بيت › مشاكل › قم ببناء رسم بياني كامل قدر الإمكان. بناء الرسوم البيانية على أساس خصائصها. مسائل الرسم البياني لتعزيز المفاهيم الأساسية

قم ببناء رسم بياني كامل قدر الإمكان. بناء الرسوم البيانية على أساس خصائصها. مسائل الرسم البياني لتعزيز المفاهيم الأساسية

الكلمات الدالة:

كائن رسومي
رسومات الحاسوب
الرسومات النقطية
رسومات فيكتور
تنسيقات الملفات الرسومية

سيتم تسمية الرسومات واللوحات والرسومات والصور الفوتوغرافية والصور الرسومية الأخرى بالكائنات الرسومية.

3.2.1. مجالات تطبيق الرسومات الحاسوبية

أصبحت رسومات الكمبيوتر جزءًا من أعمالنا الحياة اليومية. ينطبق:

للحصول على عرض مرئي لنتائج القياسات والملاحظات (على سبيل المثال، البيانات المتعلقة بتغير المناخ على مدى فترة طويلة، وعن ديناميكيات المجموعات الحيوانية، وعن الحالة البيئية لمختلف المناطق، وما إلى ذلك)، ونتائج المسوحات الاجتماعية، المخطط لها المؤشرات والبيانات الإحصائية ونتائج دراسات الموجات فوق الصوتية في الطب، وما إلى ذلك؛
عند تطوير التصميمات الداخلية والمناظر الطبيعية، وتصميم المباني الجديدة، الأجهزة التقنيةوغيرها من المنتجات؛
في أجهزة المحاكاة وألعاب الكمبيوتر لمحاكاة أنواع مختلفة من المواقف التي تنشأ، على سبيل المثال، أثناء رحلة طائرة أو مركبة فضائية، أو حركة السيارة، وما إلى ذلك؛
عند إنشاء جميع أنواع المؤثرات الخاصة في صناعة السينما؛
عند تطوير الحديثة واجهات المستخدم برمجةوموارد معلومات الشبكة؛
للتعبير الإبداعي البشري (التصوير الرقمي، الرسم الرقمي، الرسوم المتحركة بالكمبيوتر، إلخ).

تظهر أمثلة رسومات الكمبيوتر في الشكل. 3.5.

أرز. 3.5.
أمثلة على رسومات الحاسوب

http://snowflakes.barkleyus.com/ - باستخدام أدوات الكمبيوتر، يمكنك "قص" أي ندفة ثلج؛
http://www.pimptheface.com/create/ - يمكنك إنشاء وجه باستخدام مكتبة كبيرة من الشفاه والعينين والحواجب وتسريحات الشعر وأجزاء أخرى؛
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - حاول اختيار أثاث جديد ومواد تشطيب لغرفتك.

3.2.2. طرق إنشاء الرسومات الرقمية

يتم تخزين الكائنات الرسومية التي تم إنشاؤها أو معالجتها باستخدام الكمبيوتر على وسائط الكمبيوتر؛ إذا لزم الأمر، يمكن طباعتها على الورق أو أي وسيلة أخرى مناسبة (فيلم، كرتون، قماش، إلخ).

سوف نطلق على الكائنات الرسومية الموجودة على وسائط الكمبيوتر كائنات رسومية رقمية.

هناك عدة طرق للحصول على الكائنات الرسومية الرقمية.

نسخ الصور النهائية من كاميرا رقمية أو من أجهزة ذاكرة خارجية أو "تنزيلها" من الإنترنت؛
إدخال الصور الرسومية الموجودة على الورق باستخدام الماسح الضوئي؛
إنشاء رسومات جديدة باستخدام البرمجيات.

مبدأ تشغيل الماسح الضوئي هو تقسيم الصورة المتوفرة على الورق إلى مربعات صغيرة - بكسلات، وتحديد لون كل بكسل وتخزينها في رمز ثنائي في ذاكرة الكمبيوتر.

تعتمد جودة الصورة التي يتم الحصول عليها نتيجة للمسح الضوئي على حجم البكسل: كلما كان البكسل أصغر، زاد عدد البكسلات التي سيتم تقسيم الصورة الأصلية إليها وسيتم نقل معلومات أكثر اكتمالا حول الصورة إلى الكمبيوتر.

تعتمد أحجام البكسل على دقة الماسح الضوئي، والتي يتم التعبير عنها عادةً بـ dpi (نقطة في البوصة - نقاط في البوصة 1) ويتم تحديدها بزوج من الأرقام (على سبيل المثال، 600 × 1200 نقطة في البوصة). الرقم الأول هو عدد وحدات البكسل التي يمكن للماسح الضوئي استخراجها في خط صورة يبلغ طوله 1 بوصة. الرقم الثاني هو عدد الخطوط التي يمكن تقسيم شريط الصورة بارتفاع 1 بوصة.

1 بوصة هي وحدة الطول في نظام القياس الإنجليزي، وتساوي 2.54 سم.

مهمة. يتم مسح صورة ملونة بقياس 10 × 10 سم، ودقة الماسح الضوئي 1200 × 1200 نقطة في البوصة، وعمق الألوان 24 بت. أيّ حجم المعلوماتهل سيكون ملف الرسم الناتج؟

حل. تبلغ أبعاد الصورة الممسوحة ضوئيًا حوالي 4 × 4 بوصة. مع الأخذ في الاعتبار دقة الماسح الضوئي، سيتم تقسيم الصورة بأكملها إلى 4 4 1200 1200 بكسل.

الإجابة: حوالي 66 ميجابايت.

نوصي بمشاهدة الرسوم المتحركة "الماسحات الضوئية: المبادئ العامة للتشغيل"، "الماسحات الضوئية: الماسح الضوئي المسطح"، المنشورة في المجموعة الموحدة للموارد التعليمية الرقمية (http://school-collection.edu.ru/). ستساعدك هذه الموارد على فهم كيفية عمل عملية المسح بشكل أفضل. سيوضح مورد "الكاميرا الرقمية" كيفية التقاط الصور الرقمية (الشكل 3.6).

أرز. 3.6.
الماسح الضوئي المسطح والكاميرا الرقمية

3.2.3. الرسومات النقطية والمتجهة

اعتمادا على طريقة الخلق صورة بيانيةهناك رسومات نقطية ومتجهة وكسورية.

الرسومات النقطية

في الرسومات النقطيةيتم تشكيل الصورة على شكل نقطية - مجموعة من النقاط (البكسلات) تشكل صفوفًا وأعمدة. يمكن لكل بكسل أن يأخذ أي لون من لوحة تحتوي على ملايين الألوان. دقة الألوان هي الميزة الرئيسية للرسومات النقطية. عندما يتم حفظ صورة نقطية في ذاكرة الكمبيوتر، يتم تخزين معلومات حول لون كل بكسل مضمن فيها.

تزداد جودة الصورة النقطية بزيادة عدد البكسلات في الصورة وعدد الألوان في اللوحة. وفي الوقت نفسه، يزداد حجم المعلومات في الصورة بأكملها. يعد حجم المعلومات الكبير أحد العيوب الرئيسية للصور النقطية.

يرتبط العيب التالي للصور النقطية ببعض الصعوبات عند قياسها. وبالتالي، عندما يتم تصغير الصورة النقطية، يتم تحويل العديد من البكسلات المجاورة إلى بكسل واحد، مما يؤدي إلى فقدان الوضوح في التفاصيل الصغيرة للصورة. عندما يتم تكبير الصورة النقطية، تتم إضافة وحدات بكسل جديدة إليها، بينما تأخذ وحدات البكسل المجاورة نفس اللون ويحدث تأثير الخطوة (الشكل 3.7).

أرز. 3.7.
الصورة النقطية وجزءها الموسع

نادرًا ما يتم إنشاء الرسومات النقطية يدويًا. في أغلب الأحيان يتم الحصول عليها عن طريق مسح الرسوم التوضيحية أو الصور الفوتوغرافية التي أعدها الفنانون؛ في الآونة الأخيرة، تم استخدام الكاميرات الرقمية على نطاق واسع لإدخال الصور النقطية إلى جهاز الكمبيوتر.

رسومات فيكتور

يمكن تقديم العديد من الصور الرسومية كمجموعة من القطاعات والدوائر والأقواس والمستطيلات والأشكال الهندسية الأخرى. على سبيل المثال، الصورة في الشكل. 3.8 يتكون من دوائر وقطاعات ومستطيل.

أرز. 3.8.
صورة مكونة من دوائر وقطاعات ومستطيل

يمكن وصف كل من هذه الأشكال رياضيًا: القطاعات والمستطيلات - بإحداثيات رؤوسها ودوائرها - بإحداثيات مراكزها وأنصاف أقطارها. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك ضبط سمك الخطوط ولونها ولون التعبئة والخصائص الأخرى للأشكال الهندسية. في رسومات فيكتوريتم تشكيل الصور على أساس مجموعات البيانات (المتجهات) التي تصف الكائنات الرسومية والصيغ الخاصة بإنشائها. عند حفظ صورة متجهة، يتم إدخال معلومات حول أبسط الكائنات الهندسية التي تتكون منها في ذاكرة الكمبيوتر.

أحجام المعلومات للصور المتجهة أقل بكثير من أحجام المعلومات للصور النقطية. على سبيل المثال، لتصوير دائرة باستخدام الرسومات النقطية، تحتاج إلى معلومات حول جميع وحدات البكسل الخاصة بالمنطقة المربعة التي تم إدراج الدائرة فيها؛ لتصوير دائرة باستخدام الرسومات المتجهة، يلزم فقط إحداثيات نقطة واحدة (المركز) ونصف القطر.

ميزة أخرى للصور المتجهة هي القدرة على تغيير حجمها دون فقدان الجودة (الشكل 3.9). ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع كل تحويل لكائن متجه، يتم حذف الصورة القديمة، ويتم إنشاء صورة جديدة بدلاً من ذلك باستخدام الصيغ الموجودة، ولكن مع مراعاة البيانات المتغيرة.

أرز. 3.9.
صورة متجهة وجزءها المحول وأبسط الأشكال الهندسية التي يتم "تجميع" هذا الجزء منها

وفي الوقت نفسه، لا يمكن تمثيل كل صورة كمجموعة من الأشكال الهندسية البسيطة. تعتبر طريقة العرض هذه جيدة للرسومات والرسوم البيانية ورسومات الأعمال وغيرها من الحالات التي يكون فيها الحفاظ على الخطوط العريضة الحادة والواضحة للصور ذا أهمية خاصة.

تعتمد الرسومات الكسورية، مثل الرسومات المتجهة، على الحسابات الرياضية. ولكن، على عكس الرسومات المتجهة، فإن ذاكرة الكمبيوتر لا تخزن أوصاف الأشكال الهندسية التي تشكل الصورة، ولكن الصيغة الرياضية (المعادلة) نفسها، والتي تستخدم لبناء الصورة. الصور الكسورية متنوعة وغريبة (الشكل 3.10).

أرز. 3.10.
رسومات كسورية

يمكنك العثور على مزيد من المعلومات الكاملة حول هذه المشكلة على الإنترنت (على سبيل المثال، على http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. تنسيقات الملفات الرسومية

يعد تنسيق ملف الرسومات طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. هناك النقطية و تنسيقات المتجهاتملفات الرسوم، من بينها، بدورها، هناك تنسيقات رسومية عالمية وتنسيقات خاصة (أصلية) لتطبيقات الرسوم.

يتم "فهم" تنسيقات الرسوم العالمية من خلال جميع التطبيقات التي تعمل مع الرسومات النقطية (المتجهة).

تنسيق الرسومات النقطية العالمي هو تنسيق BMP. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم كبير من المعلومات، حيث أنها تخصص 24 بت لتخزين معلومات حول لون كل بكسل.

يمكن للرسومات المحفوظة بتنسيق الصورة النقطية العالمي GIF أن تستخدم 256 لونًا مختلفًا فقط. هذه اللوحة مناسبة للرسوم التوضيحية والصور التوضيحية البسيطة. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم معلومات صغير. وهذا مهم بشكل خاص للرسومات المستخدمة في شبكة الانترنت، والذي يريد مستخدموه ظهور المعلومات التي طلبوها على الشاشة في أسرع وقت ممكن.

تم تصميم التنسيق النقطي العالمي JPEG خصيصًا لتخزين الصور بكفاءة جودة التصوير الفوتوغرافي. أجهزة الكمبيوتر الحديثةتوفير إعادة إنتاج أكثر من 16 مليون لون، معظمها لا يمكن تمييزه بالعين البشرية. تنسيق جبيغيسمح لك بالتخلص من مجموعة متنوعة من ألوان وحدات البكسل المجاورة التي تعتبر "مفرطة" بالنسبة للإدراك البشري. يتم فقدان بعض المعلومات الأصلية، ولكن هذا يضمن تقليل حجم المعلومات (ضغط) ملف الرسوم. يتم منح المستخدم الفرصة لتحديد درجة ضغط الملف. إذا كانت الصورة التي يتم حفظها هي صورة من المفترض أن تتم طباعتها على ورقة كبيرة الحجم، فإن فقدان المعلومات أمر غير مرغوب فيه. إذا تم نشر هذه الصورة على صفحة ويب، فيمكن ضغطها بأمان عشرات المرات: وستكون المعلومات المتبقية كافية لإعادة إنتاج الصورة على شاشة العرض.

تتضمن تنسيقات الرسومات المتجهة العالمية تنسيق WMF، المستخدم لتخزين مجموعة من صور Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

يتيح لك تنسيق EPS العالمي تخزين معلومات حول الرسومات النقطية والمتجهة. يتم استخدامه غالبًا لاستيراد ملفين إلى برامج الطباعة.

2 عملية فتح ملف في برنامج لم يتم إنشاؤه فيه.

سوف تصبح على دراية بالتنسيقات الخاصة بك مباشرةً أثناء عملية العمل بها التطبيقات الرسومية. انهم يقدموا أفضل نسبةجودة الصورة وحجم معلومات الملف، ولكن يتم دعمهما (أي يتم التعرف عليهما وإعادة إنتاجهما) فقط بواسطة التطبيق نفسه الذي يقوم بإنشاء الملف.

المشكلة 1. لتشفير بكسل واحد، يتم استخدام 3 بايت. تم حفظ الصورة بأبعاد 2048 × 1536 بكسل كملف غير مضغوط. تحديد حجم الملف الناتج.

حل.

الجواب: 9 ميجا بايت.

المشكلة 2. تستهلك الصورة النقطية غير المضغوطة مقاس 128 × 128 بكسل 2 كيلو بايت من الذاكرة. ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في لوحة الصور؟

حل.

الجواب: لونين - أبيض وأسود.

الأكثر أهمية

رسومات الكمبيوتر هي مفهوم واسع يشير إلى: 1) أنواع مختلفة من الكائنات الرسومية التي تم إنشاؤها أو معالجتها باستخدام أجهزة الكمبيوتر؛ 2) مجال النشاط الذي تستخدم فيه أجهزة الكمبيوتر كأدوات لإنشاء ومعالجة الكائنات الرسومية.

اعتمادا على طريقة إنشاء صورة رسومية، يتم تمييز الرسومات النقطية والمتجهة.

في الرسومات النقطية، يتم تشكيل الصورة على شكل خطوط نقطية - مجموعة من النقاط (البكسلات) تشكل صفوفًا وأعمدة. عندما يتم حفظ صورة نقطية في ذاكرة الكمبيوتر، يتم تخزين معلومات حول لون كل بكسل مضمن فيها.

في الرسومات المتجهة، يتم تشكيل الصور على أساس مجموعات البيانات (المتجهات) التي تصف كائنًا رسوميًا معينًا وصيغًا لبناءها. عند حفظ صورة متجهة، يتم إدخال معلومات حول أبسط الكائنات الهندسية التي تتكون منها في ذاكرة الكمبيوتر.

يعد تنسيق ملف الرسومات طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. هناك تنسيقات نقطية ومتجهة لملفات الرسوم، ومن بينها، بدورها، تنسيقات رسومية عالمية وتنسيقات خاصة للتطبيقات الرسومية.

الأسئلة والمهام

ما هي الرسومات الحاسوبية؟
اذكر المجالات الرئيسية لتطبيق رسومات الحاسوب.
كيف يمكن إنتاج الرسومات الرقمية؟
يتم مسح صورة ملونة بقياس 10 × 15 سم، دقة الماسح الضوئي 600 × 600 نقطة في البوصة، وعمق الألوان 3 بايت. ما هو حجم المعلومات الذي سيحتوي عليه ملف الرسم الناتج؟
ما الفرق بين الطرق النقطية والمتجهة لتمثيل الصورة؟
لماذا يُعتقد أن الصور النقطية تنقل الألوان بدقة شديدة؟
ما هي عملية تحويل الصورة النقطية التي تؤدي إلى أكبر خسارة لجودتها - التصغير أو التكبير؟ كيف تستطيع شرح هذا؟
لماذا لا يؤثر القياس على جودة الصور المتجهة؟
كيف يمكنك شرح تنوع تنسيقات الملفات الرسومية؟
ما هو الفرق الرئيسي بين تنسيقات الرسومات العالمية وتنسيقات تطبيقات الرسومات الخاصة؟
أنشئ رسمًا بيانيًا كاملاً قدر الإمكان للمفاهيم الواردة في القسم 3.2.4.
قم بتقديم وصف تفصيلي للصور النقطية والمتجهة، مع الإشارة إلى ما يلي:
تم حفظ الرسم بأبعاد 1024 × 512 بكسل كملف غير مضغوط بحجم 1.5 ميجابايت. ما مقدار المعلومات التي تم استخدامها لتشفير لون البكسل؟ ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في اللوحة المقابلة لعمق الألوان هذا؟
تشغل الصورة النقطية غير المضغوطة مقاس 256 × 128 بكسل 16 كيلو بايت من الذاكرة. ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في لوحة الصور؟

تنسيق ملف الرسوماتهي طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. يميز التنسيقات النقطية والمتجهةالملفات الرسومية، من بينها، بدورها، هناك صيغ الرسوم العالميةو التنسيقات الخاصة (الأصلية) للتطبيقات الرسومية.

يتم "فهم" تنسيقات الرسوم العالمية من خلال جميع التطبيقات التي تعمل مع الرسومات النقطية (المتجهة).

تنسيق الرسومات النقطية العالمي هو تنسيق بي إم بي. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم كبير من المعلومات، حيث أنها تخصص 24 بت لتخزين معلومات حول لون كل بكسل.

في الرسومات المحفوظة في صورة نقطية عالمية تنسيق GIF، يمكنك استخدام 256 لونًا مختلفًا فقط. هذه اللوحة مناسبة للرسوم التوضيحية والصور التوضيحية البسيطة. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم معلومات صغير. وهذا مهم بشكل خاص للرسومات المستخدمة على شبكة الويب العالمية، حيث يرغب المستخدمون في ظهور المعلومات التي يطلبونها على الشاشة في أسرع وقت ممكن.

النقطية العالمية تنسيق جبيغمصمم خصيصًا للتخزين الفعال للصور عالية الجودة. يمكن لأجهزة الكمبيوتر الحديثة إنتاج أكثر من 16 مليون لون، معظمها لا يمكن تمييزه بالعين البشرية. يتيح لك تنسيق JPEG التخلص من مجموعة متنوعة من ألوان وحدات البكسل المجاورة التي تعتبر "مفرطة" بالنسبة للإدراك البشري. يتم فقدان بعض المعلومات الأصلية، ولكن هذا يضمن تقليل حجم المعلومات (ضغط) ملف الرسوم. يتم منح المستخدم الفرصة لتحديد درجة ضغط الملف. إذا كانت الصورة التي يتم حفظها هي صورة من المفترض أن تتم طباعتها على ورقة كبيرة الحجم، فإن فقدان المعلومات أمر غير مرغوب فيه. إذا تم وضع هذه الصورة على صفحة ويب، فيمكن ضغطها بأمان عشرات المرات: وستكون المعلومات المتبقية كافية لإعادة إنتاج الصورة على شاشة العرض.

تتضمن تنسيقات الرسومات المتجهة العالمية تنسيق دبليو إم إف، يستخدم لتخزين مجموعة من صور ميكروسوفت.

عالمي تنسيق إبسيسمح لك بتخزين معلومات حول الرسومات النقطية والمتجهة. غالبًا ما يتم استخدامه لاستيراد الملفات إلى برامج إنتاج الطباعة.

سوف تتعرف على التنسيقات الخاصة بك مباشرة في عملية العمل مع التطبيقات الرسومية. إنها توفر أفضل نسبة لجودة الصورة وحجم معلومات الملف، ولكنها مدعومة (أي يتم التعرف عليها وتشغيلها) فقط من خلال التطبيق نفسه الذي يقوم بإنشاء الملف.

مهمة 1.
لتشفير بكسل واحد، يتم استخدام 3 بايت. تم حفظ الصورة بأبعاد 2048 × 1536 بكسل كملف غير مضغوط. تحديد حجم الملف الناتج.

حل:
أنا = 3 بايت
ك= 2048 1536
أنا - ؟

أنا = ك ط
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1.5 2 10 3 = 9 2 20 (بايت) = 9 (ميجابايت).

الجواب: 9 ميغا بايت.

المهمة 2.
تستهلك الصورة النقطية غير المضغوطة مقاس 128 × 128 بكسل 2 كيلو بايت من الذاكرة. ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في لوحة الصور؟

حل:
ك = 128 128
أنا = 2 كيلو بايت
ن -؟

أنا = ك ط
ط=أنا/ك
ن = 2 ط
ط = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (بت) .
ن = 2 1 = 2.

الجواب: لونين - أبيض وأسود.

الأكثر أهمية:

يعد تنسيق ملف الرسومات طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. هناك تنسيقات نقطية ومتجهة لملفات الرسوم، ومن بينها، بدورها، تنسيقات رسومية عالمية وتنسيقات خاصة للتطبيقات الرسومية.

نظرية الرسم البياني هي فرع من الرياضيات المنفصلة التي تدرس الكائنات الممثلة كعناصر فردية (القمم) والروابط بينها (الأقواس والحواف).

نشأت نظرية الرسم البياني من حل مشكلة جسور كونيجسبيرج في عام 1736 من قبل عالم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر(1707-1783: ولد في سويسرا، عاش وعمل في روسيا).

مشكلة حول جسور كونيجسبيرج.

هناك سبعة جسور في مدينة كونيغسبيرغ البروسية على نهر بريغال. هل من الممكن إيجاد طريق للمشي يعبر كل جسر مرة واحدة بالضبط ويبدأ وينتهي في نفس المكان؟

يسمى الرسم البياني الذي يوجد فيه مسار يبدأ وينتهي عند نفس الرأس ويمر على جميع حواف الرسم البياني مرة واحدة بالضبطالرسم البياني أويلر.

يتم استدعاء تسلسل القمم (ربما المتكرر) الذي يمر من خلاله المسار المطلوب، وكذلك المسار نفسهدورة أويلر .

مشكلة ثلاثة بيوت وثلاثة آبار.

هناك ثلاثة منازل وثلاثة آبار، تقع بطريقة أو بأخرى على متن طائرة. -رسم مسار من كل بيت إلى كل بئر حتى لا تتقاطع المسارات. تم حل هذه المشكلة (تبين أنه لا يوجد حل) على يد كوراتوفسكي (1896 - 1979) في عام 1930.

مشكلة الألوان الأربعة. يسمى تقسيم المستوى إلى مناطق غير متقاطعة بالبطاقة. تسمى مناطق الخريطة متجاورة إذا كان لها حدود مشتركة. تتمثل المهمة في تلوين الخريطة بحيث لا يتم رسم منطقتين متجاورتين بنفس اللون. منذ نهاية القرن التاسع عشر، عُرفت فرضية مفادها أن أربعة ألوان كافية لذلك. ولم يتم إثبات الفرضية بعد.

يتمثل جوهر الحل المنشور في تجربة عدد كبير ولكن محدود (حوالي 2000) من الأمثلة المضادة المحتملة لنظرية الألوان الأربعة وإظهار أنه لا توجد حالة واحدة تعتبر مثالًا مضادًا. تم الانتهاء من هذا البحث بواسطة البرنامج في حوالي ألف ساعة من تشغيل الكمبيوتر العملاق.

من المستحيل التحقق من الحل الناتج "يدويًا" - نطاق التعداد يتجاوز نطاق القدرات البشرية. يطرح العديد من علماء الرياضيات السؤال التالي: هل يمكن اعتبار مثل هذا "الدليل البرنامجي" دليلاً صالحًا؟ في النهاية قد تكون هناك أخطاء في البرنامج..

وبالتالي، لا يمكننا الاعتماد إلا على مهارات البرمجة للمؤلفين ونعتقد أنهم فعلوا كل شيء بشكل صحيح.

التعريف 7.1. عدد ز= ز(الخامس, ه) عبارة عن مجموعة من مجموعتين محدودتين: V - تسمى العديد من القمموالمجموعة E من أزواج العناصر من V، أي. EÍV´V، دعا العديد من الحواف، إذا كانت الأزواج غير مرتبة، أو العديد من الأقواس، إذا تم ترتيب الأزواج.

في الحالة الأولى، الرسم البياني ز(الخامس, ه) مُسَمًّى صعب، في الثانية - الموجهة.

مثال. رسم بياني بمجموعة الرؤوس V = (a,b,c) ومجموعة الحواف E =((a, b), (b, c))

مثال. رسم بياني مع V = (a,b,c,d,e) و E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (ج، د))،

إذا كانت e=(v 1 ,v 2), еОЕ، فإنهم يقولون أن الحافة هي e يربطالقمم الخامس 1 والخامس 2.

يتم استدعاء القمتين v 1,v 2 مجاورإذا كان هناك حافة تربط بينهما. في هذه الحالة، يتم استدعاء كل من القمم حادثة الحافة المقابلة .

ضلعين مختلفين مجاور، إذا كان لديهم قمة مشتركة. في هذه الحالة، يتم استدعاء كل من الحواف عرضي قمة المقابلة .

عدد رؤوس الرسم البياني زدعونا نشير الخامس، وعدد الحواف هو ه:

التمثيل الهندسي للرسوم البيانية هو كما يلي:

1) قمة الرسم البياني هي نقطة في الفضاء (على المستوى)؛

2) حافة الرسم البياني غير الموجه – قطعة؛

3) قوس الرسم البياني الموجه – الجزء الموجه.

التعريف 7.2.إذا حدث في الحافة e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2، فإن الحافة e تسمى حلقة. إذا كان الرسم البياني يسمح بالحلقات، فسيتم استدعاؤه الرسم البياني مع الحلقات أو رسم زائف .

إذا كان الرسم البياني يسمح بأكثر من حافة واحدة بين رأسين، فإنه يسمى multigraph .

إذا تمت تسمية كل قمة من الرسم البياني و/أو الحافة، فسيتم استدعاء هذا الرسم البياني ملحوظ (أو محمل ). عادة ما تستخدم الحروف أو الأعداد الصحيحة كعلامات.

التعريف 7.3.رسم بياني ز (الخامس , ه ) مُسَمًّى رسم بياني فرعي (أو جزء ) رسم بياني ز(الخامس,ه)، لو الخامس الخامس, ه ه. لو الخامس = الخامس، الذي - التي ز مُسَمًّى رسم بياني فرعي ممتد ز.

مثال 7 . 1 . نظرا لرسم بياني غير موجه.

التعريف 7.4.يسمى الرسم البياني مكتمل ، لو أي ترتبط قمته بحافة. الرسم البياني الكامل مع نيُشار إلى القمم بـ ك ن .

التهم ك 2 ، ل 3, ل 4 و ك 5 .

التعريف 7.5.رسم بياني ز=ز(الخامس, ه) يسمى ذو فلقتين ، لو الخامسيمكن تمثيلها كاتحاد لمجموعات مفككة، على سبيل المثال الخامس=أب، بحيث يكون لكل حافة الشكل ( الخامس أنا , الخامس ي)، أين الخامس أنا أو الخامس ي ب.

تربط كل حافة قمة من A إلى قمة من B، لكن لا يوجد رأسان من A أو رأسان من B متصلان.

يسمى الرسم البياني الثنائي ثنائي الفلقة كاملة عدد ك م , ن، لو أيتضمن مقمم, بيتضمن نالقمم ولكل الخامس أنا أ, الخامس ي بلدينا ( الخامس أنا , الخامس ي)ه.

وهكذا للجميع الخامس أنا أ، و الخامس ي بهناك حافة تربطهم.

ك 12 ك 23 ك 22 ك 33

مثال 7 . 2 . إنشاء رسم بياني ثنائي كامل ك 2.4 والرسم البياني الكامل ك 4 .

الرسم البياني للوحدةن-مكعب الأبعادفي ن .

رؤوس الرسم البياني عبارة عن مجموعات ثنائية ذات أبعاد n. تربط الحواف القمم التي تختلف في إحداثي واحد.

مثال:

من المستحسن تقديم مفهوم الرسم البياني بعد تحليل العديد من المشاكل المشابهة للمشكلة 1، والاعتبار الحاسم فيها هو التمثيل الرسومي. من المهم أن يدرك الطلاب على الفور أنه يمكن رسم نفس الرسم البياني طرق مختلفة. في رأيي، ليست هناك حاجة لإعطاء تعريف صارم للرسم البياني، لأنه فهو مرهق للغاية ولن يؤدي إلا إلى تعقيد المناقشة. في البداية، سيكون المفهوم البديهي كافيا. عند مناقشة مفهوم التماثل، يمكنك حل العديد من التمارين لتحديد الرسوم البيانية المتماثلة وغير المتماثلة. إحدى النقاط المركزية في الموضوع هي نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية. من المهم أن يفهم الطلاب دليله بشكل كامل وأن يتعلموا كيفية تطبيقه على حل المشكلات. عند تحليل العديد من المسائل، أوصي بعدم الرجوع إلى النظرية، ولكن في الواقع تكرار برهانها. يعد مفهوم اتصال الرسم البياني مهمًا للغاية أيضًا. ومن الاعتبارات المهمة هنا النظر في مكون الاتصال، ويجب إيلاء اهتمام خاص لذلك. تعتبر الرسوم البيانية لأويلر موضوعًا للعبة تقريبًا.

الهدف الأول والرئيسي الذي يجب تحقيقه عند دراسة الرسوم البيانية هو تعليم تلاميذ المدارس رؤية الرسم البياني في بيان المشكلة وترجمة الحالة بشكل صحيح إلى لغة نظرية الرسم البياني. لا يجب أن تخبر كلاهما للجميع في عدة فصول متتالية. من الأفضل توزيع الفصول الدراسية على 2-3 سنوات دراسية. (مرفق تطوير درس "مفهوم الرسم البياني. تطبيق الرسوم البيانية على حل المسائل" للصف السادس).

2. المادة النظرية لموضوع الرسوم البيانية.

مقدمة

الرسوم البيانية هي كائنات رياضية رائعة، مع مساعدتهم يمكنك حل الكثير من المهام المختلفة والمختلفة ظاهريا. يوجد قسم كامل في الرياضيات - نظرية الرسم البياني، الذي يدرس الرسوم البيانية وخصائصها وتطبيقاتها. سنناقش فقط المفاهيم الأساسية وخصائص الرسوم البيانية وبعض الطرق لحل المشكلات.

مفهوم الرسم البياني

دعونا نفكر في مشكلتين.

مهمة 1. تم إنشاء اتصالات فضائية بين الكواكب التسعة في النظام الشمسي. تطير الصواريخ العادية على الطرق التالية: الأرض - عطارد؛ بلوتو - كوكب الزهرة؛ الأرض - بلوتو؛ بلوتو - عطارد. عطارد - فيينا؛ أورانوس - نبتون. نبتون - زحل. زحل – المشتري. المشتري - المريخ والمريخ - أورانوس. هل يمكن الطيران بالصواريخ العادية من الأرض إلى المريخ؟

حل:لنرسم مخططًا للحالة: سنصور الكواكب كنقاط، ومسارات الصواريخ كخطوط.

أصبح من الواضح الآن على الفور أنه من المستحيل السفر من الأرض إلى المريخ.

المهمة 2. اللوحة لها شكل صليب مزدوج، ويتم الحصول عليها عن طريق إزالة مربعات الزاوية من مربع 4x4.

هل من الممكن تجاوزه عن طريق تحريك فارس الشطرنج والعودة إلى المربع الأصلي، بعد زيارة جميع المربعات مرة واحدة بالضبط؟

حل:لنقوم بترقيم مربعات اللوحة بالتسلسل:

والآن، باستخدام الشكل، سنوضح أن مثل هذا الاجتياز للجدول، كما هو موضح في الشرط، ممكن:

لقد نظرنا في مشكلتين مختلفتين. ومع ذلك، فإن حلول هاتين المشكلتين متحدتان بفكرة مشتركة - تمثيل رسومي للحل. وفي الوقت نفسه، تبين أن الصور المرسومة لكل مهمة متشابهة: كل صورة تتكون من عدة نقاط، بعضها متصل بخطوط.

تسمى هذه الصور الرسوم البيانية. يتم استدعاء النقاط قمم، والخطوط – ضلوعرسم بياني. لاحظ أنه لن يتم تسمية كل صورة من هذا النوع برسم بياني. على سبيل المثال. إذا طلب منك رسم البنتاغون في دفتر ملاحظاتك، فلن يكون هذا الرسم رسمًا بيانيًا. سوف نسمي الرسم من هذا النوع، كما في المسائل السابقة، رسمًا بيانيًا إذا كانت هناك مهمة محددة تم إنشاء هذا الرسم من أجلها.

ملاحظة أخرى تتعلق بمظهر الرسم البياني. حاول التأكد من إمكانية رسم الرسم البياني لنفس المشكلة بطرق مختلفة؛ والعكس صحيح، بالنسبة للمهام المختلفة، يمكنك رسم رسوم بيانية لها نفس المظهر. كل ما يهم هنا هو ما هي القمم المرتبطة ببعضها البعض والتي ليست كذلك. على سبيل المثال، يمكن رسم الرسم البياني للمهمة 1 بشكل مختلف:

تسمى هذه الرسوم البيانية المتطابقة ولكن المرسومة بشكل مختلف متماثل.

درجات القمم وحساب عدد حواف الرسم البياني

دعنا نكتب تعريفًا آخر: درجة الرأس في الرسم البياني هي عدد الحواف الخارجة منه. في هذا الصدد، تسمى القمة ذات الدرجة الزوجية قمة زوجية، على التوالي، تسمى قمة ذات درجة فردية قمة غريبة.

ترتبط إحدى النظريات الرئيسية لنظرية الرسم البياني بمفهوم درجة القمة - نظرية عدالة عدد القمم الفردية. سنثبت ذلك بعد قليل، ولكن أولاً، على سبيل المثال، سننظر في المشكلة.

المهمة 3. يوجد 15 هاتفًا في مدينة مالينكي. فهل يمكن ربطها بالأسلاك بحيث يتصل كل هاتف بخمسة هواتف أخرى بالضبط؟

حل:لنفترض أن مثل هذا الاتصال بين الهواتف ممكن. ثم تخيل رسمًا بيانيًا تمثل فيه القمم الهواتف، وتمثل الحواف الأسلاك التي تربطها. دعونا نحسب عدد الأسلاك الموجودة في المجموع. يحتوي كل هاتف على 5 أسلاك متصلة بالضبط، أي. درجة كل قمة من الرسم البياني لدينا هي 5. للعثور على عدد الأسلاك، تحتاج إلى جمع درجات جميع رؤوس الرسم البياني وتقسيم النتيجة الناتجة على 2 (نظرًا لأن كل سلك له طرفان، فعند جمع الدرجات، سيتم أخذ كل سلك مرتين) . ولكن بعد ذلك سيكون عدد الأسلاك مختلفًا. لكن هذا الرقم ليس عددًا صحيحًا. وهذا يعني أن افتراضنا بأن كل هاتف يمكن توصيله بخمسة هواتف أخرى بالضبط تبين أنه غير صحيح.

إجابة.من المستحيل توصيل الهواتف بهذه الطريقة.

نظرية: يحتوي أي رسم بياني على عدد زوجي من القمم الفردية.

دليل:عدد حواف الرسم البياني يساوي نصف مجموع درجات رؤوسه. بما أن عدد الأضلاع يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإن مجموع درجات الرءوس يجب أن يكون زوجيًا. وهذا ممكن فقط إذا كان التمثيل البياني يحتوي على عدد زوجي من الرءوس الفردية.

اتصال الرسم البياني

هناك مفهوم آخر مهم يتعلق بالرسوم البيانية وهو مفهوم الاتصال.

يسمى الرسم البياني متماسك،إذا كان من الممكن توصيل أي اثنين من رؤوسه بواسطة،أولئك. تسلسل مستمر من الحواف. هناك عدد من المشاكل التي يعتمد حلها على مفهوم اتصال الرسم البياني.

المهمة 4. هناك 15 مدينة في بلد السبعة، ترتبط كل مدينة عن طريق الطرق بسبعة مدن أخرى على الأقل. أثبت أنه من المألوف الانتقال من كل مدينة إلى أي مدينة أخرى.

دليل: فكر في مدينتين عشوائيتين A وB وافترض أنه لا يوجد طريق بينهما. وترتبط كل واحدة منها بطرق إلى سبع مدن أخرى على الأقل، ولا توجد مدينة متصلة بكلتا المدينتين المعنيتين (وإلا سيكون هناك طريق من أ إلى ب). لنرسم جزءًا من الرسم البياني المقابل لهذه المدن:

والآن أصبح من الواضح أننا استقبلنا ما لا يقل عن 16 مدينة مختلفة، وهو ما يتعارض مع ظروف المشكلة. وهذا يعني أن القول قد ثبت بالتناقض.

إذا أخذنا في الاعتبار التعريف السابق، فيمكن إعادة صياغة بيان المشكلة بطريقة أخرى: "إثبات أن الرسم البياني للطريق للبلد سبعة متصل".

الآن أنت تعرف كيف يبدو الرسم البياني المتصل. يتكون الرسم البياني المنفصل من عدة "قطع"، كل منها عبارة عن قمة منفصلة بدون حواف أو رسم بياني متصل. يمكنك مشاهدة مثال على رسم بياني غير متصل في الشكل:

يتم استدعاء كل قطعة فردية من هذا القبيل مكون متصل من الرسم البياني.يمثل كل مكون متصل رسمًا بيانيًا متصلًا وجميع البيانات التي أثبتناها بشأن الرسوم البيانية المتصلة تؤيده. دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة تستخدم مكونًا متصلاً:

المشكلة 5. في مملكة Far Far Away، يوجد نوع واحد فقط من وسائل النقل - السجادة الطائرة. هناك 21 خط سجاد يغادر العاصمة، واحد من مدينة دالني، و 20 من جميع المدن الأخرى، اثبت أنه يمكنك الطيران من العاصمة إلى مدينة دالني.

دليل:ومن الواضح أنك إذا قمت برسم رسم بياني لسجادة المملكة، فقد يكون غير متماسك. دعونا نلقي نظرة على مكون الاتصال الذي يشمل عاصمة المملكة. هناك 21 سجادة تخرج من العاصمة، و20 من أي مدينة أخرى باستثناء مدينة دالني، لذلك، من أجل استيفاء قانون العدد الزوجي للقمم الفردية، من الضروري إدراج مدينة دالني. في نفس مكون الاتصال. وبما أن المكون المتصل هو رسم بياني متصل، فمن العاصمة هناك طريق على طول السجاد إلى مدينة دالني، وهو ما يجب إثباته.

الرسوم البيانية أويلر

من المحتمل أنك واجهت مهام تحتاج فيها إلى رسم شكل دون رفع قلم الرصاص من الورقة ورسم كل سطر مرة واحدة فقط. اتضح أن مثل هذه المشكلة ليست قابلة للحل دائمًا، أي. هناك أشكال لا يمكن رسمها بهذه الطريقة. يتم أيضًا تضمين مسألة إمكانية حل مثل هذه المشكلات في نظرية الرسم البياني. تم استكشافها لأول مرة في عام 1736 من قبل عالم الرياضيات الألماني العظيم ليونارد أويلر، وحل مشكلة جسور كونيجسبيرج. ولذلك فإن الرسوم البيانية التي يمكن رسمها بهذه الطريقة تسمى رسوم بيانية أويلر.

المهمة 6. هل يمكن رسم الرسم البياني الموضح في الشكل دون رفع القلم الرصاص عن الورقة ورسم كل حافة مرة واحدة بالضبط؟

حل.إذا رسمنا الرسم البياني كما هو مذكور في الشرط، فإننا سوف ندخل كل قمة، باستثناء الأولية والنهائية، نفس عدد المرات التي نخرج منها. وهذا يعني أن جميع رؤوس الرسم البياني، باستثناء اثنين، يجب أن تكون زوجية. يحتوي الرسم البياني لدينا على ثلاث رؤوس فردية، لذا لا يمكن رسمه بالطريقة المحددة في الشرط.

لقد أثبتنا الآن نظرية الرسوم البيانية لأويلر:

نظرية: يجب أن يحتوي الرسم البياني لأويلر على رأسين فرديين على الأكثر.

وفي الختام - مشكلة جسور كونيجسبيرج.

المهمة 7. يوضح الشكل رسمًا تخطيطيًا للجسور في مدينة كونيجسبيرج.

هل من الممكن أن تمشي بحيث تعبر كل جسر مرة واحدة بالضبط؟

3. مشاكل موضوع "الرسوم البيانية"

مفهوم الرسم البياني.

1. على لوحة مربعة 3×3، تم وضع 4 فرسان كما هو موضح في الشكل 1. هل يمكن بعد القيام بعدة حركات مع الفرسان إعادة ترتيبهم إلى الوضع الموضح في الشكل 2؟

أرز. 1

أرز. 2

حل.لنقوم بترقيم مربعات اللوحة كما هو موضح في الشكل:

دعونا نخصص نقطة على المستوى لكل خلية، وإذا كان من الممكن الوصول إلى خلية واحدة عن طريق تحريك فارس الشطرنج من خلية واحدة، فسنربط النقاط المقابلة بخط. يظهر الموضع الأولي والمطلوب للفرسان في الأشكال:

بالنسبة لأي سلسلة من تحركات الفارس، من الواضح أن ترتيبها لا يمكن أن يتغير. لذلك، من المستحيل إعادة ترتيب الخيول بالشكل المطلوب.

2. في بلد الرقم يوجد 9 مدن بأسماء 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اكتشف أحد المسافرين أن مدينتين متصلتين بواسطة شركة طيران إذا وفقط إذا كان الرقم المكون من رقمين رقم مكون من أسماء المدن مقسوما على 3. هل يمكن الطيران جوا من المدينة 1 إلى المدينة 9؟

حل.وبتخصيص نقطة لكل مدينة وربط النقاط بخط، إذا كان مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3، نحصل على رسم بياني تكون فيه الأرقام 3، 5، 9 متصلة ببعضها البعض، ولكنها غير متصلة بالرقم استراحة. هذا يعني أنه لا يمكنك السفر من المدينة 1 إلى المدينة 9.

درجات القمم وحساب عدد الحواف.

3. هناك 100 مدينة في الولاية، ولكل مدينة 4 طرق. كم عدد الطرق الموجودة في الولاية؟

حل.لنحسب العدد الإجمالي للطرق التي تغادر المدينة - 100 . 4 = 400. ومع ذلك، مع هذا الحساب، يتم احتساب كل طريق مرتين - يغادر مدينة ويدخل أخرى. وهذا يعني أن إجمالي عدد الطرق أقل بمرتين، أي. 200.

4. هناك 30 شخصا في الفصل. هل يمكن أن يكون 9 أشخاص لديهم 3 أصدقاء، و11 لديهم 4 أصدقاء، و10 لديهم 5 أصدقاء؟

إجابة.لا (نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية).

5. للملك 19 تابعاً. هل يمكن أن يكون لكل تابع 1 أو 5 أو 9 جيران؟

إجابة.لا، هو لا يستطيع.

6. هل يمكن لولاية يخرج فيها 3 طرق بالضبط من كل مدينة أن يكون بها 100 طريق بالضبط؟

حل. دعونا نحسب عدد المدن. عدد الطرق يساوي عدد المدن × مضروبًا في 3 (عدد الطرق التي تغادر كل مدينة) ومقسمًا على 2 (انظر المشكلة 3). ثم 100 = 3x/2 => 3x = 200، وهو ما لا يمكن أن يحدث مع x الطبيعي. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك 100 طريق في مثل هذه الحالة.

7. أثبت أن عدد الأشخاص الذين عاشوا على الأرض وقاموا بالمصافحة بعدد فردي هو عدد زوجي.

يتبع الدليل مباشرة من نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية في الرسم البياني.

الاتصال.

8. في الدولة، يغادر كل مدينة 100 طريق ومن كل مدينة يمكنك الوصول إلى أي مدينة أخرى. وتم إغلاق طريق واحد للإصلاحات. أثبت أنه يمكنك الآن الانتقال من أي مدينة إلى أي مدينة أخرى.

دليل. لنفكر في مكون الاتصال، الذي يتضمن إحدى المدن التي تم إغلاق الطريق بينها. ومن خلال نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية، فإنها تشمل أيضًا المدينة الثانية. وهذا يعني أنه لا يزال بإمكانك العثور على طريق والانتقال من إحدى هذه المدن إلى أخرى.

الرسوم البيانية أويلر.

9. هناك مجموعة من الجزر متصلة ببعضها بواسطة جسور بحيث يمكنك الوصول من كل جزيرة إلى أي جزيرة أخرى. تجول السائح حول جميع الجزر، وعبر كل جسر مرة واحدة. زار جزيرة ثري فولد ثلاث مرات. كم عدد الجسور التي تؤدي من Troyekratnoye إذا كان سائحًا

أ) لم تبدأ به ولم تنتهي به؟
ب) بدأت به ولم تنتهي منه؟
ج) بدأت به وانتهيت به؟

10. تظهر الصورة حديقة مقسمة إلى عدة أجزاء بواسطة الأسوار. هل من الممكن المشي في الحديقة ومحيطها بحيث يمكنك تسلق كل سياج مرة واحدة؟

رسم بياني فارغ ورسم بياني كامل.

هناك بعض الرسوم البيانية الخاصة التي تظهر في العديد من تطبيقات نظرية الرسوم البيانية. في الوقت الحالي، سنعتبر الرسم البياني مرة أخرى بمثابة مخطط مرئي يوضح مسار المسابقات الرياضية. قبل بداية الموسم، على الرغم من عدم لعب أي مباراة حتى الآن، لا توجد حواف في الرسم البياني. يتكون هذا الرسم البياني من القمم المعزولة فقط، أي. من القمم متصلة بدون حواف. سوف نسمي الرسم البياني من هذا النوع رسم بياني فارغ. في التين. يوضح الشكل 3 مثل هذه الرسوم البيانية للحالات التي يكون فيها عدد الأوامر أو الرؤوس هو 1 و2 و3 و4 و5. عادةً ما يتم الإشارة إلى هذه الرسوم البيانية الخالية بالرموز O1 وO2 وO3 وما إلى ذلك، لذا فإن On هي قيمة فارغة. رسم بياني برؤوس n وبدون حواف.

دعونا نفكر في حالة متطرفة أخرى. لنفترض أنه في نهاية الموسم، يلعب كل فريق مباراة واحدة ضد كل فريق من الفرق الأخرى. ثم على الرسم البياني المقابل سيتم ربط كل زوج من القمم بواسطة حافة. يسمى هذا الرسم البياني الرسم البياني الكامل. يوضح الشكل 4 رسومًا بيانية كاملة بعدد القمم n = 1، 2، 3، 4، 5. نشير إلى هذه الرسوم البيانية الكاملة بـ U1 وU2 وU3 وU4 وU5، على التوالي، بحيث يتكون الرسم البياني Un من 11 رأسًا و حواف، وربط جميع الأزواج الممكنة من هذه القمم. يمكن اعتبار هذا الرسم البياني بمثابة شكل n يتم فيه رسم جميع الأقطار.

وجود بعض الرسوم البيانية، على سبيل المثال الرسم البياني G الموضح في الشكل. كما هو موضح في الشكل 1، يمكننا دائمًا تحويله إلى رسم بياني كامل بنفس القمم عن طريق إضافة الحواف المفقودة (أي الحواف المقابلة للألعاب التي لم يتم لعبها بعد). في التين. 5 فعلنا هذا للرسم البياني في الشكل. 1 (المباريات التي لم تقام بعد موضحة بالخطوط المنقطة). يمكنك أيضًا رسم رسم بياني يتوافق مع الألعاب المستقبلية التي لم يتم لعبها بعد. بالنسبة للرسم البياني G، سيؤدي ذلك إلى الرسم البياني الموضح في الشكل. 6.

نحن نسمي هذا الرسم البياني الجديد مكملاً للرسم البياني G؛ ومن المعتاد الإشارة إليه بـ G1. بأخذ تكملة الرسم البياني G1، نحصل مرة أخرى على الرسم البياني G. وتشكل حواف كلا الرسمين البيانيين G1 وG معًا رسمًا بيانيًا كاملاً.

شعبية في الفئة: