Koti › Ongelmia › Muodosta mahdollisimman täydellinen kaavio. Graafeiden rakentaminen niiden ominaisuuksien perusteella. Graafiset tehtävät vahvistavat peruskäsitteitä

Muodosta mahdollisimman täydellinen kaavio. Graafeiden rakentaminen niiden ominaisuuksien perusteella. Graafiset tehtävät vahvistavat peruskäsitteitä

Avainsanat:

graafinen objekti
tietokonegrafiikka
rasterigrafiikka
Vektorigrafiikka
muotoja graafiset tiedostot

Piirustuksia, maalauksia, piirustuksia, valokuvia ja muita graafisia kuvia kutsutaan graafisiksi esineiksi.

3.2.1. Tietokonegrafiikan käyttöalueet

Tietokonegrafiikasta on tullut osa toimintaamme jokapäiväinen elämä. Sitä sovelletaan:

mittausten ja havaintojen tulosten visuaaliseen esittelyyn (esim. tiedot ilmastonmuutoksesta pitkältä ajalta, eläinpopulaatioiden dynamiikasta, eri alueiden ekologisesta tilasta jne.), sosiologisten tutkimusten tulokset, suunnitteilla indikaattorit, tilastotiedot, lääketieteen ultraäänitutkimusten tulokset jne.;
kun kehitetään sisustus- ja maisemasuunnittelua, suunnitellaan uusia rakennuksia, tekniset laitteet ja muut tuotteet;
simulaattoreissa ja tietokonepeleissä simuloimaan erilaisia tilanteita, joita syntyy esimerkiksi lentokoneen tai avaruusaluksen lennon aikana, auton liikettä jne.;
luotaessa kaikenlaisia erikoistehosteita elokuvateollisuudessa;
kun kehitetään modernia käyttöliittymät ohjelmisto ja verkkotietoresurssit;
ihmisen luovaan ilmaisuun (digitaalinen valokuvaus, digitaalinen maalaus, tietokoneanimaatio jne.).

Kuvassa on esimerkkejä tietokonegrafiikasta. 3.5.

Riisi. 3.5.
Esimerkkejä tietokonegrafiikasta

http://snowflakes.barkleyus.com/ - tietokonetyökalujen avulla voit "leikata" kaikki lumihiutaleet;
http://www.pimptheface.com/create/ - voit luoda kasvot käyttämällä suurta kirjastoa huulia, silmiä, kulmakarvoja, kampauksia ja muita fragmentteja;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - yritä valita huoneeseesi uusia huonekaluja ja viimeistelymateriaaleja.

3.2.2. Menetelmät digitaalisen grafiikan luomiseen

Tietokoneella luodut tai käsitellyt graafiset objektit tallennetaan tietovälineille; Tarvittaessa ne voidaan tulostaa paperille tai muulle sopivalle materiaalille (kalvo, pahvi, kangas jne.).

Kutsumme tietokonemedialla olevia graafisia objekteja digitaalisiksi graafisiksi objekteiksi.

On olemassa useita tapoja saada digitaalisia graafisia objekteja.

valmiiden kuvien kopioiminen digitaalikamerasta, ulkoisista muistilaitteista tai niiden "lataaminen" Internetistä;
paperilla olevien graafisten kuvien syöttö skannerin avulla;
uuden grafiikan luominen ohjelmiston avulla.

Skannerin toimintaperiaate on jakaa paperilla oleva kuva pieniksi neliöiksi - pikseleiksi, määrittää kunkin pikselin väri ja tallentaa se binäärikoodina tietokoneen muistiin.

Skannauksen tuloksena saadun kuvan laatu riippuu pikselin koosta: mitä pienempi pikseli, sitä useampaan pikseliin alkuperäinen kuva jakautuu ja sitä kattavampi tieto kuvasta siirtyy tietokoneelle.

Pikselien koot riippuvat skannerin resoluutiosta, joka ilmaistaan yleensä dpi:nä (piste per tuuma - pistettä tuumaa kohti 1) ja määritetään numeroparilla (esimerkiksi 600 x 1200 dpi). Ensimmäinen numero on niiden pikselien lukumäärä, jotka skanneri voi poimia 1 tuuman pituiselta kuvariviltä. Toinen numero on niiden rivien määrä, joihin 1 tuuman korkea kuvakaistale voidaan jakaa.

1 tuuma on pituuden yksikkö englantilaisessa mittajärjestelmässä, joka on 2,54 cm.

Tehtävä. Skannataan värikuva, jonka koko on 10 x 10 cm, skannerin resoluutio on 1200 x 1200 dpi, värisyvyys 24 bittiä. Mikä tietomäärä tuloksena olevalla grafiikkatiedostolla on?

Ratkaisu. Skannatun kuvan koko on noin 4" x 4". Skannerin resoluutio huomioon ottaen koko kuva jaetaan 4 4 1200 1200 pikseliin.

Vastaus: noin 66 MB.

Suosittelemme, että katsot Unified Collection of Digital Educational Resources -kokoelmaan (http://school-collection.edu.ru/) lähetetyt animaatiot "Skannerit: yleiset toimintaperiaatteet", "Skannerit: tasoskanneri". Nämä resurssit auttavat sinua ymmärtämään paremmin, miten skannausprosessi toimii. "Digitaalinen kamera" -resurssi havainnollistaa digitaalisten valokuvien ottamista (kuva 3.6).

Riisi. 3.6.
Tasoskanneri ja digikamera

3.2.3. Rasteri- ja vektorigrafiikka

Riippuen luomismenetelmästä graafinen kuva On rasteri-, vektori- ja fraktaaligrafiikkaa.

Rastergrafiikka

SISÄÄN rasterigrafiikka Kuva muodostetaan rasterin muodossa - kokoelma pisteitä (pikseleitä), jotka muodostavat rivejä ja sarakkeita. Jokainen pikseli voi ottaa minkä tahansa värin paletista, joka sisältää miljoonia värejä. Värien tarkkuus on rasterigrafiikan tärkein etu. Kun rasterikuva tallennetaan tietokoneen muistiin, tiedot kunkin siihen sisältyvän pikselin väristä tallennetaan.

Rasterikuvan laatu paranee kuvan pikselien ja paletin värien määrän mukaan. Samalla koko kuvan tietomäärä kasvaa. Suuri tietomäärä on yksi rasterikuvien suurimmista haitoista.

Rasterikuvien seuraava haitta liittyy tiettyihin vaikeuksiin niiden skaalauksessa. Näin ollen kun rasterikuvaa pienennetään, useat vierekkäiset pikselit muunnetaan yhdeksi, mikä johtaa kuvan pienten yksityiskohtien selkeyden menettämiseen. Kun rasterikuvaa suurennetaan, siihen lisätään uusia pikseleitä, kun taas viereiset pikselit saavat saman värin ja syntyy askelefekti (kuva 3.7).

Riisi. 3.7.
Rasterikuva ja sen suurennettu fragmentti

Rasterigrafiikkaa luodaan harvoin käsin. Useimmiten ne saadaan skannaamalla taiteilijoiden valmistamia kuvia tai valokuvia; Viime aikoina digitaalikameroita on käytetty laajalti rasterikuvien syöttämiseen tietokoneeseen.

Vektorigrafiikka

Monet graafiset kuvat voidaan esittää kokoelmana segmenttejä, ympyröitä, kaaria, suorakulmioita ja muita geometrisia muotoja. Esimerkiksi kuvassa oleva kuva. 3.8 koostuu ympyröistä, jaoista ja suorakulmiosta.

Riisi. 3.8.
Ympyröistä, segmenteistä ja suorakulmiosta tehty kuva

Jokainen näistä kuvioista voidaan kuvata matemaattisesti: segmentit ja suorakulmiot - niiden kärkipisteiden koordinaateilla, ympyrät - niiden keskipisteiden ja säteiden koordinaatteilla. Lisäksi voit asettaa viivojen paksuuden ja värin, täyttövärin ja muita geometristen muotojen ominaisuuksia. SISÄÄN vektorigrafiikkaa kuvat muodostetaan sellaisten tietojoukkojen (vektoreiden) perusteella, jotka kuvaavat graafisia objekteja ja kaavoja niiden rakentamiseen. Tallennettaessa vektorikuvaa tietokoneen muistiin tallennetaan tiedot yksinkertaisimmista geometrisista kohteista, joista se koostuu.

Vektorikuvien tietomäärät ovat paljon pienempiä tietomäärät rasterikuvia. Esimerkiksi, jos haluat kuvata ympyrän rasterigrafiikalla, tarvitset tietoa kaikista sen neliön alueen pikseleistä, johon ympyrä on merkitty; Ympyrän kuvaamiseen vektorigrafiikalla tarvitaan vain yhden pisteen (keskipisteen) koordinaatit ja säde.

Toinen vektorikuvien etu on kyky skaalata niitä laadun heikkenemättä (kuva 3.9). Tämä johtuu siitä, että jokaisella vektoriobjektin muunnoksella vanha kuva poistetaan, ja sen sijaan rakennetaan uusi käyttämällä olemassa olevia kaavoja, mutta ottaen huomioon muuttuneet tiedot.

Riisi. 3.9.
Vektorikuva, sen muunnettu fragmentti ja yksinkertaisimmat geometriset muodot, joista tämä fragmentti on "koottu"

Samaan aikaan jokaista kuvaa ei voida esittää kokoelmana yksinkertaisia geometrisia muotoja. Tämä esitystapa sopii hyvin piirustuksiin, kaavioihin, liikegrafiikkaan ja muihin tapauksiin, joissa kuvien terävien ja selkeiden ääriviivojen säilyttäminen on erityisen tärkeää.

Fraktaaligrafiikka, kuten vektorigrafiikka, perustuu matemaattisiin laskelmiin. Mutta toisin kuin vektorigrafiikassa, tietokoneen muisti ei tallenna kuvauksia geometrisista muodoista, jotka muodostavat kuvan, vaan itse matemaattisen kaavan (yhtälön), jota käytetään kuvan rakentamiseen. Fraktaalikuvat ovat vaihtelevia ja outoja (kuva 3.10).

Riisi. 3.10.
Fraktaaligrafiikka

Täydellisiä tietoja tästä aiheesta löytyy Internetistä (esimerkiksi osoitteesta http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. Graafiset tiedostomuodot

Grafiikkatiedostomuoto on tapa esittää graafista dataa ulkoisella medialla. Graafisista tiedostoista on rasteri- ja vektorimuotoja, joista puolestaan on yleismaailmallisia grafiikkamuotoja ja graafisten sovellusten patentoituja (alkuperäisiä) muotoja.

Kaikki rasterigrafiikkaa (vektorigrafiikkaa) käyttävät sovellukset "ymmärtävät" universaalit grafiikkamuodot.

Universaali rasterigrafiikkamuoto on BMP-muoto. Tässä muodossa olevilla grafiikkatiedostoilla on suuri tietomäärä, koska ne varaavat 24 bittiä tietojen tallentamiseen kunkin pikselin väristä.

Universaaliin GIF-bittikarttamuotoon tallennetuissa piirustuksissa voi käyttää vain 256 eri väriä. Tämä paletti sopii yksinkertaisiin kuviin ja kuvakkeisiin. Tämän muodon graafisilla tiedostoilla on pieni tietomäärä. Tämä on erityisen tärkeää käytettävälle grafiikalle Maailman laajuinen verkko, jonka käyttäjät haluavat pyytämänsä tiedot näkyvän näytöllä mahdollisimman nopeasti.

Universaali rasterimuotoinen JPEG on suunniteltu erityisesti tehokkaaseen kuvien tallentamiseen valokuvalaatua. Nykyaikaiset tietokoneet tarjoavat yli 16 miljoonan värin toiston, joista suurin osa on ihmissilmälle yksinkertaisesti mahdoton erottaa. JPEG-muodossa Voit hylätä vierekkäisten pikselien värivalikoiman, joka on "liiallinen" ihmisen havainnolle. Osa alkuperäisestä tiedosta katoaa, mutta tämä varmistaa graafisen tiedoston tietomäärän (pakkauksen) pienenemisen. Käyttäjälle annetaan mahdollisuus määrittää tiedoston pakkausaste. Jos tallennettava kuva on valokuva, joka on tarkoitus tulostaa suurikokoiselle arkille, tietojen menettäminen ei ole toivottavaa. Jos tämä valokuva julkaistaan Web-sivulla, se voidaan pakata turvallisesti kymmeniä kertoja: jäljellä oleva tieto riittää kuvan toistamiseen näyttöruudulla.

Yleisiin vektorigrafiikkamuotoihin kuuluu WMF-muoto, jota käytetään Microsoftin kuvien kokoelman tallentamiseen (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Universaali EPS-muoto mahdollistaa tietojen tallentamisen sekä rasteri- että vektorigrafiikasta. Sitä käytetään usein tuomaan 2 tiedostoa tulostusohjelmiin.

2 Tiedoston avaaminen ohjelmassa, jossa sitä ei ole luotu.

Omiin formaatteihin tutustut suoraan työskentelyn aikana graafiset sovellukset. He tarjoavat paras suhde tiedoston kuvanlaatu ja tietomäärä, mutta vain tiedoston luova sovellus tukee (eli tunnistaa ja toistaa) niitä.

Ongelma 1. Yhden pikselin koodaamiseen käytetään 3 tavua. Valokuva, jonka koko on 2048 x 1536 pikseliä, tallennettiin pakkaamattomana tiedostona. Määritä tuloksena olevan tiedoston koko.

Ratkaisu.

Vastaus: 9 MB.

Ongelma 2. Pakkaamaton 128 x 128 pikselin bittikarttakuva vie 2 kt muistia. Mikä on suurin mahdollinen värien määrä kuvapaletissa?

Ratkaisu.

Vastaus: 2 väriä - musta ja valkoinen.

Tärkein

Tietokonegrafiikka on laaja käsite, joka viittaa: 1) erityyppisiin tietokoneilla luotuihin tai käsiteltyihin graafisiin objekteihin; 2) toiminta-alue, jolla tietokoneita käytetään työkaluina graafisten objektien luomiseen ja käsittelyyn.

Graafisen kuvan luomismenetelmästä riippuen erotetaan rasteri- ja vektorigrafiikka.

Rasterigrafiikassa kuva muodostetaan rasterin muodossa - kokoelma pisteitä (pikseleitä), jotka muodostavat rivejä ja sarakkeita. Kun rasterikuva tallennetaan tietokoneen muistiin, tiedot kunkin siihen sisältyvän pikselin väristä tallennetaan.

Vektorigrafiikassa kuvat muodostetaan tiettyä graafista objektia kuvaavien tietojoukkojen (vektoreiden) ja niiden rakentamiskaavojen perusteella. Tallennettaessa vektorikuvaa tietokoneen muistiin tallennetaan tiedot yksinkertaisimmista geometrisista kohteista, joista se koostuu.

Grafiikkatiedostomuoto on tapa esittää graafista dataa ulkoisella medialla. Grafiikkatiedostoista on rasteri- ja vektorimuotoja, joista puolestaan on yleismaailmallisia grafiikkamuotoja ja graafisten sovellusten patentoituja muotoja.

Kysymyksiä ja tehtäviä

Mitä on tietokonegrafiikka?
Luettele tietokonegrafiikan tärkeimmät sovellusalueet.
Miten digitaalista grafiikkaa voidaan tuottaa?
Skannataan värikuva, jonka koko on 10 x 15 cm, skannerin resoluutio on 600 x 600 dpi, värisyvyys 3 tavua. Mikä tietomäärä tuloksena olevalla grafiikkatiedostolla on?
Mitä eroa on kuvan esittämiseen tarkoitettujen rasteri- ja vektorimenetelmien välillä?
Miksi rasterikuvien uskotaan välittävän värit erittäin tarkasti?
Mikä rasterikuvan muunnos aiheuttaa suurimman laadun heikkenemisen - pienentäminen vai suurentaminen? Miten voit selittää tämän?
Miksi skaalaus ei vaikuta vektorikuvien laatuun?
Miten voit selittää erilaisia graafisia tiedostomuotoja?
Mikä on tärkein ero yleisten grafiikkamuotojen ja patentoitujen grafiikkasovellusmuotojen välillä?
Muodosta mahdollisimman täydellinen graafi luvun 3.2.4 käsitteille.
Anna yksityiskohtainen kuvaus rasteri- ja vektorikuvista ja mainitse seuraavat seikat:
1024 x 512 pikselin piirustus tallennettiin pakkaamattomana 1,5 Mt:n tiedostona. Kuinka paljon tietoa käytettiin pikselin värin koodaamiseen? Mikä on tätä värisyvyyttä vastaavan paletin suurin mahdollinen värimäärä?
Pakkaamaton 256 x 128 pikselin bittikarttakuva vie 16 kt muistia. Mikä on suurin mahdollinen värien määrä kuvapaletissa?

Grafiikka tiedostomuoto on tapa esittää graafista dataa ulkoisella medialla. Erottaa rasteri- ja vektorimuodot graafiset tiedostot, joiden joukossa puolestaan on universaalit grafiikkamuodot Ja graafisten sovellusten omat (alkuperäiset) formaatit.

Kaikki rasterigrafiikkaa (vektorigrafiikkaa) käyttävät sovellukset "ymmärtävät" universaalit grafiikkamuodot.

Universaali rasterigrafiikkamuoto on BMP-muoto. Tässä muodossa olevilla grafiikkatiedostoilla on suuri tietomäärä, koska ne varaavat 24 bittiä tietojen tallentamiseen kunkin pikselin väristä.

Yleiseen bittikarttaan tallennetuissa piirustuksissa GIF-muoto, voit käyttää vain 256 eri väriä. Tämä paletti sopii yksinkertaisiin kuviin ja kuvakkeisiin. Tämän muodon graafisilla tiedostoilla on pieni tietomäärä. Tämä on erityisen tärkeää World Wide Webissä käytettävälle grafiikalle, jossa käyttäjät haluavat pyytämänsä tiedot näkyvän näytöllä mahdollisimman nopeasti.

Universaali rasteri JPEG-muodossa Suunniteltu erityisesti valokuvalaatuisten kuvien tehokkaaseen tallentamiseen. Nykyaikaiset tietokoneet pystyvät toistamaan yli 16 miljoonaa väriä, joista suurin osa on ihmissilmälle yksinkertaisesti mahdoton erottaa. JPEG-muodon avulla voit hylätä vierekkäisten pikselien värivalikoiman, joka on "liian" ihmisen havaitsemisen kannalta. Osa alkuperäisestä tiedosta katoaa, mutta tämä varmistaa graafisen tiedoston tietomäärän (pakkauksen) pienenemisen. Käyttäjälle annetaan mahdollisuus määrittää tiedoston pakkausaste. Jos tallennettava kuva on valokuva, joka on tarkoitus tulostaa suurikokoiselle arkille, tietojen menettäminen ei ole toivottavaa. Jos tämä valokuva sijoitetaan Web-sivulle, se voidaan pakata turvallisesti kymmeniä kertoja: jäljellä oleva tieto riittää toistamaan kuvan näyttöruudulla.

Yleisiä vektorigrafiikkamuotoja ovat mm WMF-muoto, jota käytetään Microsoftin kuvien kokoelman tallentamiseen.

Universaali EPS-muoto voit tallentaa tietoja sekä rasteri- että vektorigrafiikasta. Sitä käytetään usein tiedostojen tuomiseen painotuotantoohjelmiin.

Opit omiin formaattiasi suoraan työskennellessään graafisten sovellusten kanssa. Ne tarjoavat parhaan kuvanlaadun ja tiedostotietojen määrän suhteen, mutta vain tiedoston luova sovellus tukee niitä (eli tunnistaa ja toistaa).

Tehtävä 1.
Yhden pikselin koodaamiseen käytetään 3 tavua. Valokuva, jonka koko on 2048 x 1536 pikseliä, tallennettiin pakkaamattomana tiedostona. Määritä tuloksena olevan tiedoston koko.

Ratkaisu:
i = 3 tavua
K = 2048 1536
minä -?

I = K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (tavua) = 9 (MB).

Vastaus: 9MB.

Tehtävä 2.
Pakkaamaton 128 x 128 pikselin bittikarttakuva vie 2 kt muistia. Mikä on suurin mahdollinen värien määrä kuvapaletissa?

Ratkaisu:
K = 128 128
I = 2 kt
N -?

I = K i
i = I/K
N = 2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) / (2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bitti) .
N = 2 1 = 2.

Vastaus: 2 väriä - musta ja valkoinen.

Tärkein:

Grafiikkatiedostomuoto on tapa esittää graafista dataa ulkoisella medialla. Grafiikkatiedostoista on rasteri- ja vektorimuotoja, joista puolestaan on yleismaailmallisia grafiikkamuotoja ja graafisten sovellusten patentoituja muotoja.

Graafiteoria on diskreetin matematiikan haara, joka tutkii yksittäisinä elementteinä (pisteinä) esitettyjä objekteja ja niiden välisiä yhteyksiä (kaaret, reunat).

Graafiteoria on peräisin kuuluisan matemaatikon vuonna 1736 tekemästä Königsbergin siltojen ongelman ratkaisusta. Leonard Euler(1707-1783: syntynyt Sveitsissä, asunut ja työskennellyt Venäjällä).

Ongelma Königsbergin silloista.

Preussilaisessa Königsbergin kaupungissa Pregal-joen varrella on seitsemän siltaa. Onko mahdollista löytää kävelyreitti, joka ylittää jokaisen sillan tarkalleen kerran ja alkaa ja päättyy samaan paikkaan?

Graafia, jossa on reitti, joka alkaa ja päättyy samassa kärjessä ja kulkee graafin kaikkia reunoja pitkin täsmälleen kerran, kutsutaan ns.Eulerin graafi.

Huippupisteiden sarja (ehkä toistuva), jonka kautta haluttu reitti kulkee, sekä itse reitti on ns.Eulerin sykli .

Kolmen talon ja kolmen kaivon ongelma.

Siellä on kolme taloa ja kolme kaivoa, jotka on jotenkin sijoitettu lentokoneeseen. Piirrä polku jokaisesta talosta jokaiseen kaivoon, jotta polut eivät leikkaa toisiaan. Kuratovsky (1896 - 1979) ratkaisi tämän ongelman (osoitti, että ratkaisua ei ole) vuonna 1930.

Neljän värin ongelma. Tason osiointia ei-leikkaaviin alueisiin kutsutaan kortilla. Kartta-alueita kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yhteinen raja. Tehtävänä on värittää kartta siten, että kahta vierekkäistä aluetta ei maalata samalla värillä. 1800-luvun lopusta lähtien on tunnettu hypoteesi, että neljä väriä riittää tähän. Hypoteesia ei ole vielä todistettu.

Julkaistun ratkaisun ydin on kokeilla suurta, mutta rajallista määrää (noin 2000) mahdollisia vastaesimerkkejä nelivärilauseeseen ja osoittaa, ettei yksikään tapaus ole vastaesimerkki. Tämän haun suoritti ohjelma noin tuhannessa supertietokoneen toiminnassa.

Tuloksena olevaa ratkaisua on mahdotonta tarkistaa "manuaalisesti" - luettelon laajuus on ihmisen kykyjen ulkopuolella. Monet matemaatikot herättävät kysymyksen: voidaanko tällaista "ohjelmatodistusta" pitää pätevänä todisteena? Loppujen lopuksi ohjelmassa voi olla virheitä...

Näin ollen voimme vain luottaa tekijöiden ohjelmointitaitoon ja uskoa, että he tekivät kaiken oikein.

Määritelmä 7.1. Kreivi G= G(V, E) on kahden äärellisen joukon kokoelma: V – kutsutaan monia huippuja ja alkioparien joukko E V:stä, ts. EÍV´V, soitti monta reunaa, jos parit ovat järjestämättömiä, tai monta kaaria, jos parit on tilattu.

Ensimmäisessä tapauksessa kaavio G(V, E) nimeltään suuntautumaton, toisessa - suuntautunut.

ESIMERKKI. Graafi, jossa on joukko pisteitä V = (a,b,c) ja joukko reunoja E =((a, b), (b, c))

ESIMERKKI. Kaavio, jossa V = (a,b,c,d,e) ja E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),

Jos e=(v 1 ,v 2), еОЕ, niin sanotaan, että reuna on e yhdistää kärjet v 1 ja v 2.

Kaksi kärkeä v 1, v 2 kutsutaan vieressä, jos niitä yhdistää reuna. Tässä tilanteessa kutakin kärkeä kutsutaan tapaus vastaava reuna .

Kaksi erilaista kylkiluuta vieressä, jos niillä on yhteinen kärki. Tässä tilanteessa kutakin reunaa kutsutaan satunnaista vastaava kärki .

Graafin kärkien lukumäärä G merkitään v, ja reunojen lukumäärä on e:

Kaavioiden geometrinen esitys on seuraava:

1) graafin kärki on piste avaruudessa (tasolla);

2) suuntaamattoman graafin reuna – segmentti;

3) suunnatun graafin kaari – suunnattu segmentti.

Määritelmä 7.2. Jos reunassa e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 esiintyy, niin reunaa e kutsutaan silmukka. Jos graafi sallii silmukat, sitä kutsutaan kaavio silmukoilla tai pseudografi .

Jos graafi sallii useamman kuin yhden reunan kahden kärjen välillä, sitä kutsutaan monikuvaaja .

Jos graafin ja/tai reunan jokainen kärki on nimetty, tällaista graafia kutsutaan merkitty (tai ladattu ). Merkkeinä käytetään yleensä kirjaimia tai kokonaislukuja.

Määritelmä 7.3. Kaavio G (V , E ) nimeltään alakuvaaja (tai osa ) kaavio G(V,E), Jos V V, E E. Jos V = V, Tuo G nimeltään kattava aligraafi G.

Esimerkki 7 . 1 . Annettu suuntaamaton graafi.

Määritelmä 7.4. Graafia kutsutaan saattaa loppuun , Jos minkä tahansa sen kaksi kärkeä on yhdistetty reunalla. Täydellinen kaavio n kärkipisteitä on merkitty K n .

Kreivit K 2 , TO 3, TO 4 ja K 5 .

Määritelmä 7.5. Kaavio G=G(V, E) kutsutaan kaksisirkkainen , Jos V voidaan esittää esimerkiksi hajaantuneiden joukkojen liittona V=AB, joten jokaisella reunalla on muoto ( v i , v j), Missä v i A Ja v j B.

Kukin reuna yhdistää kärjen A:sta B:n kärkeen, mutta kahta A:n kärkeä tai kahta B:n kärkeä ei ole yhdistetty.

Kaksiosaista graafia kutsutaan täydellinen kaksisirkkainen Kreivi K m , n, Jos A sisältää m huiput, B sisältää n kärjet ja jokaiselle v i A, v j B meillä on ( v i , v j)E.

Siis kaikille v i A, Ja v j B niitä yhdistää reuna.

K 12 K 23 K 22 K 33

Esimerkki 7 . 2 . Muodosta täydellinen kaksiosainen graafi K 2.4 ja koko kaavio K 4 .

Yksikkökaavion-ulotteinen kuutioSISÄÄN n .

Graafin kärjet ovat n-ulotteisia binäärijoukkoja. Reunat yhdistävät pisteitä, jotka eroavat yhdellä koordinaatilla.

Esimerkki:

Graafin käsite on suositeltavaa ottaa käyttöön sen jälkeen, kun on analysoitu useita tehtävän 1 kaltaisia ongelmia, joissa ratkaiseva huomio on graafinen esitys. On tärkeää, että opiskelijat ymmärtävät heti, että sama kaavio voidaan piirtää eri tavoilla. Mielestäni graafille ei ole tarvetta antaa tiukkaa määritelmää, koska se on liian raskasta ja vain vaikeuttaa keskustelua. Aluksi intuitiivinen konsepti riittää. Kun keskustelet isomorfismin käsitteestä, voit ratkaista useita harjoituksia isomorfisten ja ei-isomorfisten kuvaajien tunnistamiseksi. Yksi aiheen keskeisistä kohdista on lause parittomien pisteiden pariteetista. On tärkeää, että opiskelijat ymmärtävät täysin sen todisteet ja oppivat soveltamaan sitä ongelmanratkaisuun. Kun analysoidaan useita ongelmia, suosittelen olemaan viittaamatta lauseeseen, vaan itse asiassa toistamaan sen todiste. Graafin liitettävyyden käsite on myös erittäin tärkeä. Tässä on mielekästä huomioida liitettävyyskomponentti, johon on kiinnitettävä erityistä huomiota. Euler-kaaviot ovat melkein peliaihe.

Ensimmäinen ja tärkein tavoite, johon graafia opiskellessa on pyrittävä, on opettaa koululaiset näkemään graafi ongelmanpuheenvuorossa ja kääntämään ehto oikein graafiteorian kielelle. Molempia ei pidä kertoa kaikille useilla luokilla peräkkäin. On parempi jakaa luokat 2–3 lukuvuodelle. (Liitteenä oppitunnin "Kävijän käsite. Kaavioiden soveltaminen ongelmanratkaisuun" kehitystyö 6. luokalla).

2. Teoreettinen materiaali aiheeseen "Grafit".

Johdanto

Graafit ovat upeita matemaattisia objekteja, joiden avulla voit ratkaista monia erilaisia, ulkoisesti erilaisia ongelmia. Matematiikassa on kokonainen osio - graafiteoria, joka tutkii graafia, niiden ominaisuuksia ja sovelluksia. Käsittelemme vain peruskäsitteitä, graafien ominaisuuksia ja joitakin tapoja ratkaista ongelmia.

Kuvaajan käsite

Tarkastellaan kahta ongelmaa.

Tehtävä 1. Aurinkokunnan yhdeksän planeetan välille on luotu avaruusviestintä. Säännölliset raketit lentävät seuraavilla reiteillä: Maa - Merkurius; Pluto - Venus; Maa - Pluto; Pluto - Merkurius; Mercury - Wien; Uranus - Neptunus; Neptunus - Saturnus; Saturnus - Jupiter; Jupiter - Mars ja Mars - Uranus. Onko mahdollista lentää tavallisilla raketteilla Maasta Marsiin?

Ratkaisu: Piirretään kaavio tilasta: kuvataan planeetat pisteinä ja rakettireitit viivoina.

Nyt on heti selvää, että on mahdotonta lentää Maasta Marsiin.

Tehtävä 2. Lauta on kaksoisristin muotoinen, joka saadaan poistamalla kulmaneliöt 4x4 neliöstä.

Onko mahdollista ohittaa se liikuttamalla shakkiritaria ja palata alkuperäiselle ruudulle, kun olet käynyt kaikilla ruuduilla tarkalleen kerran?

Ratkaisu: Numeroidaan taulun neliöt peräkkäin:

Ja nyt, käyttämällä kuvaa, osoitamme, että tällainen taulukon läpikulku, kuten ehdossa on ilmoitettu, on mahdollista:

Pohdimme kahta erilaista ongelmaa. Näiden kahden ongelman ratkaisuja yhdistää kuitenkin yhteinen idea - ratkaisun graafinen esitys. Samalla jokaiseen tehtävään piirretyt kuvat osoittautuivat samanlaisiksi: jokainen kuva koostuu useista pisteistä, joista osa on yhdistetty viivoilla.

Tällaisia kuvia kutsutaan kaavioita. Pisteitä kutsutaan huiput ja rivit – kylkiluut kaavio. Huomaa, että jokaista tämäntyyppistä kuvaa ei kutsuta kaavioksi. Esimerkiksi. jos sinua pyydetään piirtämään viisikulmio muistikirjaasi, tällainen piirros ei ole kaavio. Kutsumme tämän tyyppistä piirustusta, kuten edellisissäkin tehtävissä, graafiksi, jos on jokin tietty tehtävä, jota varten tällainen piirustus on tehty.

Toinen huomautus koskee kaavion ulkonäköä. Yritä tarkistaa, että saman ongelman kaavio voidaan piirtää eri tavoilla; ja päinvastoin, eri tehtäviin voit piirtää saman näköisiä kaavioita. Tässä on vain merkitystä, mitkä kärjet ovat yhteydessä toisiinsa ja mitkä eivät. Esimerkiksi tehtävän 1 kaavio voidaan piirtää eri tavalla:

Tällaisia identtisiä, mutta eri tavalla piirrettyjä kaavioita kutsutaan isomorfinen.

Piikkien asteet ja graafin reunojen lukumäärän laskeminen

Kirjoita vielä yksi määritelmä: Graafin kärjen aste on siitä lähtevien reunojen lukumäärä. Tässä suhteessa parillisen asteen kärkeä kutsutaan parilliseksi kärjeksi, vastaavasti parittoman asteen kärkeä kutsutaan parittomaksi pisteeksi.

Yksi graafiteorian pääteoreemoista liittyy kärjen asteen käsitteeseen - lauseeseen parittomien pisteiden lukumäärän oikeudenmukaisuudesta. Todistamme sen hieman myöhemmin, mutta ensin, esimerkkinä, pohdimme ongelmaa.

Tehtävä 3. Malenkyn kaupungissa on 15 puhelinta. Onko mahdollista yhdistää ne johtoilla siten, että jokainen puhelin on kytketty tasan viiteen muuhun?

Ratkaisu: Oletetaan, että tällainen yhteys puhelimien välillä on mahdollinen. Kuvittele sitten graafi, jossa kärjet edustavat puhelimia ja reunat edustavat niitä yhdistäviä johtoja. Lasketaan kuinka monta johtoa on yhteensä. Jokaiseen puhelimeen on kytketty tasan 5 johtoa, ts. graafimme kunkin kärjen aste on 5. Johtojen lukumäärän selvittämiseksi sinun on laskettava yhteen kaavion kaikkien kärkien asteet ja jaettava tuloksena saatu tulos 2:lla (koska jokaisella johdolla on kaksi päätä, niin asteita summattaessa jokainen lanka otetaan 2 kertaa) . Mutta sitten johtojen määrä on erilainen. Mutta tämä luku ei ole kokonaisluku. Tämä tarkoittaa, että olettamuksemme, että jokainen puhelin voidaan yhdistää tasan viiteen muuhun, osoittautui virheelliseksi.

Vastaus. Puhelimen yhdistäminen tällä tavalla on mahdotonta.

Lause: Mikä tahansa graafi sisältää parillisen määrän parittomia pisteitä.

Todiste: Graafin reunojen määrä on yhtä suuri kuin puolet sen kärkien asteiden summasta. Koska reunojen lukumäärän on oltava kokonaisluku, on pisteiden asteiden summan oltava parillinen. Ja tämä on mahdollista vain, jos graafi sisältää parillisen määrän parittomia pisteitä.

Graafinen liitettävyys

Graafeihin liittyy toinenkin tärkeä käsite - liitettävyyden käsite.

Graafia kutsutaan johdonmukainen, jos sen kaksi kärkeä voidaan yhdistää kirjoittaja, nuo. jatkuva reunojen sarja. On olemassa useita ongelmia, joiden ratkaisu perustuu graafisen liitettävyyden käsitteeseen.

Tehtävä 4. Seitsemän maassa on 15 kaupunkia, joista jokainen on yhdistetty teiden kautta vähintään seitsemään muuhun kaupunkiin. Todista, että on muodikasta päästä jokaisesta kaupungista mihin tahansa.

Todiste: Tarkastellaan kahta mielivaltaista kaupunkia A ja B ja oletetaan, että niiden välillä ei ole polkua. Kukin niistä on yhdistetty teiden kautta vähintään seitsemään muuhun, eikä ole olemassa kaupunkia, joka olisi yhteydessä molempiin kyseessä oleviin kaupunkeihin (muuten olisi polku A:sta B:hen). Piirretään näitä kaupunkeja vastaava osa kaaviosta:

Nyt on selvästi nähtävissä, että olemme vastaanottaneet ainakin 16 eri kaupunkia, mikä on ristiriidassa ongelman ehtojen kanssa. Tämä tarkoittaa, että väite on todistettu ristiriitaisesti.

Jos otamme huomioon edellisen määritelmän, niin ongelman lauseke voidaan muotoilla uudelleen toisella tavalla: "Todista, että maan Seitsemän tiekaavio on yhdistetty."

Nyt tiedät, miltä yhdistetty kaavio näyttää. Irrotettu graafi on muodoltaan useita "kappaleita", joista jokainen on joko erillinen kärki ilman reunoja tai yhdistetty graafi. Voit nähdä esimerkin irrotetusta kaaviosta kuvassa:

Jokaista tällaista yksittäistä kappaletta kutsutaan kaavion yhdistetty komponentti. Jokainen yhdistetty komponentti edustaa yhdistettyä kuvaajaa, ja kaikki väitteet, jotka olemme todistaneet yhdistetyille kaavioille, pätevät siihen. Katsotaanpa esimerkkiä ongelmasta, joka käyttää yhdistettyä komponenttia:

Ongelma 5. Far Far Away Kingdomissa on vain yksi kuljetusmuoto - lentävä matto. Pääkaupungista lähtee 21 mattolinjaa, yksi Dalniyn kaupungista ja 20 kaikista muista kaupungeista. Todista, että voit lentää pääkaupungista Dalniyn kaupunkiin.

Todiste: On selvää, että jos piirrät kaavion Valtakunnan matosta, se voi olla epäjohdonmukainen. Katsotaanpa liitettävyyskomponenttia, joka sisältää Valtakunnan pääkaupungin. Pääkaupungista tulee 21 mattoa ja 20 mistä tahansa muusta kaupungista paitsi Dalniyn kaupungista, joten jotta parillisen määrän parittomia pisteitä koskeva laki toteutuisi, Dalniyn kaupunki on otettava mukaan. samassa liitettävyyden komponentissa. Ja koska yhdistetty komponentti on yhdistetty graafi, niin pääkaupungista kulkee polku mattoja pitkin Dalniyn kaupunkiin, mikä oli todistettava.

Eulerin graafit

Olet todennäköisesti kohdannut tehtäviä, joissa sinun on piirrettävä muoto nostamatta kynää paperilta ja piirtämättä jokaista viivaa vain kerran. Osoittautuu, että tällaista ongelmaa ei aina voida ratkaista, ts. On lukuja, joita ei voida piirtää tällä menetelmällä. Graafiteoriaan sisältyy myös kysymys tällaisten ongelmien ratkaistavuudesta. Sitä tutki ensimmäisenä vuonna 1736 suuri saksalainen matemaatikko Leonhard Euler, joka ratkaisi Königsbergin siltojen ongelman. Siksi tällä tavalla piirrettyjä kaavioita kutsutaan Euler-graafiksi.

Tehtävä 6. Onko mahdollista piirtää kuvassa näkyvä kaavio nostamatta kynää paperilta ja piirtämättä jokaista reunaa tasan kerran?

Ratkaisu. Jos piirrämme graafin ehdon mukaisesti, syötämme jokaiseen kärkeen alku- ja loppupisteitä lukuun ottamatta yhtä monta kertaa kuin siitä poistumme. Toisin sanoen kaikkien graafin kärkien on kahta lukuun ottamatta oltava parillisia. Graafillamme on kolme paritonta kärkeä, joten sitä ei voi piirtää ehdossa määritetyllä tavalla.

Nyt olemme todistaneet lauseen Euler-graafista:

Lause: Euler-graafissa saa olla enintään kaksi paritonta kärkeä.

Ja lopuksi - Königsbergin siltojen ongelma.

Tehtävä 7. Kuvassa on kaavio Königsbergin kaupungin silloista.

Onko mahdollista kävellä niin, että ylität jokaisen sillan tasan kerran?

3. Tehtäviä aiheelle "Kaaviot"

Graafin käsite.

1. 3x3 neliötaululle asetetaan 4 ritaria kuvan 1 mukaisesti. Onko mahdollista, kun ritareilla on tehty useita liikkeitä, järjestää ne uudelleen kuvan 2 asentoon?

Riisi. 1

Riisi. 2

Ratkaisu. Numeroidaan taulun neliöt kuvan osoittamalla tavalla:

Osoitetaan jokaiselle solulle tasossa oleva piste, ja jos yhteen soluun pääsee siirtämällä shakkiritari yhdestä solusta, niin yhdistämme vastaavat pisteet viivalla. Ritarien alkuperäinen ja vaadittu sijoitus on esitetty kuvissa:

Missä tahansa ritarin liikkeiden sarjassa niiden järjestys ei tietenkään voi muuttua. Siksi hevosia on mahdotonta järjestää uudelleen vaaditulla tavalla.

2. Numeromaassa on 9 kaupunkia, joiden nimet ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Matkustaja havaitsi, että lentoyhtiö yhdistää kaksi kaupunkia, jos ja vain jos kaksinumeroinen kaupunkien nimistä muodostettu luku jaettuna 3:lla. Onko mahdollista lentää lentäen kaupungista 1 kaupunkiin 9?

Ratkaisu. Määrittämällä kullekin kaupungille pisteen ja yhdistämällä pisteet viivalla, jos lukujen summa on jaollinen kolmella, saadaan kaavio, jossa luvut 3, 5, 9 ovat yhteydessä toisiinsa, mutta eivät ole yhteydessä toisiinsa. levätä. Tämä tarkoittaa, että et voi lentää kaupungista 1 kaupunkiin 9.

Huippupisteiden asteet ja reunojen lukumäärän laskeminen.

3. Osavaltiossa on 100 kaupunkia, ja jokaisessa kaupungissa on 4 tietä. Kuinka monta tietä osavaltiossa on?

Ratkaisu. Lasketaan kaupungista lähtevien teiden kokonaismäärä - 100 . 4 = 400. Tällä laskelmalla jokainen tie kuitenkin lasketaan 2 kertaa - se lähtee yhdestä kaupungista ja saapuu toiseen. Tämä tarkoittaa, että teitä on yhteensä kaksi kertaa vähemmän, ts. 200.

4. Luokassa on 30 henkilöä. Voisiko olla niin, että 9 ihmisellä on 3 ystävää, 11:llä 4 ystävää ja 10:llä 5 ystävää?

Vastaus. Ei (lause parittomien pisteiden pariteetista).

5. Kuninkaalla on 19 vasallia. Voisiko olla, että jokaisella vasallilla on 1, 5 tai 9 naapuria?

Vastaus. Hän ei voi.

6. Voiko valtiossa, jossa kustakin kaupungista lähtee tasan 3 tietä, olla tasan 100 tietä?

Ratkaisu. Lasketaan kaupunkien lukumäärä. Teiden määrä on yhtä suuri kuin kaupunkien lukumäärä x kerrottuna 3:lla (jokaisesta kaupungista lähtevien teiden määrä) ja jaettuna kahdella (katso tehtävä 3). Silloin 100 = 3x/2 => 3x = 200, mikä ei voi tapahtua luonnollisen x:n kanssa. Tämä tarkoittaa, että tällaisessa tilassa ei voi olla 100 tietä.

7. Todista, että niiden ihmisten määrä, jotka ovat koskaan eläneet maan päällä ja tehneet parittoman määrän kättelyjä, on parillinen.

Todistus seuraa suoraan lauseesta graafin parittomien pisteiden lukumäärästä.

Yhteydet.

8. Maalla jokaisesta kaupungista lähtee 100 tietä ja jokaisesta kaupungista pääsee mihin tahansa toiseen. Yksi tie oli suljettu korjaustöiden vuoksi. Todista, että nyt pääset mistä tahansa kaupungista mihin tahansa.

Todiste. Tarkastellaanpa yhteyskomponenttia, joka sisältää yhden niistä kaupungeista, joiden välinen tie oli suljettu. Parittomien pisteiden lukumäärän pariteetin lauseen mukaan se sisältää myös toisen kaupungin. Tämä tarkoittaa, että voit silti löytää reitin ja päästä yhdestä näistä kaupungeista toiseen.

Eulerin graafit.

9. Siellä on joukko saaria, jotka on yhdistetty silloilla, jotta jokaiselta saarelta pääsee toiselle. Turisti käveli kaikkien saarten ympäri ylittäen jokaisen sillan kerran. Hän vieraili Threefold Islandilla kolme kertaa. Kuinka monta siltaa johtaa Trojekratnojesta, jos turisti

a) ei alkanut sillä eikä päättynyt siihen?
b) aloitti sillä, mutta ei lopettanut sitä?
c) aloitti sillä ja päättyi siihen?

10. Kuvassa aidoilla useisiin osiin jaettu puisto. Onko mahdollista kävellä puiston ja sen ympäristön läpi niin, että voit kiivetä jokaisen aidan yli kerran?

Nollakuvaaja ja täydellinen kaavio.

On joitain erityisiä kaavioita, joita esiintyy monissa graafiteorian sovelluksissa. Toistaiseksi tarkastelemme kaaviota jälleen visuaalisena kaaviona, joka havainnollistaa urheilukilpailujen kulkua. Ennen kauden alkua, vaikka yhtään peliä ei ole vielä pelattu, kaaviossa ei ole reunoja. Tällainen graafi koostuu vain eristetyistä pisteistä, ts. kärkipisteistä, jotka on yhdistetty ilman reunoja. Kutsumme tämän tyyppistä kuvaajaa nollakuvaaja. Kuvassa Kuvassa 3 on kuvattu tällaisia kaavioita tapauksiin, joissa komentojen tai pisteiden lukumäärä on 1, 2, 3, 4 ja 5. Nämä nollagraafit on yleensä merkitty symboleilla O1, O2, O3 jne., joten On on nolla a graafi, jossa on n kärkeä ilman reunoja.

Tarkastellaanpa toista ääritapausta. Oletetaan, että kauden lopussa jokainen joukkue pelaa yhden pelin toista joukkuetta vastaan. Sitten vastaavassa graafissa jokainen kärkipari yhdistetään reunalla. Tällaista kuvaajaa kutsutaan täydellinen kaavio. Kuvassa 4 on esitetty kokonaisia graafisia pisteiden lukumäärällä n = 1, 2, 3, 4, 5. Nämä täydelliset graafit merkitään U1:llä, U2:lla, U3:lla, U4:llä ja U5:llä, jolloin graafi Un koostuu 11 pisteestä ja reunat, jotka yhdistävät kaikki mahdolliset näiden kärkien parit. Tätä kuvaajaa voidaan pitää n-kulmiona, johon kaikki diagonaalit on piirretty.

Jos sinulla on jokin graafi, esimerkiksi kuvassa 1 esitetty graafi G. 1, voimme aina muuttaa sen täydelliseksi graafiksi, jolla on samat kärjet, lisäämällä puuttuvat reunat (eli reunat, jotka vastaavat vielä pelattavia pelejä). Kuvassa 5 teimme tämän kuvan 5 kaaviolle. 1 (pelit, joita ei ole vielä pelattu, näytetään katkoviivoilla). Voit myös piirtää erikseen kaavion tulevista peleistä, joita ei ole vielä pelattu. Graafille G tästä saadaan kuvassa 1 esitetty kaavio. 6.

Kutsumme tätä uutta graafia graafin G komplementiksi; Se on tapana merkitä G1:llä. Kun otetaan graafin G1 komplementti, saadaan jälleen graafi G. Kummankin graafin G1 ja G reunat muodostavat yhdessä täydellisen graafin.

Suosittuja luokassa: