خانه › چالش ها و مسائل › تا حد امکان یک نمودار کامل بسازید. ساخت نمودارها بر اساس ویژگی های آنها. مشکلات نمودار برای تقویت مفاهیم اساسی

تا حد امکان یک نمودار کامل بسازید. ساخت نمودارها بر اساس ویژگی های آنها. مشکلات نمودار برای تقویت مفاهیم اساسی

کلید واژه ها:

شیء گرافیکی
گرافیک کامپیوتری
گرافیک شطرنجی
گرافیک برداری
فرمت های فایل های گرافیکی

طراحی، نقاشی، طراحی، عکس و سایر تصاویر گرافیکی را اشیاء گرافیکی می نامند.

3.2.1. زمینه های کاربرد گرافیک کامپیوتری

گرافیک کامپیوتری بخشی از ما شده است زندگی روزمره. اعمال می شود:

برای ارائه بصری نتایج اندازه گیری ها و مشاهدات (به عنوان مثال، داده های مربوط به تغییرات آب و هوایی در یک دوره طولانی، در مورد پویایی جمعیت حیوانات، در مورد وضعیت اکولوژیکی مناطق مختلف و غیره)، نتایج بررسی های جامعه شناختی، برنامه ریزی شده شاخص ها، داده های آماری، نتایج مطالعات اولتراسوند در پزشکی و غیره؛
هنگام توسعه طرح های داخلی و منظر، طراحی ساختمان های جدید، دستگاه های فنیو محصولات دیگر؛
در شبیه سازها و بازی های رایانه ای برای شبیه سازی انواع موقعیت هایی که به وجود می آیند، به عنوان مثال، در هنگام پرواز یک هواپیما یا فضاپیما، حرکت یک ماشین و غیره؛
هنگام ایجاد انواع جلوه های ویژه در صنعت فیلم؛
هنگام توسعه مدرن رابط های کاربری نرم افزارو منابع اطلاعاتی شبکه؛
برای بیان خلاق انسان (عکاسی دیجیتال، نقاشی دیجیتال، انیمیشن کامپیوتری و غیره).

نمونه هایی از گرافیک کامپیوتری در شکل نشان داده شده است. 3.5.

برنج. 3.5.
نمونه های گرافیک کامپیوتری

http://snowflakes.barkleyus.com/ - با استفاده از ابزارهای کامپیوتری می توانید هر دانه برفی را "برش دهید".
http://www.pimptheface.com/create/ - می توانید با استفاده از یک کتابخانه بزرگ از لب ها، چشم ها، ابروها، مدل مو و سایر قطعات یک چهره ایجاد کنید.
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - سعی کنید مبلمان و مواد تکمیلی جدید را برای اتاق خود انتخاب کنید.

3.2.2. روش های ایجاد گرافیک دیجیتال

اشیاء گرافیکی ایجاد شده یا پردازش شده با استفاده از رایانه در رسانه های رایانه ای ذخیره می شوند. در صورت لزوم، می توان آنها را روی کاغذ یا سایر رسانه های مناسب (فیلم، مقوا، پارچه و غیره) چاپ کرد.

ما اشیاء گرافیکی در رسانه های کامپیوتری را اشیاء گرافیکی دیجیتال می نامیم.

راه های مختلفی برای به دست آوردن اشیاء گرافیکی دیجیتال وجود دارد.

کپی کردن تصاویر تمام شده از یک دوربین دیجیتال، از دستگاه های حافظه خارجی یا "دانلود" آنها از اینترنت؛
ورودی تصاویر گرافیکی موجود بر روی کاغذ با استفاده از اسکنر.
ایجاد گرافیک جدید با استفاده از نرم افزار

اصل کار اسکنر این است که تصویر موجود بر روی کاغذ را به مربع های کوچک - پیکسل تقسیم می کند، رنگ هر پیکسل را تعیین می کند و آن را در کد باینری در حافظه رایانه ذخیره می کند.

کیفیت تصویری که در نتیجه اسکن به دست می آید به اندازه پیکسل بستگی دارد: هرچه پیکسل کوچکتر باشد، تصویر اصلی به پیکسل های بیشتری تقسیم می شود و اطلاعات کامل تری در مورد تصویر به رایانه منتقل می شود.

اندازه پیکسل ها به وضوح اسکنر بستگی دارد که معمولاً بر حسب dpi (نقطه در اینچ - نقطه در اینچ 1) بیان می شود و با یک جفت اعداد (مثلاً 600 x 1200 dpi) مشخص می شود. عدد اول تعداد پیکسل هایی است که می توان توسط اسکنر در یک خط تصویر به طول 1 اینچ استخراج کرد. عدد دوم تعداد خطوطی است که یک نوار تصویر به ارتفاع 1 اینچ را می توان به آنها تقسیم کرد.

1 اینچ یک واحد طول در سیستم اندازه گیری انگلیسی است که برابر با 2.54 سانتی متر است.

وظیفه. یک تصویر رنگی با ابعاد 10×10 سانتی متر اسکن می شود.رزولوشن اسکنر 1200×1200 dpi، عمق رنگ 24 بیت است. کدام حجم اطلاعاتآیا فایل گرافیکی حاصل خواهد شد؟

راه حل. اندازه تصویر اسکن شده تقریباً 4 اینچ در 4 اینچ است. با در نظر گرفتن وضوح اسکنر، کل تصویر به 4 4 1200 1200 پیکسل تقسیم می شود.

پاسخ: تقریباً 66 مگابایت.

توصیه می کنیم انیمیشن های "اسکنرها: اصول کلی عملکرد"، "اسکنرها: اسکنر تخت" را که در مجموعه یکپارچه منابع آموزشی دیجیتال (http://school-collection.edu.ru/) ارسال شده است، تماشا کنید. این منابع به شما کمک می کند تا نحوه عملکرد اسکن را بهتر درک کنید. منبع "دوربین دیجیتال" نحوه گرفتن عکس های دیجیتال را نشان می دهد (شکل 3.6).

برنج. 3.6.
اسکنر تخت و دوربین دیجیتال

3.2.3. گرافیک شطرنجی و برداری

بسته به روش ایجاد تصویر گرافیکیگرافیک شطرنجی، برداری و فراکتال وجود دارد.

گرافیک شطرنجی

که در گرافیک شطرنجیتصویر به شکل شطرنجی - مجموعه ای از نقاط (پیکسل) تشکیل شده است که ردیف ها و ستون ها را تشکیل می دهند. هر پیکسل می تواند هر رنگی را از یک پالت حاوی میلیون ها رنگ به خود بگیرد. دقت رنگ مزیت اصلی گرافیک شطرنجی است. هنگامی که یک تصویر شطرنجی در حافظه کامپیوتر ذخیره می شود، اطلاعات مربوط به رنگ هر پیکسل موجود در آن ذخیره می شود.

کیفیت یک تصویر شطرنجی با تعداد پیکسل های تصویر و تعداد رنگ ها در پالت افزایش می یابد. در همان زمان، حجم اطلاعات کل تصویر افزایش می یابد. حجم اطلاعات زیاد یکی از معایب اصلی تصاویر شطرنجی است.

نقطه ضعف بعدی تصاویر شطرنجی با برخی مشکلات در مقیاس گذاری آنها همراه است. بنابراین، هنگامی که یک تصویر شطرنجی کاهش می یابد، چندین پیکسل مجاور به یک پیکسل تبدیل می شوند که منجر به از دست دادن وضوح در جزئیات کوچک تصویر می شود. هنگامی که یک تصویر شطرنجی بزرگ می‌شود، پیکسل‌های جدیدی به آن اضافه می‌شوند، در حالی که پیکسل‌های همسایه همان رنگ را به خود می‌گیرند و یک افکت مرحله‌ای رخ می‌دهد (شکل 3.7).

برنج. 3.7.
تصویر شطرنجی و قطعه بزرگ شده آن

گرافیک های شطرنجی به ندرت با دست ایجاد می شوند. اغلب آنها با اسکن تصاویر یا عکس های تهیه شده توسط هنرمندان به دست می آیند. اخیراً دوربین های دیجیتال به طور گسترده ای برای وارد کردن تصاویر شطرنجی به رایانه مورد استفاده قرار گرفته اند.

گرافیک برداری

بسیاری از تصاویر گرافیکی را می توان به صورت مجموعه ای از بخش ها، دایره ها، کمان ها، مستطیل ها و سایر اشکال هندسی ارائه کرد. به عنوان مثال، تصویر در شکل. 3.8 از دایره ها، بخش ها و یک مستطیل تشکیل شده است.

برنج. 3.8.
تصویری که از دایره ها، بخش ها و یک مستطیل ساخته شده است

هر یک از این شکل ها را می توان به صورت ریاضی توصیف کرد: پاره ها و مستطیل ها - با مختصات رئوس آنها، دایره ها - با مختصات مراکز و شعاع آنها. علاوه بر این، می توانید ضخامت و رنگ خطوط، رنگ پر کردن و سایر ویژگی های اشکال هندسی را تنظیم کنید. که در گرافیک برداریتصاویر بر اساس چنین مجموعه های داده ای (بردارها) که اشیاء گرافیکی و فرمول های ساخت آنها را توصیف می کنند، تشکیل می شوند. هنگام ذخیره یک تصویر برداری، اطلاعات مربوط به ساده ترین اشیاء هندسی تشکیل دهنده آن در حافظه رایانه وارد می شود.

حجم اطلاعات تصاویر برداری به طور قابل توجهی کمتر از حجم اطلاعات تصاویر شطرنجی است. به عنوان مثال، برای به تصویر کشیدن یک دایره با استفاده از گرافیک شطرنجی، به اطلاعاتی در مورد تمام پیکسل های ناحیه مربعی که دایره در آن حک شده است نیاز دارید. برای به تصویر کشیدن یک دایره با استفاده از گرافیک برداری، فقط مختصات یک نقطه (مرکز) و شعاع مورد نیاز است.

یکی دیگر از مزیت های تصاویر برداری امکان مقیاس بندی آنها بدون از دست دادن کیفیت است (شکل 3.9). این به این دلیل است که با هر تبدیل یک شی برداری، تصویر قدیمی حذف می شود و به جای آن، یک تصویر جدید با استفاده از فرمول های موجود، اما با در نظر گرفتن داده های تغییر یافته ساخته می شود.

برنج. 3.9.
یک تصویر برداری، قطعه تبدیل شده آن و ساده ترین اشکال هندسی که این قطعه از آنها "مجموعه" شده است.

در عین حال، هر تصویر را نمی توان به عنوان مجموعه ای از اشکال هندسی ساده نشان داد. این روش ارائه برای طراحی ها، نمودارها، گرافیک های تجاری و موارد دیگر که حفظ خطوط واضح و واضح تصاویر از اهمیت ویژه ای برخوردار است خوب است.

گرافیک فراکتال مانند گرافیک برداری بر اساس محاسبات ریاضی است. اما، برخلاف گرافیک برداری، حافظه کامپیوتر توصیفات اشکال هندسی تشکیل دهنده تصویر را ذخیره نمی کند، بلکه خود فرمول ریاضی (معادله) را که برای ساختن تصویر استفاده می شود، ذخیره می کند. تصاویر فراکتال متنوع و عجیب هستند (شکل 3.10).

برنج. 3.10.
گرافیک فراکتال

اطلاعات کامل تری در مورد این موضوع می توانید در اینترنت بیابید (به عنوان مثال در http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. فرمت های فایل های گرافیکی

فرمت فایل گرافیکی راهی برای نمایش داده های گرافیکی در رسانه های خارجی است. شطرنجی و فرمت های برداریفایل های گرافیکی، که در میان آنها، به نوبه خود، فرمت های گرافیکی جهانی و فرمت های اختصاصی (اصلی) برنامه های گرافیکی وجود دارد.

فرمت های گرافیکی جهانی توسط همه برنامه هایی که با گرافیک های شطرنجی (وکتوری) کار می کنند، "درک" می شوند.

فرمت جهانی گرافیک شطرنجی فرمت BMP است. فایل های گرافیکی در این فرمت حجم اطلاعات زیادی دارند، زیرا 24 بیت را برای ذخیره اطلاعات مربوط به رنگ هر پیکسل اختصاص می دهند.

نقشه های ذخیره شده در قالب بیت مپ جهانی GIF فقط می توانند از 256 رنگ مختلف استفاده کنند. این پالت برای تصاویر ساده و پیکتوگرام مناسب است. فایل های گرافیکی با این فرمت حجم اطلاعات کمی دارند. این به ویژه برای گرافیک های مورد استفاده در آن بسیار مهم است شبکه جهانی وب، که کاربران می خواهند اطلاعات درخواستی آنها در سریع ترین زمان ممکن روی صفحه نمایش داده شود.

فرمت جهانی شطرنجی JPEG به طور خاص برای ذخیره سازی کارآمد تصویر طراحی شده است کیفیت عکاسی. کامپیوترهای مدرنتولید مثل بیش از 16 میلیون رنگ را فراهم می کند که اکثر آنها به سادگی برای چشم انسان قابل تشخیص نیستند. فرمت JPEGبه شما این امکان را می دهد که تنوع رنگ پیکسل های همسایه را که برای درک انسان "بیش از حد" هستند کنار بگذارید. برخی از اطلاعات اصلی از بین می رود، اما این امر کاهش حجم اطلاعات (فشرده سازی) فایل گرافیکی را تضمین می کند. به کاربر این فرصت داده می شود تا میزان فشرده سازی فایل را تعیین کند. اگر تصویر ذخیره شده عکسی است که قرار است روی یک صفحه با فرمت بزرگ چاپ شود، از دست دادن اطلاعات نامطلوب است. اگر این عکس در یک صفحه وب پست شود، می توان آن را ده ها بار به طور ایمن فشرده کرد: اطلاعات باقی مانده برای بازتولید تصویر روی صفحه نمایشگر کافی است.

فرمت های گرافیکی برداری جهانی شامل فرمت WMF است که برای ذخیره مجموعه ای از تصاویر مایکروسافت (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart) استفاده می شود.

فرمت جهانی EPS به شما امکان می دهد اطلاعات مربوط به گرافیک های شطرنجی و برداری را ذخیره کنید. اغلب برای وارد کردن 2 فایل به برنامه های چاپ استفاده می شود.

2 فرآیند باز کردن فایل در برنامه ای که در آن ایجاد نشده است.

شما مستقیماً در فرآیند کار با فرمت های خود آشنا خواهید شد برنامه های گرافیکی. فراهم می کنند بهترین نسبتکیفیت تصویر و حجم اطلاعات فایل، اما فقط توسط خود برنامه‌ای که فایل را ایجاد می‌کند، پشتیبانی می‌شوند (یعنی شناسایی و تکثیر می‌شوند).

مشکل 1. برای رمزگذاری یک پیکسل، 3 بایت استفاده می شود. این عکس با ابعاد 2048 در 1536 پیکسل به عنوان یک فایل فشرده نشده ذخیره شد. اندازه فایل حاصل را تعیین کنید.

راه حل.

پاسخ: 9 مگابایت

مشکل 2. یک تصویر بیت مپ 128 در 128 پیکسل فشرده نشده 2 کیلوبایت حافظه اشغال می کند. حداکثر تعداد رنگ ممکن در پالت تصویر چقدر است؟

راه حل.

پاسخ: 2 رنگ - سیاه و سفید.

مهم ترین

گرافیک کامپیوتری مفهومی گسترده است که به موارد زیر اشاره دارد: 1) انواع مختلف اشیاء گرافیکی ایجاد شده یا پردازش شده با استفاده از رایانه. 2) حوزه ای از فعالیت که در آن رایانه ها به عنوان ابزاری برای ایجاد و پردازش اشیاء گرافیکی استفاده می شوند.

بسته به روش ایجاد یک تصویر گرافیکی، گرافیک های شطرنجی و برداری متمایز می شوند.

در گرافیک شطرنجی، یک تصویر به شکل شطرنجی تشکیل می شود - مجموعه ای از نقاط (پیکسل) که ردیف ها و ستون ها را تشکیل می دهند. هنگامی که یک تصویر شطرنجی در حافظه کامپیوتر ذخیره می شود، اطلاعات مربوط به رنگ هر پیکسل موجود در آن ذخیره می شود.

در گرافیک برداری، تصاویر بر اساس مجموعه داده ها (بردارها) که یک شیء گرافیکی خاص و فرمول های ساخت آنها را توصیف می کنند، تشکیل می شوند. هنگام ذخیره یک تصویر برداری، اطلاعات مربوط به ساده ترین اشیاء هندسی تشکیل دهنده آن در حافظه رایانه وارد می شود.

فرمت فایل گرافیکی راهی برای نمایش داده های گرافیکی در رسانه های خارجی است. فرمت های شطرنجی و برداری فایل های گرافیکی وجود دارد که در میان آنها، فرمت های گرافیکی جهانی و فرمت های اختصاصی برنامه های گرافیکی وجود دارد.

سوالات و وظایف

گرافیک کامپیوتری چیست؟
زمینه های اصلی کاربرد گرافیک کامپیوتری را فهرست کنید.
چگونه می توان گرافیک دیجیتال تولید کرد؟
یک تصویر رنگی با ابعاد 10×15 سانتی متر اسکن می شود.رزولوشن اسکنر 600×600 dpi، عمق رنگ 3 بایت است. فایل گرافیکی حاصل چه حجم اطلاعاتی خواهد داشت؟
تفاوت بین روش های شطرنجی و برداری برای نمایش یک تصویر چیست؟
چرا اعتقاد بر این است که تصاویر شطرنجی رنگ را بسیار دقیق منتقل می کنند؟
کدام عملیات تبدیل یک تصویر شطرنجی منجر به بیشترین کاهش کیفیت آن می شود - کاهش یا بزرگ شدن؟ چگونه می توانید این را توضیح دهید؟
چرا مقیاس گذاری بر کیفیت تصاویر وکتور تأثیر نمی گذارد؟
چگونه می توانید انواع فرمت های فایل های گرافیکی را توضیح دهید؟
تفاوت اصلی بین فرمت های گرافیکی جهانی و فرمت های کاربردی گرافیکی اختصاصی چیست؟
تا حد امکان یک نمودار کامل برای مفاهیم بخش 3.2.4 بسازید.
شرح مفصلی از تصاویر شطرنجی و برداری ارائه دهید و موارد زیر را مشخص کنید:
طراحی 1024 x 512 پیکسل به عنوان یک فایل 1.5 مگابایتی فشرده نشده ذخیره شد. چه مقدار اطلاعات برای رمزگذاری رنگ پیکسل استفاده شده است؟ حداکثر تعداد رنگ ممکن در یک پالت متناسب با این عمق رنگ چقدر است؟
یک تصویر بیت مپ 256 در 128 پیکسل فشرده نشده 16 کیلوبایت حافظه اشغال می کند. حداکثر تعداد رنگ ممکن در پالت تصویر چقدر است؟

فرمت فایل گرافیکیروشی برای نمایش داده های گرافیکی در رسانه های خارجی است. تمیز دادن فرمت های شطرنجی و برداریفایل های گرافیکی که به نوبه خود در میان آنها وجود دارد فرمت های گرافیکی جهانیو فرمت های خود (اصلی) برنامه های گرافیکی.

فرمت های گرافیکی جهانی توسط همه برنامه هایی که با گرافیک های شطرنجی (وکتوری) کار می کنند، "درک" می شوند.

فرمت جهانی شطرنجی گرافیکی است فرمت BMP. فایل های گرافیکی در این فرمت حجم اطلاعات زیادی دارند، زیرا 24 بیت را برای ذخیره اطلاعات مربوط به رنگ هر پیکسل اختصاص می دهند.

در نقشه های ذخیره شده در یک بیت مپ جهانی فرمت GIF، فقط می توانید از 256 رنگ مختلف استفاده کنید. این پالت برای تصاویر ساده و پیکتوگرام مناسب است. فایل های گرافیکی با این فرمت حجم اطلاعات کمی دارند. این به ویژه برای گرافیک های مورد استفاده در شبکه جهانی وب بسیار مهم است، جایی که کاربران می خواهند اطلاعاتی که درخواست می کنند در سریع ترین زمان ممکن روی صفحه نمایش داده شود.

شطرنجی جهانی فرمت JPEGبه طور خاص برای ذخیره سازی کارآمد تصاویر با کیفیت عکاسی طراحی شده است. کامپیوترهای مدرن می توانند بیش از 16 میلیون رنگ را تولید کنند که اکثر آنها به سادگی برای چشم انسان قابل تشخیص نیستند. فرمت JPEG به شما این امکان را می دهد که رنگ های متنوع پیکسل های همسایه را که برای درک انسان "بیش از حد" هستند کنار بگذارید. برخی از اطلاعات اصلی از بین می رود، اما این امر کاهش حجم اطلاعات (فشرده سازی) فایل گرافیکی را تضمین می کند. به کاربر این فرصت داده می شود تا میزان فشرده سازی فایل را تعیین کند. اگر تصویر ذخیره شده عکسی است که قرار است روی یک صفحه با فرمت بزرگ چاپ شود، از دست دادن اطلاعات نامطلوب است. اگر این عکس در یک صفحه وب قرار گیرد، می توان آن را ده ها بار به طور ایمن فشرده کرد: اطلاعات باقی مانده برای بازتولید تصویر روی صفحه نمایشگر کافی است.

فرمت های گرافیکی برداری جهانی شامل فرمت WMF، برای ذخیره مجموعه ای از تصاویر مایکروسافت استفاده می شود.

جهانی فرمت EPSبه شما امکان می دهد اطلاعات مربوط به گرافیک های شطرنجی و برداری را ذخیره کنید. اغلب برای وارد کردن فایل ها به برنامه های تولید چاپ استفاده می شود.

شما مستقیماً در فرآیند کار با برنامه های گرافیکی با فرمت های خود آشنا خواهید شد. آنها بهترین نسبت کیفیت تصویر و حجم اطلاعات فایل را ارائه می دهند، اما تنها توسط خود برنامه ای که فایل را ایجاد می کند، پشتیبانی می شوند (یعنی شناسایی و پخش می شوند).

وظیفه 1.
برای رمزگذاری یک پیکسل، 3 بایت استفاده می شود. این عکس با ابعاد 2048 در 1536 پیکسل به عنوان یک فایل فشرده نشده ذخیره شد. اندازه فایل حاصل را تعیین کنید.

راه حل:
i = 3 بایت
K= 2048 1536
من - ؟

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1.5 2 10 3 = 9 2 20 (بایت) = 9 (MB).

پاسخ: 9 مگابایت

وظیفه 2.
یک تصویر بیت مپ 128 در 128 پیکسل فشرده نشده 2 کیلوبایت حافظه اشغال می کند. حداکثر تعداد رنگ ممکن در پالت تصویر چقدر است؟

راه حل:
K = 128 128
I = 2 کیلوبایت
ن -؟

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (بیت) .
N = 2 1 = 2.

پاسخ: 2 رنگ - سیاه و سفید.

مهم ترین:

فرمت فایل گرافیکی راهی برای نمایش داده های گرافیکی در رسانه های خارجی است. فرمت های شطرنجی و برداری فایل های گرافیکی وجود دارد که در میان آنها، فرمت های گرافیکی جهانی و فرمت های اختصاصی برنامه های گرافیکی وجود دارد.

نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات گسسته است که به مطالعه اشیایی که به صورت عناصر منفرد (رئوس) و ارتباطات بین آنها (قوس ها، لبه ها) نمایش داده می شوند، می پردازد.

نظریه گراف از حل مسئله پل های کونیگزبرگ در سال 1736 توسط ریاضیدان معروف سرچشمه می گیرد. لئونارد اویلر(1707-1783: متولد سوئیس، زندگی و کار در روسیه).

مشکل در مورد پل های Königsberg.

هفت پل در شهر پروس کونیگزبرگ بر روی رودخانه پرگال وجود دارد. آیا می توان مسیر پیاده روی را پیدا کرد که دقیقاً یک بار از هر پل عبور کند و در همان نقطه شروع و به پایان برسد؟

گرافی که در آن مسیری وجود دارد که از یک راس شروع و به پایان می رسد و دقیقاً یک بار از تمام یال های نمودار می گذرد، نامیده می شود.نمودار اویلر

دنباله رئوس (شاید تکرار شونده) که مسیر مورد نظر و همچنین خود مسیر از آن عبور می کند، نامیده می شود.چرخه اویلر .

مشکل سه خانه و سه چاه.

سه خانه و سه چاه وجود دارد که به نوعی در یک هواپیما قرار دارند. از هر خانه به هر چاه مسیری بکشید تا مسیرها با هم تلاقی نکنند. این مشکل توسط کوراتوفسکی (1896 - 1979) در سال 1930 حل شد (نشان داده شد که راه حلی وجود ندارد).

مشکل چهار رنگ تقسیم یک صفحه به مناطق غیر متقاطع نامیده می شود با کارت. مناطق نقشه در صورتی که دارای مرز مشترک باشند مجاور نامیده می شوند. وظیفه رنگ آمیزی نقشه به گونه ای است که هیچ دو منطقه مجاور با یک رنگ رنگ آمیزی نشده باشند. از اواخر قرن نوزدهم، این فرضیه شناخته شده است که چهار رنگ برای این کار کافی است. این فرضیه هنوز ثابت نشده است.

ماهیت راه حل منتشر شده این است که یک عدد بزرگ اما محدود (حدود 2000) از انواع متقابل بالقوه را برای قضیه چهار رنگ امتحان کنید و نشان دهید که هیچ موردی نیز یک نمونه متضاد نیست. این جستجو توسط برنامه در حدود هزار ساعت کارکرد ابررایانه کامل شد.

بررسی "دستی" راه حل حاصل غیرممکن است - دامنه شمارش فراتر از محدوده توانایی های انسانی است. بسیاری از ریاضیدانان این سوال را مطرح می کنند: آیا می توان چنین "برهان برنامه ای" را یک اثبات معتبر در نظر گرفت؟ به هر حال، ممکن است خطاهایی در برنامه وجود داشته باشد ...

بنابراین، ما فقط می توانیم به مهارت های برنامه نویسی نویسندگان تکیه کنیم و باور کنیم که آنها همه چیز را درست انجام داده اند.

تعریف 7.1. شمردن جی= جی(V, E) مجموعه ای از دو مجموعه متناهی است: V – نامیده می شود بسیاری از رئوسو مجموعه E از جفت عناصر از V، i.e. EÍV´V، نامیده شد بسیاری از لبه ها، اگر جفت ها نامرتب باشند، یا قوس های زیادی، اگر جفت ها سفارش داده شده باشند.

در حالت اول، نمودار جی(V, E) تماس گرفت بی جهت، در دوم - جهت دار.

مثال. یک نمودار با مجموعه ای از رئوس V = (a,b,c) و مجموعه ای از یال های E =((a, b), (b, c))

مثال. یک نمودار با V = (a،b،c،d،e) و E = ((a، b)، (a، e)، (b، e)، (b،d)، (b، c)، (ج، د))،

اگر e=(v 1 ,v 2)، eОЕ، آنگاه می گویند که یال e است متصل می کندرئوس v 1 و v 2.

دو راس v 1,v 2 نامیده می شوند مجاور، اگر لبه ای وجود داشته باشد که آنها را به هم وصل می کند. در این شرایط هر یک از رئوس فراخوانی می شود اتفاقی لبه مربوطه .

دو دنده متفاوت مجاور، اگر یک راس مشترک داشته باشند. در این وضعیت هر یک از لبه ها نامیده می شود اتفاقی راس مربوطه .

تعداد رئوس نمودار جیبیایید نشان دهیم v، و تعداد لبه ها است ه:

نمایش هندسی نمودارها به صورت زیر است:

1) راس نمودار یک نقطه در فضا (روی صفحه) است.

2) لبه یک گراف بدون جهت - یک قطعه.

3) قوس یک گراف جهت دار - یک قطعه جهت دار.

تعریف 7.2.اگر در یال e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 رخ دهد، یال e فراخوانی می شود. حلقه. اگر یک نمودار اجازه حلقه ها را بدهد، آنگاه فراخوانی می شود نمودار با حلقه ها یا شبه نگار .

اگر یک نمودار بیش از یک یال را بین دو راس اجازه دهد، آنگاه فراخوانی می شود چند گراف .

اگر هر رأس یک گراف و/یا یال برچسب گذاری شده باشد، چنین نموداری فراخوانی می شود مشخص شده است (یا لود شده ). معمولاً از حروف یا اعداد صحیح به عنوان علامت استفاده می شود.

تعریف 7.3.نمودار جی (V , E ) تماس گرفت زیرگراف (یا بخش ) نمودار جی(V,E)، اگر V V, E E. اگر V = V، آن جی تماس گرفت زیرگراف فراگیر جی.

مثال 7 . 1 . یک نمودار بدون جهت داده شده است.

تعریف 7.4.نمودار نامیده می شود کامل ، اگر هر دو رأس آن توسط یک لبه به هم متصل شده اند. نمودار کامل با nرئوس با نشان داده می شود ک n .

شمارش K 2 ، به 3, به 4 و ک 5 .

تعریف 7.5.نمودار جی=جی(V, E) نامیده میشود دولپه ای ، اگر Vمثلاً می‌توان آن‌ها را به‌عنوان اتحادیه‌ای از مجموعه‌های مجزا نشان داد V=آب، بنابراین هر لبه دارای فرم ( v من , v j)، جایی که v من آو v j ب.

هر یال یک راس از A را به یک راس از B متصل می کند، اما هیچ دو راس از A یا دو راس از B به هم متصل نیستند.

یک گراف دو بخشی نامیده می شود دو لپه ای کامل شمردن ک متر , n، اگر آشامل مترقله ها، بشامل nرئوس و برای هر کدام v من آ, v j بما داریم ( v من , v j)E.

بنابراین، برای همه v من آ، و v j بلبه ای وجود دارد که آنها را به هم وصل می کند.

K 12 K 23 K 22 K 33

مثال 7 . 2 . یک نمودار دو بخشی کامل بسازید ک 2.4 و نمودار کامل ک 4 .

نمودار واحدn-مکعب بعدیکه در n .

رئوس نمودار مجموعه های باینری n بعدی هستند. لبه ها راس هایی را که در یک مختصات متفاوت هستند به هم متصل می کنند.

مثال:

توصیه می شود مفهوم نمودار را پس از تجزیه و تحلیل چندین مسئله مشابه با مسئله 1 معرفی کنیم، که ملاحظات تعیین کننده در آن نمایش گرافیکی است. مهم است که دانش آموزان بلافاصله متوجه شوند که می توان همان نمودار را رسم کرد راه های مختلف. به نظر من نیازی به ارائه تعریف دقیق از نمودار نیست، زیرا خیلی دست و پا گیر است و فقط بحث را پیچیده می کند. در ابتدا، یک مفهوم شهودی کافی خواهد بود. هنگام بحث در مورد مفهوم ایزومورفیسم، می توانید چندین تمرین برای شناسایی نمودارهای هم شکل و غیر هم شکل حل کنید. یکی از نکات اصلی مبحث، قضیه برابری تعداد رئوس فرد است. مهم است که دانش آموزان اثبات آن را کاملاً درک کنند و یاد بگیرند که چگونه آن را در حل مسئله به کار ببرند. هنگام تجزیه و تحلیل چندین مسئله، توصیه می کنم به قضیه مراجعه نکنید، بلکه در واقع اثبات آن را تکرار کنید. مفهوم اتصال گراف نیز بسیار مهم است. یک ملاحظۀ معنادار در اینجا، در نظر گرفتن مؤلفه اتصال است؛ توجه ویژه ای باید به این امر مبذول شود. نمودارهای اویلر تقریباً یک موضوع بازی هستند.

اولین و اصلی ترین هدفی که هنگام مطالعه نمودارها باید دنبال شود این است که به دانش آموزان آموزش دهیم که نمودار را در بیان مسئله ببینند و شرایط را به درستی به زبان تئوری گراف ترجمه کنند. شما نباید هر دوی آنها را در چندین کلاس پشت سر هم به همه بگویید. بهتر است کلاس ها در 2 تا 3 سال تحصیلی پخش شوند. (پیوست توسعه درس "مفهوم نمودار. کاربرد نمودارها در حل مسئله" در پایه ششم).

2. مطالب نظری برای مبحث نمودارها.

معرفی

نمودارها اشیاء ریاضی شگفت انگیزی هستند؛ با کمک آنها می توانید بسیاری از مسائل مختلف و ظاهراً متفاوت را حل کنید. یک بخش کامل در ریاضیات وجود دارد - نظریه گراف که نمودارها، خواص و کاربردهای آنها را مطالعه می کند. ما فقط در مورد اساسی ترین مفاهیم، ویژگی های نمودارها و برخی از راه های حل مسائل بحث خواهیم کرد.

مفهوم یک نمودار

بیایید دو مشکل را در نظر بگیریم.

وظیفه 1. ارتباط فضایی بین نه سیاره منظومه شمسی برقرار شده است. موشک های معمولی در مسیرهای زیر پرواز می کنند: زمین - عطارد. پلوتون - زهره؛ زمین - پلوتون؛ پلوتون - عطارد؛ عطارد - وین; اورانوس - نپتون؛ نپتون - زحل؛ زحل - مشتری؛ مشتری - مریخ و مریخ - اورانوس. آیا می توان با موشک های معمولی از زمین به مریخ پرواز کرد؟

راه حل:بیایید نموداری از شرایط ترسیم کنیم: سیارات را به عنوان نقاط و مسیرهای موشک را به عنوان خطوط به تصویر می‌کشیم.

اکنون بلافاصله مشخص شده است که پرواز از زمین به مریخ غیرممکن است.

وظیفه 2. تخته به شکل صلیب دوتایی است که با برداشتن مربع های گوشه از مربع 4*4 به دست می آید.

آیا می توان با حرکت دادن یک شوالیه شطرنج از آن عبور کرد و دقیقاً یک بار از همه میدان ها بازدید کرد و به میدان اصلی بازگشت؟

راه حل:بیایید مربع های تخته را به ترتیب شماره گذاری کنیم:

و اکنون، با استفاده از شکل، نشان خواهیم داد که چنین پیمایشی از جدول، همانطور که در شرایط نشان داده شده است، امکان پذیر است:

ما دو مشکل غیر مشابه را در نظر گرفتیم. با این حال، راه حل های این دو مشکل با یک ایده مشترک متحد می شوند - یک نمایش گرافیکی از راه حل. در همان زمان، تصاویر ترسیم شده برای هر کار مشابه بودند: هر تصویر از چندین نقطه تشکیل شده است که برخی از آنها با خطوط به هم متصل می شوند.

چنین تصاویری نامیده می شود نمودارها. نقاط نامیده می شود قله هاو خطوط - دندهنمودار توجه داشته باشید که هر عکسی از این نوع نمودار نامیده نمی شود. مثلا. اگر از شما خواسته شود که یک پنج ضلعی در دفترچه یادداشت خود بکشید، چنین نقاشی نمودار نخواهد بود. اگر کار خاصی وجود داشته باشد که چنین نقاشی برای آن ساخته شده باشد، مانند مسائل قبلی، ترسیمی از این نوع را نمودار می نامیم.

نکته دیگر مربوط به ظاهر نمودار است. سعی کنید بررسی کنید که نمودار مربوط به همان مسئله را می توان به روش های مختلف ترسیم کرد. و بالعکس، برای کارهای مختلف می توانید نمودارهایی با ظاهر یکسان رسم کنید. تنها چیزی که در اینجا مهم است این است که کدام رئوس به یکدیگر متصل هستند و کدام نه. به عنوان مثال، نمودار وظیفه 1 را می توان به صورت متفاوت ترسیم کرد:

چنین نمودارهای یکسان، اما متفاوت ترسیم شده نامیده می شوند هم شکل.

درجات رئوس و شمارش تعداد یال های یک نمودار

بیایید یک تعریف دیگر را یادداشت کنیم: درجه یک راس در یک نمودار تعداد یال هایی است که از آن بیرون می آیند. در این راستا به راس با درجه زوج، راس زوج، به ترتیب راس با درجه فرد، راس فرد می گویند.

یکی از قضایای اصلی نظریه گراف مربوط به مفهوم درجه راس - قضیه عادلانه بودن تعداد رئوس فرد است. ما کمی بعد آن را ثابت خواهیم کرد، اما ابتدا برای مثال، مشکل را بررسی می کنیم.

وظیفه 3. 15 تلفن در شهر Malenky وجود دارد. آیا می توان آنها را با سیم وصل کرد تا هر گوشی دقیقاً به پنج گوشی دیگر متصل شود؟

راه حل:بیایید فرض کنیم که چنین ارتباطی بین تلفن ها امکان پذیر است. سپس نموداری را تصور کنید که در آن راس ها تلفن ها را نشان می دهند و لبه ها نشان دهنده سیم های متصل کننده آنها هستند. بیایید بشماریم که در کل چند سیم وجود دارد. هر گوشی دقیقاً 5 سیم وصل دارد، یعنی. درجه هر رأس نمودار ما است 5. برای پیدا کردن تعداد سیم ها، باید درجات تمام رئوس نمودار را جمع کنید و نتیجه حاصل را بر 2 تقسیم کنید (از آنجایی که هر سیم دو سر دارد، پس هنگام جمع کردن درجه ها، هر سیم 2 بار گرفته می شود) . اما پس از آن تعداد سیم ها متفاوت خواهد بود. اما این عدد یک عدد صحیح نیست. این بدان معنی است که فرض ما مبنی بر اینکه هر گوشی می تواند دقیقاً به پنج گوشی دیگر متصل شود نادرست است.

پاسخ.اتصال تلفن ها از این طریق غیرممکن است.

قضیه: هر گراف حاوی تعداد زوج رئوس فرد است.

اثبات:تعداد یال های یک نمودار برابر با نصف مجموع درجات رئوس آن است. از آنجایی که تعداد یال ها باید یک عدد صحیح باشد، مجموع درجات رئوس باید زوج باشد. و این تنها در صورتی امکان پذیر است که نمودار دارای تعداد زوج رئوس فرد باشد.

اتصال به نمودار

مفهوم مهم دیگری در رابطه با نمودارها وجود دارد - مفهوم اتصال.

نمودار نامیده می شود منسجم،اگر بتوان هر دو راس آن را به هم وصل کرد توسط،آن ها دنباله پیوسته لبه ها تعدادی از مشکلات وجود دارد که راه حل آنها بر اساس مفهوم اتصال گراف است.

وظیفه 4. در کشور هفت 15 شهر وجود دارد که هر شهر حداقل به هفت شهر دیگر از طریق جاده متصل است. ثابت کنید که مد است از هر شهر به هر شهر دیگری بروید.

اثبات: دو شهر دلخواه A و B را در نظر بگیرید و فرض کنید بین آنها مسیری وجود ندارد. هر یک از آنها حداقل به هفت شهر دیگر از طریق جاده متصل هستند و هیچ شهری وجود ندارد که به هر دو شهر مورد نظر متصل باشد (در غیر این صورت یک مسیر از A به B وجود خواهد داشت). بیایید بخشی از نمودار مربوط به این شهرها را رسم کنیم:

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که حداقل 16 شهر مختلف دریافت کرده ایم که با شرایط مشکل در تناقض است. این بدان معناست که این گفته با تناقض ثابت شده است.

اگر تعریف قبلی را در نظر بگیریم، می توان بیان مسئله را به شکل دیگری دوباره فرمول بندی کرد: "اثبات کنید که نمودار جاده کشور هفت به هم متصل است."

اکنون می دانید که یک نمودار متصل به چه شکل است. یک نمودار قطع شده به شکل چندین "قطعه" است که هر کدام یک راس جداگانه بدون لبه یا یک نمودار متصل هستند. نمونه ای از نمودار قطع شده را در شکل مشاهده می کنید:

هر یک از این قطعات فردی نامیده می شود جزء متصل گرافهر جزء متصل نشان دهنده یک نمودار متصل است و تمام عباراتی که ما برای گراف های متصل ثابت کرده ایم برای آن وجود دارد. بیایید به مثالی از مشکلی که از یک جزء متصل استفاده می کند نگاه کنیم:

مشکل 5. در پادشاهی دور دور تنها یک نوع حمل و نقل وجود دارد - فرش پرنده. 21 خط فرش از پایتخت خارج می شود، یکی از شهر دالنی و 20 خط از همه شهرها. ثابت کنید که می توانید از پایتخت به شهر دالنی پرواز کنید.

اثبات:واضح است که اگر نموداری از فرش پادشاهی بکشید ممکن است نامنسجم باشد. بیایید به مؤلفه اتصال که شامل پایتخت پادشاهی است نگاه کنیم. 21 فرش از پایتخت خارج می شود و 20 فرش از هر شهر دیگری به جز شهرستان دالنی، بنابراین برای اینکه قانون تعداد رئوس زوج اجرا شود، لازم است شهرستان دالنی نیز لحاظ شود. در همان جزء اتصال. و از آنجایی که مولفه متصل یک نمودار متصل است، پس از پایتخت مسیری در امتداد فرش ها به سمت شهر دالنی وجود دارد که باید ثابت می شد.

نمودارهای اویلر

احتمالاً با کارهایی مواجه شده اید که در آنها باید بدون اینکه مداد خود را از روی کاغذ بردارید و هر خط را فقط یک بار بکشید، یک شکل بکشید. معلوم می شود که چنین مشکلی همیشه قابل حل نیست، یعنی. ارقامی وجود دارند که نمی توان با این روش ترسیم کرد. مسئله حل شدنی بودن چنین مسائلی نیز در نظریه گراف گنجانده شده است. برای اولین بار در سال 1736 توسط ریاضیدان بزرگ آلمانی لئونارد اویلر کشف شد و مشکل پل های کونیگزبرگ را حل کرد. بنابراین به نمودارهایی که می توان به این روش رسم کرد، گراف اویلر می گویند.

وظیفه 6. آیا می توان نمودار نشان داده شده در شکل را بدون برداشتن مداد از روی کاغذ و کشیدن هر لبه دقیقاً یک بار رسم کرد؟

راه حل.اگر نمودار را همانطور که در شرط بیان شده رسم کنیم، هر رأس را به جز رأس اولیه و پایانی، به تعداد دفعاتی که از آن خارج می شویم، وارد می کنیم. یعنی تمام رئوس نمودار به جز دو راس باید زوج باشند. نمودار ما سه رأس فرد دارد، بنابراین نمی توان آن را به روشی که در شرط مشخص شده رسم کرد.

اکنون قضیه گراف های اویلر را ثابت کرده ایم:

قضیه: یک گراف اویلر باید حداکثر دو راس فرد داشته باشد.

و در نتیجه - مشکل پل های Königsberg.

وظیفه 7. شکل، نموداری از پل های شهر کونیگزبرگ را نشان می دهد.

آیا می توان پیاده روی کرد تا دقیقاً یک بار از هر پل عبور کنید؟

3. مسائل مربوط به موضوع "نمودارها"

مفهوم گراف

1. بر روی یک تخته مربع 3×3، 4 شوالیه مطابق شکل 1 قرار می گیرند. آیا می توان پس از انجام چندین حرکت با شوالیه ها، آنها را به موقعیت نشان داده شده در شکل 2 تغییر داد؟

برنج. 1

برنج. 2

راه حل.مربع های تخته را مانند شکل شماره گذاری می کنیم:

اجازه دهید به هر سلول یک نقطه از صفحه اختصاص دهیم و اگر بتوان با حرکت دادن یک شوالیه شطرنج از یک سلول به یک سلول رسید، نقاط مربوطه را با یک خط به هم وصل می کنیم. قرارگیری اولیه و مورد نیاز شوالیه ها در شکل ها نشان داده شده است:

برای هر دنباله ای از حرکات شوالیه، نظم آنها بدیهی است که نمی تواند تغییر کند. بنابراین، تنظیم مجدد اسب ها به روش لازم غیرممکن است.

2. در کشور دیجیت 9 شهر با نام های 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 وجود دارد. مسافری متوجه شد که دو شهر توسط یک شرکت هواپیمایی به هم متصل می شوند اگر و فقط اگر دو رقمی باشد. عددی که با نام شهرها تقسیم بر 3 تشکیل شده است. آیا می توان از شهر 1 به شهر 9 به صورت هوایی پرواز کرد؟

راه حل.با اختصاص یک نقطه به هر شهر و اتصال نقاط با یک خط، اگر مجموع اعداد بر 3 بخش پذیر باشد، نموداری به دست می آید که در آن اعداد 3، 5، 9 به یکدیگر متصل هستند، اما به یکدیگر متصل نیستند. باقی مانده. این بدان معنی است که شما نمی توانید از شهر 1 به شهر 9 پرواز کنید.

درجات رئوس و شمارش تعداد یال ها.

3. در یک ایالت 100 شهر وجود دارد و هر شهر دارای 4 جاده است. چند جاده در استان وجود دارد؟

راه حل.بیایید تعداد کل جاده های خروج از شهر را بشماریم - 100 . 4 = 400. اما با این محاسبه، هر جاده 2 بار شمارش می شود - از یک شهر خارج می شود و وارد شهر دیگری می شود. این به این معنی است که در مجموع دو برابر کمتر جاده ها وجود دارد، یعنی. 200.

4. 30 نفر در کلاس هستند. آیا ممکن است 9 نفر 3 دوست، 11 نفر 4 دوست و 10 نفر 5 دوست داشته باشند؟

پاسخ.خیر (قضیه برابری تعداد رئوس فرد).

5. شاه 19 رعیت دارد. آیا ممکن است هر واسال 1، 5 یا 9 همسایه داشته باشد؟

پاسخ.نه، او نمی تواند.

6. آیا ایالتی که دقیقاً 3 جاده از هر شهر خارج می شود می تواند دقیقاً 100 جاده داشته باشد؟

راه حل. بیایید تعداد شهرها را بشماریم. تعداد جاده ها برابر است با تعداد شهرها x ضرب در 3 (تعداد جاده هایی که از هر شهر خارج می شوند) و تقسیم بر 2 (مسئله 3 را ببینید). سپس 100 = 3x/2 => 3x = 200، که نمی تواند با x طبیعی اتفاق بیفتد. این بدان معناست که در چنین وضعیتی نمی توان 100 جاده وجود داشت.

7. ثابت کنید تعداد افرادی که تا به حال روی زمین زندگی کرده اند و تعداد فرد دست دادن انجام داده اند زوج است.

اثبات مستقیماً از قضیه ی برابری تعداد رئوس فرد در یک نمودار حاصل می شود.

قابلیت اتصال

8. در کشور، 100 جاده از هر شهر خارج می شود و از هر شهر می توانید به هر شهر دیگری بروید. یک جاده برای تعمیر بسته شد. ثابت کنید که اکنون می توانید از هر شهر به هر شهر دیگری بروید.

اثبات. بیایید مولفه اتصال را در نظر بگیریم که شامل یکی از شهرهایی است که جاده بین آن بسته شده است. با قضیه ی برابری تعداد رئوس فرد، شهر دوم را نیز شامل می شود. این بدان معنی است که شما هنوز هم می توانید مسیری را پیدا کنید و از یکی از این شهرها به شهر دیگر بروید.

نمودارهای اویلر

9. گروهی از جزیره ها با پل هایی به هم متصل هستند تا از هر جزیره بتوانید به هر جزیره دیگری بروید. گردشگر تمام جزایر را دور زد و از هر پل یک بار عبور کرد. او سه بار از جزیره تری فولد دیدن کرد. اگر توریست باشید چند پل از Troyekratnoye منتهی می شود

الف) با آن شروع نشده و با آن تمام نشده است؟
ب) با آن شروع کرد، اما با آن به پایان نرسید؟
ج) با آن شروع شد و با آن تمام شد؟

10. تصویر پارکی را نشان می دهد که توسط نرده ها به چند قسمت تقسیم شده است. آیا می توان در پارک و اطراف آن قدم زد تا بتوانید یک بار از هر حصار بالا بروید؟

نمودار تهی و نمودار کامل.

گراف های خاصی وجود دارند که در بسیاری از کاربردهای نظریه گراف ظاهر می شوند. در حال حاضر، ما دوباره نمودار را به عنوان یک نمودار بصری نشان دهنده روند مسابقات ورزشی در نظر خواهیم گرفت. قبل از شروع فصل، در حالی که هنوز هیچ بازی انجام نشده است، هیچ حاشیه ای در نمودار وجود ندارد. چنین نموداری فقط از رئوس جدا شده تشکیل شده است، یعنی. از رئوس متصل شده بدون لبه. ما یک گراف از این نوع را فراخوانی می کنیم نمودار تهی. در شکل شکل 3 چنین نمودارهایی را برای مواردی نشان می دهد که تعداد دستورات یا رئوس آنها 1، 2، 3، 4 و 5 باشد. نمودار با n راس و بدون یال.

بیایید یک مورد افراطی دیگر را در نظر بگیریم. بیایید فرض کنیم در پایان فصل، هر تیم یک بازی مقابل هر یک از تیم های دیگر انجام دهد. سپس در نمودار مربوطه، هر جفت رئوس با یک یال به هم متصل خواهند شد. چنین نموداری نامیده می شود نمودار کامل. شکل 4 نمودارهای کامل را با تعداد رئوس n = 1، 2، 3، 4، 5 نشان می دهد. این نمودارهای کامل را به ترتیب با U1، U2، U3، U4 و U5 نشان می دهیم، به طوری که نمودار Un متشکل از 11 راس و لبه ها، تمام جفت های ممکن از این رئوس را به هم متصل می کند. این نمودار را می توان به عنوان یک n-gon در نظر گرفت که تمام قطرها در آن رسم شده اند.

داشتن مقداری نمودار، به عنوان مثال نمودار G نشان داده شده در شکل. 1، همیشه می‌توانیم با اضافه کردن یال‌های گمشده (یعنی یال‌های مربوط به بازی‌هایی که هنوز بازی نشده‌اند) آن را به یک نمودار کامل با همان رئوس تبدیل کنیم. در شکل 5 ما این کار را برای نمودار در شکل انجام دادیم. 1 (بازی هایی که هنوز انجام نشده اند به صورت نقطه چین نشان داده شده اند). همچنین می توانید به طور جداگانه نمودار مربوط به بازی های آینده را که هنوز بازی نکرده اند ترسیم کنید. برای نمودار G این منجر به نمودار نشان داده شده در شکل می شود. 6.

ما این گراف جدید را مکمل گراف G می نامیم. مرسوم است که آن را با G1 نشان دهیم. با گرفتن مکمل گراف G1، دوباره نمودار G را به دست می آوریم. لبه های هر دو نمودار G1 و G با هم یک نمودار کامل را تشکیل می دهند.

محبوب در دسته بندی: