. Если среди них нет ненулевых, переходим к операции 3*. Пусть в k-й строке под текущим элементом находится ненулевой элемент. Меняем местами текущую и k-ю строки и возвращаемся к операции 1*.

3*. Если текущий элемент и все элементы под ним (в том же столбце) равны нулю, меняем текущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо. Если такое смещение возможно, т. е. текущий элемент находится не в самом правом столбце матрицы, то повторяем операцию 1* . Если же мы уже достигли правого края матрицы и смена текущего элемента невозможна, то матрица имеет ступенчатый вид, и мы можем прекратить преобразования.

Так как матрица имеет конечные размеры , а за один шаг алгоритма положение текущего элемента смещается вправо хотя бы на один столбец, процесс преобразований закончится, причем не более чем за n шагов (n - количество столбцов в матрице). Значит, наступит момент, когда матрица будет иметь ступенчатый вид.

Пример 10.10. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Используя алгоритм из доказательства теоремы 10.1 и записывая матрицы после окончания выполнения его операций, получаем

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Свойства

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :

• перестановку уравнений;
• умножение уравнения на ненулевую константу;
• сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение: Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Нахождение обратных матриц

Теорема (о нахождении обратной матрицы). Пусть определитель матрицы не равен нулю, пусть матрица определяется выражением . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы к единичной матрице в составе одновременно происходит преобразование к .

Приведение матриц к ступенчатому виду

Введём понятие ступенчатых матриц: Матрица имеет ступенчатый вид , если: Тогда справедливо следующее утверждение:

Связанные определения

Элементарная матрица. Матрица А является элементарной, если умножение на нее произвольной матрицы В приводит к элементарным преобразованиям строк в матрице В.

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов . - 6-е изд., стер. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 280 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Элементарные преобразования матрицы" в других словарях:

Введение. Э. ч. в точном значении этого термина первичные, далее неразложимые ч цы, из к рых, по предположению, состоит вся материя. В совр. физике термин «Э. ч.» обычно употребляется не в своём точном значении, а менее строго для наименования… … Физическая энциклопедия

Введение. Э. ч. в точном значении этого термина первичные, далее неразложимые частицы, из которых, по предположению, состоит вся материя. В понятии «Э. ч.» в современной физике находит выражение идея о первообразных сущностях,… … Большая советская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Элементарными преобразованиями называют следующие действия над строками и столбцами матрицы A:

1) перестановку местами двух строк или столбцов матрицы;

2) умножение строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, то есть, если матрица B получена из матрицы A элементарными преобразованиями, то.

Доказательство. 1). При перестановке местами двух столбцов матрицы максимальное число линейно независимых столбцов не меняется, а значит, не меняется и её ранг.

2). Пусть матрица Bполучена из матрицыAумножениемi- ой строки на числоt0 иr(A) =k. Очевидно, любой минор матрицыB, не содержащийi- тую строку, равен соответствующему минору матрицыA, а любой минор матрицыB, содержащийi-тую строку, равен соответствующему минору матрицыAумноженному на числоt. Следовательно, минор порядкаkматрицыB, соответствующий базисному минору матрицыA, будет отличен от нуля, а все миноры порядкаk+1 матрицыB, как и все миноры порядкаk+1 матрицыA, будут равны нулю. А это значит, чтоr(B)=k=r(A).

3). Пусть матрица Bполучена из матрицыAприбавлениемi- ой строки кj-той строке иr(A) =k. Миноры порядкаk+1 матрицыB, не содержащиеj-тую строку, будут равны соответствующим минорам матрицыA, и поэтому равны нулю. Миноры порядкаk+1 матрицыB, содержащиеi- тую иj-тую строки, будут равны сумме двух нулевых определителей. Один из этих определителей содержит две одинаковых строки (вj-той строке расположены элементыi–той строки), а второй определитель является минором порядкаk+1 матрицыAи поэтому равен нулю. Миноры порядкаk+1 матрицыB, содержащиеj-тую строку, но не содержащиеi-тую строку, будут равны сумме двух миноров порядкаk+1 матрицыAи поэтому тоже будут равны нулю. Следовательно, все миноры порядкаk+1 матрицыBравны 0 иr(B)k=r(A).

Пусть матрица Cполучена из матрицыBумножениемi–той строки на (-1). Тогда матрицаAполучается из матрицыCприбавлениемi–той строки кj-той строке и умножениемi–той строки на (-1). Следовательно, как было доказано выше, будетr(A)r(C) =r(B). Таким образом, одновременно справедливы неравенстваr(B)r(A) иr(A)r(B) откуда следует, чтоr(A) =r(B).

Это свойство элементарных преобразований используют на практике для вычисления ранга матрицы. Для этого, при помощи элементарных преобразований, приводят данную (ненулевую) матрицу A к трапецевидной форме, то есть к виду

B = ,

где элементы для всех i = 1,2,...,k; элементыдля всех i > j и

i > k. Очевидно, что r(B) = k, то есть ранг матрицы Bравен числу ненулевых строк. Это следует из того, что минор порядка k матрицыB, расположенный на пересечении первых k строк и столбцов, является определителем диагонального вида и равен; а любой минор порядка k+1 матрицы В содержит нулевую строку, а значит, равен 0 (либо, если k = n, таких миноров нет вообще).

Теорема. Любую ненулевую матрицуAразмерностиmnможно привести к трапецевидной форме при помощи элементарных преобразований.

Доказательство. Так какA0, то существует элемент матрицы
. Переставив местами первую иi-тую строки, первый иj-тый столбцы, переместим элементв левый верхний угол матрицы и обозначим
. Затем кi-той строке полученной матрицы (i= 2,3, …,m) прибавим первую строку, умноженную на число. В результате этих элементарных преобразований получим матрицу

A
.

Если все элементы
матрицыAравны нулю, то теорема доказана. Если же существует элемент
, то, перестановкой второй иi-той строк, второго иj-того столбцов матрицыA, переместим элементна место элементаи обозначим
(если
, тогда сразу обозначим
). Затем кi-той строке полученной матрицы (i= 3, …,m) прибавим вторую строку, умноженную на число. В результате получим матрицу

.

Продолжив этот процесс, за конечное число шагов получим матрицу B, то есть приведем матрицуAк трапецевидной форме.

Пример. Вычислим ранг матрицы



. Стрелками обозначены следующие элементарные преобразования: 1) переставили местами первую и вторую строки; 2) прибавили к четвертой строке третью; 3) прибавили к третьей строке первую, умноженную на -2, и четвертую строку поделили на 3; 4) поделили третью строку на 5 и переставили местами третью и четвертую строки; 5) к третьей строке, умноженной на -3, прибавили вторую строку и к четвертой строке прибавили третью. Видно, что матрица, полученная из матрицы А указанными элементарными преобразованиями, имеет трапецевидную форму с тремя ненулевыми строками. Следовательно, r(A) = 3.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k {\displaystyle k} , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k {\displaystyle k} , k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица A {\displaystyle A} может быть получена из B {\displaystyle B} путём элементарных преобразований (или наоборот).

Свойства

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} .

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :

• перестановку уравнений;
• умножение уравнения на ненулевую константу;
• сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

То есть элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение: Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Нахождение обратных матриц

Теорема (о нахождении обратной матрицы). Пусть определитель матрицы A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} не равен нулю, пусть матрица B {\displaystyle B} определяется выражением B = [ A | E ] n × 2 n {\displaystyle B=_{n\times 2n}} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A {\displaystyle A} к единичной матрице E {\displaystyle E} в составе B {\displaystyle B} одновременно происходит преобразование E {\displaystyle E} к A − 1 {\displaystyle A^{-1}} .