Hem › Problem › Konstruera en så komplett graf som möjligt. Konstruktion av grafer baserat på deras egenskaper. Grafiska problem för att förstärka grundläggande begrepp

Konstruera en så komplett graf som möjligt. Konstruktion av grafer baserat på deras egenskaper. Grafiska problem för att förstärka grundläggande begrepp

Nyckelord:

grafiskt objekt
Datorgrafik
rastergrafik
Vektorgrafik
format grafiska filer

Teckningar, målningar, teckningar, fotografier och andra grafiska bilder kommer att kallas grafiska objekt.

3.2.1. Användningsområden för datorgrafik

Datorgrafik har blivit en del av vårt dagligt liv. Det gäller:

för en visuell presentation av resultaten av mätningar och observationer (till exempel data om klimatförändringar under en lång period, om dynamiken i djurpopulationer, om det ekologiska tillståndet i olika regioner, etc.), resultaten av sociologiska undersökningar, planerade indikatorer, statistiska data, resultaten av ultraljudsstudier inom medicin, etc.;
när man utvecklar inrednings- och landskapsdesign, designar nya byggnader, tekniska anordningar och andra produkter;
i simulatorer och datorspel för att simulera olika typer av situationer som uppstår, till exempel under flygning av ett flygplan eller rymdfarkost, förflyttning av en bil, etc.;
när du skapar alla typer av specialeffekter i filmbranschen;
när man utvecklar moderna användargränssnitt programvara och nätverksinformationsresurser;
för mänskliga kreativa uttryck (digital fotografi, digital målning, datoranimation, etc.).

Exempel på datorgrafik visas i fig. 3.5.

Ris. 3.5.
Exempel på datorgrafik

http://snowflakes.barkleyus.com/ - med hjälp av datorverktyg kan du "klippa ut" vilken snöflinga som helst;
http://www.pimptheface.com/create/ - du kan skapa ett ansikte med hjälp av ett stort bibliotek av läppar, ögon, ögonbryn, frisyrer och andra fragment;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - försök att välja nya möbler och ytbehandlingsmaterial för ditt rum.

3.2.2. Metoder för att skapa digital grafik

Grafiska objekt skapade eller bearbetade med hjälp av en dator lagras på datormedia; vid behov kan de tryckas på papper eller andra lämpliga medier (film, kartong, tyg, etc.).

Vi kommer att kalla grafiska objekt på datormedia digitala grafiska objekt.

Det finns flera sätt att skaffa digitala grafiska objekt.

kopiera färdiga bilder från en digitalkamera, från externa minnesenheter eller "ladda ner" dem från Internet;
inmatning av grafiska bilder som finns på papper med hjälp av en skanner;
skapa ny grafik med programvara.

Funktionsprincipen för skannern är att dela bilden som är tillgänglig på papper i små kvadrater - pixlar, bestämma färgen på varje pixel och lagra den i binär kod i datorns minne.

Kvaliteten på bilden som erhålls som ett resultat av skanning beror på storleken på pixeln: ju mindre pixel, desto fler pixlar kommer originalbilden att delas upp i och desto mer fullständig information om bilden överförs till datorn.

Pixelstorlekar beror på skannerns upplösning, som vanligtvis uttrycks i dpi (dot per inch - dots per inch 1) och anges av ett par siffror (till exempel 600 x 1200 dpi). Den första siffran är antalet pixlar som kan extraheras av skannern i en 1 tum lång bildlinje. Den andra siffran är antalet rader som en 1-tums hög bildremsa kan delas upp i.

1 tum är en längdenhet i det engelska måttsystemet, lika med 2,54 cm.

Uppgift. En färgbild som mäter 10 x 10 cm skannas, skannerupplösningen är 1200 x 1200 dpi, färgdjupet är 24 bitar. Vilken informationsvolym kommer den resulterande grafikfilen att ha?

Lösning. Den skannade bilden mäter cirka 4" x 4". Med hänsyn till skannerns upplösning kommer hela bilden att delas upp i 4 4 1200 1200 pixlar.

Svar: cirka 66 MB.

Vi rekommenderar att du tittar på animationerna "Scanners: Allmänna driftsprinciper", "Scanners: flatbed scanner", publicerade i Unified Collection of Digital Educational Resources (http://school-collection.edu.ru/). Dessa resurser hjälper dig att bättre förstå hur skanningsprocessen fungerar. Resursen "Digital Camera" kommer att illustrera hur digitala fotografier tas (Fig. 3.6).

Ris. 3.6.
Flatbäddsskanner och digitalkamera

3.2.3. Raster och vektorgrafik

Beroende på skapandemetod grafisk bild Det finns raster-, vektor- och fraktalgrafik.

Raster grafik

I rastergrafik Bilden bildas i form av ett raster - en samling punkter (pixlar) som bildar rader och kolumner. Varje pixel kan anta vilken färg som helst från en palett som innehåller miljontals färger. Färgnoggrannhet är den största fördelen med rastergrafik. När en rasterbild sparas i datorns minne lagras information om färgen på varje pixel som ingår i den.

Kvaliteten på en rasterbild ökar med antalet pixlar i bilden och antalet färger i paletten. Samtidigt ökar informationsvolymen för hela bilden. Stor informationsvolym är en av de största nackdelarna med rasterbilder.

Nästa nackdel med rasterbilder är förknippad med vissa svårigheter när du skalar dem. Sålunda, när en rasterbild reduceras, omvandlas flera närliggande pixlar till en, vilket leder till en förlust av klarhet i små detaljer i bilden. När en rasterbild förstoras läggs nya pixlar till, medan närliggande pixlar får samma färg och en stegeffekt uppstår (fig. 3.7).

Ris. 3.7.
Rasterbild och dess förstorade fragment

Rastergrafik skapas sällan för hand. Oftast erhålls de genom att skanna illustrationer eller fotografier framställda av konstnärer; På senare tid har digitalkameror använts i stor utsträckning för att mata in rasterbilder i en dator.

Vektorgrafik

Många grafiska bilder kan presenteras som en samling av segment, cirklar, bågar, rektanglar och andra geometriska former. Till exempel, bilden i fig. 3.8 består av cirklar, segment och en rektangel.

Ris. 3.8.
En bild gjord av cirklar, segment och en rektangel

Var och en av dessa figurer kan beskrivas matematiskt: segment och rektanglar - med koordinaterna för deras hörn, cirklar - med koordinaterna för deras centrum och radier. Dessutom kan du ställa in tjocklek och färg på linjer, fyllningsfärg och andra egenskaper för geometriska former. I vektorgrafik bilder skapas på basis av sådana datamängder (vektorer) som beskriver grafiska objekt och formler för deras konstruktion. När du sparar en vektorbild läggs information om de enklaste geometriska objekten som den utgör in i datorns minne.

Informationsvolymerna för vektorbilder är mycket mindre informationsvolymer rasterbilder. Till exempel, för att avbilda en cirkel med hjälp av rastergrafik, behöver du information om alla pixlar i det kvadratiska området där cirkeln är inskriven; För att avbilda en cirkel med vektorgrafik krävs bara koordinaterna för en punkt (mitten) och radien.

En annan fördel med vektorbilder är möjligheten att skala dem utan att förlora kvalitet (Fig. 3.9). Detta beror på det faktum att med varje transformation av ett vektorobjekt raderas den gamla bilden, och istället för den konstrueras en ny med hjälp av befintliga formler, men med hänsyn till de ändrade uppgifterna.

Ris. 3.9.
En vektorbild, dess konverterade fragment och de enklaste geometriska formerna från vilka detta fragment är "monterat"

Samtidigt kan inte varje bild representeras som en samling enkla geometriska former. Denna presentationsmetod är bra för ritningar, diagram, affärsgrafik och andra fall där det är särskilt viktigt att bibehålla skarpa och tydliga konturer av bilder.

Fraktalgrafik, liksom vektorgrafik, är baserad på matematiska beräkningar. Men, till skillnad från vektorgrafik, lagrar datorminnet inte beskrivningar av de geometriska former som utgör bilden, utan själva den matematiska formeln (ekvationen) som används för att konstruera bilden. Fraktalbilder är varierande och bisarra (Fig. 3.10).

Ris. 3.10.
Fraktal grafik

Du kan hitta mer fullständig information om denna fråga på Internet (till exempel på http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. Grafiska filformat

Ett grafikfilformat är ett sätt att representera grafisk data på externa media. Det finns raster- och vektorformat för grafiska filer, bland vilka det i sin tur finns universella grafiska format och proprietära (original) format för grafiska applikationer.

Universella grafikformat "förstås" av alla applikationer som fungerar med raster (vektor) grafik.

Det universella rastergrafikformatet är BMP-formatet. Grafikfiler i detta format har en stor informationsvolym, eftersom de allokerar 24 bitar för att lagra information om färgen på varje pixel.

Ritningar sparade i det universella bitmappsformatet GIF kan bara använda 256 olika färger. Denna palett är lämplig för enkla illustrationer och piktogram. Grafikfiler i detta format har en liten informationsvolym. Detta är särskilt viktigt för grafik som används i World Wide Web, vars användare vill att informationen de begärt ska visas på skärmen så snabbt som möjligt.

Det universella rasterformatet JPEG är designat speciellt för effektiv bildlagring fotografisk kvalitet. Moderna datorer ger återgivning av mer än 16 miljoner färger, varav de flesta helt enkelt inte går att urskilja för det mänskliga ögat. JPEG-format låter dig kassera de olika färgerna på närliggande pixlar som är "överdrivna" för mänsklig uppfattning. En del av den ursprungliga informationen går förlorad, men detta säkerställer en minskning av informationsvolymen (komprimering) av den grafiska filen. Användaren ges möjlighet att bestämma graden av filkomprimering. Om bilden som sparas är ett fotografi som ska skrivas ut på ett ark i stort format, är informationsförlust inte önskvärd. Om det här fotografiet läggs ut på en webbsida kan det säkert komprimeras tiotals gånger: den återstående informationen kommer att räcka för att återge bilden på skärmen.

Universal vektorgrafikformat inkluderar WMF-formatet, som används för att lagra en samling Microsoft-bilder (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Det universella EPS-formatet låter dig lagra information om både raster- och vektorgrafik. Det används ofta för att importera 2 filer till utskriftsprogram.

2 Processen att öppna en fil i ett program där den inte skapades.

Du kommer att bli bekant med dina egna format direkt i arbetet med grafiska applikationer. De bidrar bästa förhållandet filens bildkvalitet och informationsvolym, men stöds (dvs. känns igen och reproduceras) endast av applikationen själv som skapar filen.

Problem 1. För att koda en pixel används 3 byte. Fotot, som mäter 2048 x 1536 pixlar, sparades som en okomprimerad fil. Bestäm storleken på den resulterande filen.

Lösning.

Svar: 9 MB.

Problem 2. En okomprimerad bitmappsbild på 128 x 128 pixlar tar upp 2 KB minne. Vad är det högsta möjliga antalet färger i bildpaletten?

Lösning.

Svar: 2 färger - svart och vitt.

Det viktigaste

Datorgrafik är ett brett begrepp som syftar på: 1) olika typer av grafiska objekt skapade eller bearbetade med hjälp av datorer; 2) ett verksamhetsområde där datorer används som verktyg för att skapa och bearbeta grafiska objekt.

Beroende på metoden för att skapa en grafisk bild, särskiljs raster- och vektorgrafik.

I rastergrafik bildas en bild i form av ett raster - en samling punkter (pixlar) som bildar rader och kolumner. När en rasterbild sparas i datorns minne lagras information om färgen på varje pixel som ingår i den.

I vektorgrafik bildas bilder på basis av datamängder (vektorer) som beskriver ett visst grafiskt objekt och formler för deras konstruktion. När du sparar en vektorbild läggs information om de enklaste geometriska objekten som den utgör in i datorns minne.

Ett grafikfilformat är ett sätt att representera grafisk data på externa media. Det finns raster- och vektorformat av grafiska filer, bland vilka det i sin tur finns universella grafiska format och proprietära format för grafiska applikationer.

Frågor och uppgifter

Vad är datorgrafik?
Lista de huvudsakliga användningsområdena för datorgrafik.
Hur kan digital grafik produceras?
En färgbild som mäter 10 x 15 cm skannas, skannerupplösningen är 600 x 600 dpi, färgdjupet är 3 byte. Vilken informationsvolym kommer den resulterande grafikfilen att ha?
Vad är skillnaden mellan raster- och vektormetoder för att representera en bild?
Varför tror man att rasterbilder förmedlar färg mycket exakt?
Vilken operation för att konvertera en rasterbild leder till den största förlusten av dess kvalitet - förminskning eller förstoring? Hur kan du förklara detta?
Varför påverkar inte skalningen kvaliteten på vektorbilder?
Hur kan du förklara de olika grafiska filformaten?
Vad är den största skillnaden mellan universella grafikformat och proprietära grafikapplikationsformat?
Konstruera en så komplett graf som möjligt för begreppen i avsnitt 3.2.4.
Ge en detaljerad beskrivning av raster- och vektorbilder, och anger följande:
Ritningen på 1024 x 512 pixlar sparades som en okomprimerad 1,5 MB fil. Hur mycket information användes för att koda pixelns färg? Vilket är det maximala antalet färger i en palett som motsvarar detta färgdjup?
En okomprimerad bitmappsbild på 256 x 128 pixlar tar upp 16 KB minne. Vad är det högsta möjliga antalet färger i bildpaletten?

Grafik filformatär ett sätt att representera grafisk data på externa media. Skilja på raster- och vektorformat grafiska filer, bland vilka det i sin tur finns universella grafiska format Och egna (ursprungliga) format av grafiska applikationer.

Universella grafikformat "förstås" av alla applikationer som fungerar med raster (vektor) grafik.

Det universella rastergrafikformatet är BMP-format. Grafikfiler i detta format har en stor informationsvolym, eftersom de allokerar 24 bitar för att lagra information om färgen på varje pixel.

I ritningar sparade i en universell bitmapp GIF-format, du kan bara använda 256 olika färger. Denna palett är lämplig för enkla illustrationer och piktogram. Grafikfiler i detta format har en liten informationsvolym. Detta är särskilt viktigt för grafik som används på World Wide Web, där användare vill att informationen de begär ska visas på skärmen så snabbt som möjligt.

Universal raster JPEG-format Designad speciellt för effektiv lagring av bilder av fotografisk kvalitet. Moderna datorer kan återge mer än 16 miljoner färger, varav de flesta helt enkelt inte går att urskilja för det mänskliga ögat. JPEG-formatet låter dig kassera de olika färgerna på närliggande pixlar som är "överdrivna" för mänsklig uppfattning. En del av den ursprungliga informationen går förlorad, men detta säkerställer en minskning av informationsvolymen (komprimering) av den grafiska filen. Användaren ges möjlighet att bestämma graden av filkomprimering. Om bilden som sparas är ett fotografi som ska skrivas ut på ett ark i stort format, är informationsförlust inte önskvärd. Om detta foto placeras på en webbsida kan det säkert komprimeras tiotals gånger: den återstående informationen kommer att räcka för att återge bilden på skärmen.

Universal vektorgrafikformat inkluderar WMF-format, används för att lagra en samling Microsoft-bilder.

Universell EPS-format låter dig lagra information om både raster- och vektorgrafik. Det används ofta för att importera filer till tryckproduktionsprogram.

Du kommer att bli bekant med dina egna format direkt i arbetet med grafiska applikationer. De ger det bästa förhållandet mellan bildkvalitet och filinformationsvolym, men stöds (dvs. känns igen och spelas) endast av applikationen själv som skapar filen.

Uppgift 1.
För att koda en pixel används 3 byte. Fotot, som mäter 2048 x 1536 pixlar, sparades som en okomprimerad fil. Bestäm storleken på den resulterande filen.

Lösning:
i = 3 byte
K= 2048 1536
jag — ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (byte) = 9 (MB).

Svar: 9MB.

Uppgift 2.
En okomprimerad bitmappsbild på 128 x 128 pixlar tar upp 2 KB minne. Vad är det högsta möjliga antalet färger i bildpaletten?

Lösning:
K = 128 128
I = 2 KB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Svar: 2 färger - svart och vitt.

Det viktigaste:

Ett grafikfilformat är ett sätt att representera grafisk data på externa media. Det finns raster- och vektorformat av grafiska filer, bland vilka det i sin tur finns universella grafiska format och proprietära format för grafiska applikationer.

Grafteori är en gren av diskret matematik som studerar objekt representerade som individuella element (hörn) och samband mellan dem (bågar, kanter).

Grafteorin härstammar från lösningen av problemet med Königsbergsbroarna 1736 av den berömda matematikern Leonard Euler(1707-1783: född i Schweiz, bodde och arbetade i Ryssland).

Problem om Königsbergsbroarna.

Det finns sju broar i den preussiska staden Königsberg vid floden Pregal. Går det att hitta en promenadväg som korsar varje bro exakt en gång och som börjar och slutar på samma ställe?

En graf där det finns en rutt som börjar och slutar vid samma vertex och passerar längs alla kanterna på grafen exakt en gång kallasEuler graf.

Sekvensen av hörn (kanske upprepad) genom vilken den önskade rutten passerar, såväl som själva rutten, kallasEuler cykel .

Problemet med tre hus och tre brunnar.

Det finns tre hus och tre brunnar, på något sätt placerade på ett plan. Rita en stig från varje hus till varje brunn så att stigarna inte korsar varandra. Detta problem löstes (det visades att det inte finns någon lösning) av Kuratovsky (1896 - 1979) 1930.

Fyrfärgsproblemet. Dela upp ett plan i icke-korsande områden kallas med kort. Kartområden kallas angränsande om de har en gemensam gräns. Uppgiften är att färglägga kartan på ett sådant sätt att inte två närliggande områden målas med samma färg. Sedan slutet av 1800-talet har man känt till en hypotes om att fyra färger räcker för detta. Hypotesen har ännu inte bevisats.

Kärnan i den publicerade lösningen är att pröva ett stort men ändligt antal (cirka 2000) typer av potentiella motexempel till fyrfärgssatsen och visa att inte ett enda fall är ett motexempel. Denna sökning slutfördes av programmet på ungefär tusen timmars superdatordrift.

Det är omöjligt att kontrollera den resulterande lösningen "manuellt" - omfattningen av uppräkningen ligger utanför omfattningen av mänskliga förmågor. Många matematiker ställer frågan: kan ett sådant "programbevis" betraktas som ett giltigt bevis? Det kan trots allt finnas fel i programmet...

Således kan vi bara lita på författarnas programmeringskunskaper och tro att de gjorde allt rätt.

Definition 7.1. Räkna G= G(V, E) är en samling av två finita mängder: V – kallas många hörn och mängden E av par av element från V, dvs. EÍV´V, kallad många kanter, om paren är oordnade, eller många bågar, om paren är beställda.

I det första fallet, grafen G(V, E) kallad oorienterad, på sekunden - orienterad.

EXEMPEL. En graf med en uppsättning hörn V = (a,b,c) och en uppsättning kanter E =((a, b), (b, c))

EXEMPEL. En graf med V = (a,b,c,d,e) och E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (CD)),

Om e=(v 1 ,v 2), еОЕ, så säger de att kanten är e ansluter hörn v 1 och v 2.

Två hörn v 1,v 2 kallas intilliggande, om det finns en kant som förbinder dem. I denna situation kallas var och en av hörnen incident motsvarande kant .

Två olika revben intilliggande, om de har en gemensam vertex. I denna situation kallas var och en av kanterna tillfällig motsvarande vertex .

Antal grafens hörn G låt oss beteckna v, och antalet kanter är e:

Den geometriska representationen av graferna är som följer:

1) grafens spets är en punkt i rymden (på planet);

2) en kant av en oriktad graf – ett segment;

3) en båge av en riktad graf – ett riktat segment.

Definition 7.2. Om i kanten e=(v 1 ,v 2) förekommer v 1 =v 2, så kallas kanten e slinga. Om en graf tillåter loopar kallas den graf med slingor eller pseudograf .

Om en graf tillåter mer än en kant mellan två hörn, så kallas den multigraf .

Om varje hörn av en graf och/eller kant är märkt, kallas en sådan graf markant (eller lastad ). Bokstäver eller heltal används vanligtvis som märken.

Definition 7.3. Graf G (V , E ) kallad subgraf (eller del ) Graf G(V,E), Om V V, E E. Om V = V, Den där G kallad spännande subgraf G.

Exempel 7 . 1 . Givet en oriktad graf.

Definition 7.4. Grafen kallas komplett , Om några dess två hörn är förbundna med en kant. Komplett graf med n hörn betecknas med K n .

räknar K 2 , TO 3, TILL 4 och K 5 .

Definition 7.5. Graf G=G(V, E) kallas tvåhjärtbladig , Om V kan representeras som en förening av osammanhängande uppsättningar, säg V=AB, så varje kant har formen ( v i , v j), Var v i A Och v j B.

Varje kant förbinder en vertex från A till en vertex från B, men inga två hörn från A eller två hörn från B är anslutna.

En tvådelad graf kallas komplett tvåhjärtblad räkna K m , n, Om A innehåller m toppar, B innehåller n hörn och för varje v i A, v j B vi har ( v i , v j)E.

Alltså för alla v i A, Och v j B det finns en kant som förbinder dem.

K 12 K 23 K 22 K 33

Exempel 7 . 2 . Konstruera en komplett tvådelad graf K 2.4 och hela grafen K 4 .

Enhetsgrafn-dimensionell kubI n .

Grafens hörn är n-dimensionella binära uppsättningar. Kanter förbinder hörn som skiljer sig åt i en koordinat.

Exempel:

Det är tillrådligt att introducera begreppet graf efter att flera problem som liknar Problem 1 har analyserats, där den avgörande faktorn är grafisk representation. Det är viktigt att eleverna omedelbart inser att samma graf kan ritas olika sätt. Enligt min åsikt finns det inget behov av att ge en strikt definition av en graf, eftersom det är för krångligt och kommer bara att komplicera diskussionen. Till en början räcker det med ett intuitivt koncept. När du diskuterar begreppet isomorfism kan du lösa flera övningar för att identifiera isomorfa och icke-isomorfa grafer. En av de centrala punkterna i ämnet är satsen om pariteten för antalet udda hörn. Det är viktigt att eleverna till fullo förstår dess bevis och lär sig hur man tillämpar det på problemlösning. När man analyserar flera problem rekommenderar jag att man inte hänvisar till satsen, utan att man faktiskt upprepar dess bevis. Konceptet med grafanslutning är också oerhört viktigt. En meningsfull övervägande här är övervägandet av anslutningskomponenten; särskild uppmärksamhet måste ägnas åt detta. Euler-grafer är nästan ett spelämne.

Det första och främsta målet som måste eftersträvas när man studerar grafer är att lära skolbarn att se grafen i problemformuleringen och att korrekt översätta villkoret till grafteorin. Du bör inte berätta båda för alla i flera klasser i rad. Det är bättre att sprida klasserna över 2–3 läsår. (Bifogad är utvecklingen av lektionen "Begreppet en graf. Tillämpning av grafer för problemlösning" i årskurs 6).

2. Teoretiskt material för ämnet ”Graphs”.

Introduktion

Grafer är underbara matematiska objekt, med deras hjälp kan du lösa många olika, till det yttre olika problem. Det finns ett helt avsnitt i matematik - grafteori, som studerar grafer, deras egenskaper och tillämpningar. Vi kommer endast att diskutera de mest grundläggande begreppen, egenskaper hos grafer och några sätt att lösa problem.

Begreppet en graf

Låt oss överväga två problem.

Uppgift 1. Rymdkommunikation har etablerats mellan solsystemets nio planeter. Vanliga raketer flyger på följande rutter: Jorden - Merkurius; Pluto - Venus; Jorden - Pluto; Pluto - Merkurius; Merkurius - Wien; Uranus - Neptunus; Neptunus - Saturnus; Saturnus – Jupiter; Jupiter - Mars och Mars - Uranus. Är det möjligt att flyga med vanliga raketer från jorden till Mars?

Lösning: Låt oss rita ett diagram över tillståndet: vi kommer att avbilda planeterna som punkter och raketvägarna som linjer.

Nu står det direkt klart att det är omöjligt att flyga från jorden till Mars.

Uppgift 2. Tavlan har formen av ett dubbelkors, vilket erhålls genom att ta bort hörnrutorna från en 4x4 ruta.

Är det möjligt att kringgå det genom att flytta en schackriddare och återgå till den ursprungliga rutten, efter att ha besökt alla rutor exakt en gång?

Lösning: Låt oss numrera kvadraterna på tavlan i följd:

Och nu, med hjälp av figuren, kommer vi att visa att en sådan genomgång av tabellen, som anges i villkoret, är möjlig:

Vi övervägde två olika problem. Lösningarna på dessa två problem förenas dock av en gemensam idé - en grafisk representation av lösningen. Samtidigt visade sig bilderna som ritades för varje uppgift vara lika: varje bild består av flera punkter, av vilka några är sammankopplade med linjer.

Sådana bilder kallas grafer. Punkterna kallas toppar, och raderna – revben Graf. Observera att inte varje bild av denna typ kommer att kallas en graf. Till exempel. om du blir ombedd att rita en femhörning i din anteckningsbok, kommer en sådan ritning inte att vara en graf. Vi kommer att kalla en ritning av denna typ, som i de tidigare problemen, en graf om det finns någon specifik uppgift för vilken en sådan ritning konstruerades.

En annan anmärkning gäller grafens utseende. Försök att kontrollera att grafen för samma problem kan ritas på olika sätt; och vice versa, för olika uppgifter kan du rita grafer av samma utseende. Allt som spelar roll här är vilka hörn som är kopplade till varandra och vilka som inte är det. Till exempel kan grafen för uppgift 1 ritas annorlunda:

Sådana identiska, men olika ritade grafer kallas isomorf.

Grader av hörn och räkning av antalet kanter på en graf

Låt oss skriva ner ytterligare en definition: Graden av en vertex i en graf är antalet kanter som kommer ut från den. I detta avseende kallas en vertex med en jämn grad en jämn vertex, respektive en vertex med en udda grad kallas en udda vertex.

En av grafteorins huvudsatser är relaterad till begreppet vertexgrad - satsen om rättvisan i antalet udda hörn. Vi kommer att bevisa det lite senare, men först, för illustration, kommer vi att överväga problemet.

Uppgift 3. Det finns 15 telefoner i staden Malenky. Är det möjligt att koppla ihop dem med sladdar så att varje telefon är ansluten till exakt fem andra?

Lösning: Låt oss anta att en sådan koppling mellan telefoner är möjlig. Föreställ dig sedan en graf där hörnen representerar telefoner och kanterna representerar ledningarna som förbinder dem. Låt oss räkna hur många ledningar det finns totalt. Varje telefon har exakt 5 ledningar anslutna, d.v.s. graden av varje hörn i vår graf är 5. För att hitta antalet trådar måste du summera graderna för alla hörn i grafen och dividera det resulterande resultatet med 2 (eftersom varje tråd har två ändar, då när du summerar graderna kommer varje tråd att tas 2 gånger) . Men då blir antalet ledningar olika. Men detta nummer är inte ett heltal. Det betyder att vårt antagande att varje telefon kan kopplas till exakt fem andra visade sig vara felaktigt.

Svar. Det är omöjligt att ansluta telefoner på detta sätt.

Sats: Varje graf innehåller ett jämnt antal udda hörn.

Bevis: Antalet kanter på en graf är lika med halva summan av graderna på dess hörn. Eftersom antalet kanter måste vara ett heltal måste summan av graderna på hörnen vara jämna. Och detta är bara möjligt om grafen innehåller ett jämnt antal udda hörn.

Grafisk anslutning

Det finns ett annat viktigt begrepp relaterat till grafer - begreppet anslutning.

Grafen kallas sammanhängande, om två av dess hörn kan anslutas förbi, de där. kontinuerlig sekvens av kanter. Det finns ett antal problem vars lösning är baserad på konceptet grafanslutning.

Uppgift 4. Det finns 15 städer i landet Seven, varje stad är ansluten med vägar till minst sju andra. Bevisa att det är på modet att ta sig från varje stad till vilken annan som helst.

Bevis: Betrakta två godtyckliga städer A och B och anta att det inte finns någon väg mellan dem. Var och en av dem är ansluten med vägar till minst sju andra, och det finns ingen stad som är ansluten till båda städerna i fråga (annars skulle det finnas en väg från A till B). Låt oss rita en del av grafen som motsvarar dessa städer:

Nu syns det tydligt att vi har fått in minst 16 olika städer, vilket strider mot förutsättningarna för problemet. Detta betyder att påståendet har bevisats genom motsägelse.

Om vi tar hänsyn till den tidigare definitionen, kan uttalandet av problemet omformuleras på ett annat sätt: "Bevisa att vägdiagrammet för landet sju är anslutet."

Nu vet du hur en sammankopplad graf ser ut. En frånkopplad graf har formen av flera "bitar", som var och en är antingen en separat vertex utan kanter eller en sammankopplad graf. Du kan se ett exempel på en frånkopplad graf i figuren:

Varje sådan enskild bit kallas ansluten komponent i grafen. Varje ansluten komponent representerar en ansluten graf och alla påståenden som vi har bevisat för anslutna grafer håller för den. Låt oss titta på ett exempel på ett problem som använder en ansluten komponent:

Problem 5. I Far Far Away Kingdom finns bara en typ av transport - en flygande matta. Det finns 21 mattlinjer som lämnar huvudstaden, en från staden Dalniy och 20 från alla andra städer. Bevisa att du kan flyga från huvudstaden till staden Dalniy.

Bevis: Det är tydligt att om du ritar en graf över Rikets matta kan den vara osammanhängande. Låt oss titta på anslutningskomponenten som inkluderar kungarikets huvudstad. Det kommer 21 mattor från huvudstaden och 20 från vilken annan stad som helst utom staden Dalniy, därför är det nödvändigt, för att lagen om ett jämnt antal udda hörn ska uppfyllas, att staden Dalniy ingår i samma anslutningskomponent. Och eftersom den anslutna komponenten är en sammankopplad graf, så går det från huvudstaden en väg längs mattorna till staden Dalniy, vilket var det som behövde bevisas.

Euler-grafer

Du har förmodligen stött på uppgifter där du behöver rita en form utan att lyfta pennan från pappret och rita varje linje bara en gång. Det visar sig att ett sådant problem inte alltid är lösbart, d.v.s. Det finns figurer som inte kan ritas med denna metod. Frågan om lösbarheten av sådana problem ingår också i grafteorin. Det utforskades första gången 1736 av den store tyske matematikern Leonhard Euler och löste problemet med Königsberg-broarna. Därför kallas grafer som kan ritas på detta sätt Euler-grafer.

Uppgift 6. Är det möjligt att rita grafen som visas i figuren utan att lyfta pennan från pappret och rita varje kant exakt en gång?

Lösning. Om vi ritar grafen som anges i villkoret, kommer vi att gå in i varje vertex, förutom de första och sista, samma antal gånger som vi lämnar den. Det vill säga att alla hörn i grafen, utom två, måste vara jämna. Vår graf har tre udda hörn, så den kan inte ritas på det sätt som anges i villkoret.

Nu har vi bevisat satsen om Euler-grafer:

Sats: En Euler-graf måste ha högst två udda hörn.

Och avslutningsvis - problemet med Königsbergsbroarna.

Uppgift 7. Figuren visar ett diagram över broar i staden Königsberg.

Är det möjligt att ta en promenad så att man korsar varje bro exakt en gång?

3. Problem för ämnet "Graphs"

Konceptet med en graf.

1. På en 3x3 kvadratisk bräda placeras 4 riddare som visas i Fig. 1. Är det möjligt, efter att ha gjort flera drag med riddarna, att omorganisera dem till den position som visas i fig. 2?

Ris. 1

Ris. 2

Lösning. Låt oss numrera kvadraterna på tavlan som visas i figuren:

Låt oss tilldela en punkt på planet till varje cell, och om en cell kan nås genom att flytta en schackriddare från en cell, kommer vi att koppla motsvarande punkter med en linje. Den initiala och nödvändiga placeringen av riddarna visas i figurerna:

För varje sekvens av riddardrag kan deras ordning uppenbarligen inte ändras. Därför är det omöjligt att ordna om hästarna på det sätt som krävs.

2. I landet Digit finns det 9 städer med namnen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En resenär upptäckte att två städer är sammankopplade av ett flygbolag om och endast om den tvåsiffriga nummer som bildas av namnen städer, dividerat med 3. Är det möjligt att flyga från stad 1 till stad 9?

Lösning. Genom att tilldela en punkt till varje stad och koppla ihop punkterna med en linje, om summan av talen är delbar med 3, får vi en graf där talen 3, 5, 9 är kopplade till varandra, men inte kopplade till resten. Det betyder att du inte kan flyga från stad 1 till stad 9.

Grader av hörn och räkning av antalet kanter.

3. Det finns 100 städer i en stat, och varje stad har 4 vägar. Hur många vägar finns det i staten?

Lösning. Låt oss räkna det totala antalet vägar som lämnar staden - 100 . 4 = 400. Men med denna beräkning räknas varje väg 2 gånger - den lämnar en stad och går in i en annan. Det innebär att det är två gånger färre vägar totalt, d.v.s. 200.

4. Det är 30 personer i klassen. Kan det vara så att 9 personer har 3 vänner, 11 har 4 vänner och 10 har 5 vänner?

Svar. Nej (sats om pariteten för antalet udda hörn).

5. Kungen har 19 vasaller. Kan det vara så att varje vasall har 1, 5 eller 9 grannar?

Svar. Nej han kan inte.

6. Kan en stat där exakt 3 vägar går ut från varje stad ha exakt 100 vägar?

Lösning. Låt oss räkna antalet städer. Antalet vägar är lika med antalet städer x multiplicerat med 3 (antalet vägar som lämnar varje stad) och dividerat med 2 (se uppgift 3). Då är 100 = 3x/2 => 3x = 200, vilket inte kan hända med naturligt x. Det betyder att det inte kan finnas 100 vägar i ett sådant tillstånd.

7. Bevisa att antalet människor som någonsin har bott på jorden och gjort ett udda antal handslag är jämnt.

Beviset följer direkt av satsen om pariteten för antalet udda hörn i en graf.

Anslutningsmöjligheter.

8. På landet lämnar 100 vägar varje stad och från varje stad kan du ta dig till vilken annan som helst. En väg stängdes av för reparation. Bevisa att du nu kan ta dig från vilken stad som helst till vilken annan som helst.

Bevis. Låt oss överväga anslutningskomponenten, som inkluderar en av städerna, vars väg var stängd. Genom satsen om pariteten för antalet udda hörn inkluderar den även den andra staden. Det betyder att du fortfarande kan hitta en rutt och ta dig från en av dessa städer till en annan.

Euler-grafer.

9. Det finns en grupp öar förbundna med broar så att du från varje ö kan ta dig till vilken annan som helst. Turisten gick runt alla öarna och korsade varje bro en gång. Han besökte Threefold Island tre gånger. Hur många broar leder från Troyekratnoye om en turist

a) inte började med det och slutade inte med det?
b) började med det, men slutade inte med det?
c) började med det och slutade med det?

10. Bilden visar en park uppdelad i flera delar av staket. Är det möjligt att gå genom parken och dess omgivningar så att man kan klättra över varje staket en gång?

Null-graf och komplett graf.

Det finns några speciella grafer som förekommer i många tillämpningar av grafteori. För nu kommer vi återigen att betrakta grafen som ett visuellt diagram som illustrerar förloppet av sporttävlingar. Innan säsongsstarten, medan inga matcher har spelats ännu, finns det inga kanter i grafen. En sådan graf består endast av isolerade hörn, d.v.s. av hörn anslutna utan kanter. Vi kommer att kalla en graf av denna typ noll graf. I fig. 3 visar sådana grafer för fall då antalet kommandon, eller hörn, är 1, 2, 3, 4 och 5. Dessa nollgrafer betecknas vanligtvis med symbolerna O1, O2, O3, etc., så On är en noll a graf med n hörn och inga kanter.

Låt oss överväga ett annat extremfall. Låt oss anta att i slutet av säsongen spelar varje lag en match mot vart och ett av de andra lagen. Sedan på motsvarande graf kommer varje par av hörn att vara sammankopplade med en kant. En sådan graf kallas komplett graf. Figur 4 visar kompletta grafer med antalet hörn n = 1, 2, 3, 4, 5. Vi betecknar dessa kompletta grafer med U1, U2, U3, U4 respektive U5, så att grafen Un består av 11 hörn och kanter, som förbinder alla möjliga par av dessa hörn. Denna graf kan ses som en n-gon där alla diagonaler är ritade.

Att ha någon graf, till exempel grafen G som visas i fig. 1, kan vi alltid förvandla den till en komplett graf med samma hörn genom att lägga till de saknade kanterna (det vill säga kanter som motsvarar spel som ännu inte ska spelas). I fig. 5 gjorde vi detta för grafen i fig. 1 (spel som ännu inte har ägt rum visas med streckade linjer). Du kan också separat rita en graf som motsvarar framtida spel som ännu inte har spelats. För graf G kommer detta att resultera i grafen som visas i fig. 6.

Vi kallar denna nya graf komplementet till graf G; Det är vanligt att beteckna det med G1. Med komplementet till graf G1 får vi återigen graf G. Kanterna på båda graferna G1 och G bildar tillsammans en komplett graf.

Populär i kategorin: