Készítsen minél teljesebb gráfot! Grafikonok szerkesztése jellemzőik alapján. Grafikonfeladatok az alapfogalmak megerősítésére

Kulcsszavak:

• grafikus objektum
• számítógépes grafika
• raszteres grafika
• vektoros grafika
• grafikus fájlformátumok

A rajzokat, festményeket, rajzokat, fényképeket és egyéb grafikai képeket grafikus tárgyaknak nevezzük.

3.2.1. A számítógépes grafika alkalmazási területei

A számítógépes grafika részévé vált mindennapi élet. Ez vonatkozik:

• a mérések és megfigyelések eredményeinek vizuális bemutatására (például hosszú távú klímaváltozási adatok, állatpopulációk dinamikája, különböző régiók ökológiai állapota stb.), szociológiai felmérések eredményei, tervezett, indikátorok, statisztikai adatok, ultrahangos vizsgálatok eredményei az orvostudományban stb.;
• belsőépítészeti és tájtervezési tervezések, új épületek tervezése során, technikai eszközökés egyéb termékek;
• szimulátorokban és számítógépes játékokban különféle helyzetek szimulálására, amelyek például egy repülőgép vagy űrhajó repülése során, egy autó mozgása során stb.
• mindenféle speciális effektus létrehozásakor a filmiparban;
• amikor modern felhasználói felületek szoftverés hálózati információs források;
• az emberi kreatív kifejezéshez (digitális fényképezés, digitális festészet, számítógépes animáció stb.).

A számítógépes grafikák példái az ábrán láthatók. 3.5.

Rizs. 3.5.
Számítógépes grafikai példák

• http://snowflakes.barkleyus.com/ - számítógépes eszközökkel „kivághat” bármilyen hópelyhet;
• http://www.pimptheface.com/create/ - arcot készíthet ajkak, szemek, szemöldökök, frizurák és egyéb töredékek nagy könyvtárának felhasználásával;
• http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - próbáljon új bútorokat és befejező anyagokat választani szobájába.

3.2.2. Digitális grafika készítésének módszerei

A számítógéppel létrehozott vagy feldolgozott grafikus objektumokat számítógépes adathordozón tárolják; szükség esetén papírra vagy más alkalmas adathordozóra (fólia, karton, szövet stb.) nyomtathatók.

A számítógépes adathordozón lévő grafikus objektumokat digitális grafikai objektumoknak nevezzük.

Számos módja van a digitális grafikai objektumok beszerzésének.

1. kész képek másolása digitális fényképezőgépről, külső memóriaeszközökről vagy „letöltés” ​​az internetről;
2. papíron létező grafikus képek bevitele szkenner segítségével;
3. új grafika készítése szoftver segítségével.

A szkenner működési elve az, hogy a papíron elérhető képet apró négyzetekre - pixelekre bontja, minden képpont színét meghatározza és bináris kódban tárolja a számítógép memóriájában.

A szkennelés eredményeként kapott kép minősége a pixel méretétől függ: minél kisebb a pixel, annál több pixelre oszlik az eredeti kép, és a képről minél teljesebb információ kerül át a számítógépre.

A képpontok mérete a lapolvasó felbontásától függ, amelyet általában dpi-ben adnak meg (dot per inch - pont per inch 1), és egy számpár határozza meg (például 600 x 1200 dpi). Az első szám a szkenner által kinyerhető képpontok száma egy 1 hüvelyk hosszú képsorban. A második szám azoknak a soroknak a száma, amelyekre egy 1 hüvelyk magas képcsík osztható.

Az 1 hüvelyk a hosszúság mértékegysége az angol mértékrendszerben, ami 2,54 cm-nek felel meg.

Feladat. 10 x 10 cm méretű színes képet szkennelünk, a szkenner felbontása 1200 x 1200 dpi, színmélysége 24 bit. Melyik információs kötet lesz az eredményül kapott grafikus fájl?

Megoldás. A beolvasott kép körülbelül 4 x 4 hüvelyk méretű. A szkenner felbontását figyelembe véve a teljes kép 4 4 1200 1200 pixelre lesz felosztva.

Válasz: körülbelül 66 MB.

Javasoljuk, hogy nézze meg a „Szkennerek: általános működési elvek”, „Szkennerek: síkágyas szkenner” című animációkat, amelyeket a Digitális Oktatási Erőforrások Egységes Gyűjteményében (http://school-collection.edu.ru/) tettek közzé. Ezek az erőforrások segítenek jobban megérteni a szkennelési folyamat működését. A „Digitális fényképezőgép” forrás bemutatja, hogyan készülnek a digitális fényképek (3.6. ábra).

Rizs. 3.6.
Síkágyas szkenner és digitális fényképezőgép

3.2.3. Raszteres és vektoros grafika

A létrehozási módtól függően grafikus kép Vannak raszteres, vektoros és fraktálgrafikák.

Raszteres grafika

BAN BEN raszteres grafika A kép raszter formájában van kialakítva - sorokat és oszlopokat alkotó pontok (pixelek) gyűjteménye. Minden pixel bármilyen színt felvehet egy több millió színt tartalmazó palettáról. A rasztergrafika fő előnye a színpontosság. Amikor egy raszterképet a számítógép memóriájába mentünk, a benne lévő egyes képpontok színére vonatkozó információk tárolásra kerülnek.

A raszteres kép minősége a kép pixeleinek számával és a paletta színeinek számával nő. Ezzel egyidejűleg a teljes kép információmennyisége növekszik. A nagy információmennyiség a raszteres képek egyik fő hátránya.

A raszteres képek következő hátránya a méretezésük során felmerülő nehézségekkel jár. Így egy raszteres kép kicsinyítésekor több szomszédos pixel konvertálódik eggyé, ami a kép apró részleteiben a tisztaság elvesztéséhez vezet. A raszteres kép kinagyításakor új pixelek kerülnek hozzáadásra, míg a szomszédos pixelek ugyanazt a színt veszik fel, és lépéshatás lép fel (3.7. ábra).

Rizs. 3.7.
Raszterkép és kinagyított töredéke

A rasztergrafikákat ritkán készítik kézzel. Leggyakrabban művészek által készített illusztrációk vagy fényképek beszkennelésével nyerik őket; A közelmúltban a digitális fényképezőgépeket széles körben használják raszterképek számítógépbe történő bevitelére.

vektoros grafika

Sok grafikai kép szegmensek, körök, ívek, téglalapok és egyéb geometriai formák gyűjteményeként is bemutatható. Például az ábrán látható kép. A 3.8 körökből, szakaszokból és egy téglalapból áll.

Rizs. 3.8.
Körökből, szegmensekből és téglalapból készült kép

Ezek az ábrák mindegyike leírható matematikailag: szakaszok és téglalapok - csúcsuk koordinátáival, körök - középpontjaik és sugaraik koordinátáival. Ezenkívül beállíthatja a vonalak vastagságát és színét, a kitöltési színt és a geometriai formák egyéb tulajdonságait. BAN BEN vektoros grafika ilyen, grafikus objektumokat leíró adathalmazok (vektorok) és azok felépítésére szolgáló képletek alapján képzõdik a képek. Egy vektoros kép mentésekor az azt alkotó legegyszerűbb geometriai objektumok információi bekerülnek a számítógép memóriájába.

A vektoros képek információmennyisége lényegesen kisebb, mint a raszteres képek információmennyisége. Például egy kör raszteres grafikával történő ábrázolásához információra van szüksége annak a négyzetterületnek az összes képpontjáról, amelybe a kör be van írva; A kör vektorgrafikussal történő ábrázolásához csak egy pont (a középpont) és a sugár koordinátáira van szükség.

A vektoros képek másik előnye, hogy minőségromlás nélkül átméretezhetők (3.9. ábra). Ez abból adódik, hogy egy vektorobjektum minden egyes transzformációjával a régi kép törlődik, helyette pedig egy újat készítenek a meglévő képletekkel, de figyelembe véve a megváltozott adatokat.

Rizs. 3.9.
Egy vektorkép, konvertált töredéke és a legegyszerűbb geometriai formák, amelyekből ez a töredék „összeáll”

Ugyanakkor nem minden kép ábrázolható egyszerű geometriai formák gyűjteményeként. Ez a bemutatási mód jó rajzokhoz, diagramokhoz, üzleti grafikákhoz és egyéb olyan esetekben, ahol a képek éles és tiszta körvonalainak megőrzése különösen fontos.

A fraktálgrafika, akárcsak a vektorgrafika, matematikai számításokon alapul. A vektorgrafikától eltérően azonban a számítógép memóriája nem a képet alkotó geometriai alakzatok leírását tárolja, hanem magát a matematikai képletet (egyenletet), amelyet a kép elkészítéséhez használnak. A fraktálképek változatosak és bizarrak (3.10. ábra).

Rizs. 3.10.
Fraktál grafika

Erről a kérdésről részletesebb információkat találhat az interneten (például a http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal oldalon).

3.2.4. Grafikus fájlformátumok

A grafikus fájlformátum a grafikus adatok külső adathordozón való megjelenítésének módja. Vannak raszteres és vektoros formátumok grafikus fájlok, amelyek között vannak univerzális grafikai formátumok és a grafikus alkalmazások saját (eredeti) formátumai.

Az univerzális grafikai formátumokat minden raszteres (vektoros) grafikával dolgozó alkalmazás „megérti”.

Az univerzális raszteres grafikai formátum a BMP formátum. Az ilyen formátumú grafikus fájlok nagy információmennyiséggel rendelkeznek, mivel 24 bitet foglalnak le az egyes pixelek színére vonatkozó információk tárolására.

Az univerzális GIF bittérképes formátumban mentett rajzok csak 256 különböző színt használhatnak. Ez a paletta egyszerű illusztrációkhoz és piktogramokhoz alkalmas. Az ilyen formátumú grafikus fájlok kis információmennyiséggel rendelkeznek. Ez különösen fontos a használt grafikáknál Világháló, amelynek felhasználói azt szeretnék, hogy az általuk kért információk a lehető leggyorsabban megjelenjenek a képernyőn.

Az univerzális raszteres formátumú JPEG kifejezetten hatékony képtárolásra készült fényképes minőség. Modern számítógépek Több mint 16 millió szín reprodukálását biztosítják, amelyek többsége emberi szem számára egyszerűen megkülönböztethetetlen. JPEG formátum lehetővé teszi a szomszédos pixelek olyan sokféle színének elvetését, amelyek „túlzóak” az emberi érzékelés szempontjából. Az eredeti információk egy része elveszik, de ez biztosítja a grafikus fájl információmennyiségének (tömörítésének) csökkenését. A felhasználónak lehetősége van meghatározni a fájltömörítés mértékét. Ha a mentett kép egy fénykép, amelyet nagy formátumú lapra kell nyomtatni, akkor az információvesztés nem kívánatos. Ha ez a fénykép felkerül egy weboldalra, akkor biztonságosan több tízszer tömöríthető: a fennmaradó információ elegendő lesz a kép reprodukálásához a monitor képernyőjén.

Az univerzális vektorgrafikus formátumok közé tartozik a WMF formátum, amely a Microsoft-képek gyűjteményének tárolására szolgál (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Az univerzális EPS formátum lehetővé teszi mind a raszteres, mind a vektorgrafikákról szóló információk tárolását. Gyakran használják 2 fájl nyomtatási programokba történő importálására.

2 Egy fájl megnyitásának folyamata egy olyan programban, amelyben az nem jött létre.

Közvetlenül a munka során ismerkedhet meg saját formátumaival grafikus alkalmazások. Ők biztosítják legjobb arány a fájl képminősége és információmennyisége, de ezeket csak maga a fájlt létrehozó alkalmazás támogatja (azaz felismeri és reprodukálja).

1. probléma. Egy képpont kódolásához 3 bájtot használnak. A 2048 x 1536 képpont méretű fotót tömörítetlen fájlként mentettük. Határozza meg az eredményül kapott fájl méretét.

Megoldás.

Válasz: 9 MB.

2. probléma. Egy tömörítetlen, 128 x 128 pixeles bittérképes kép 2 KB memóriát foglal el. Mennyi lehet a színek maximális száma a képpalettán?

Megoldás.

Válasz: 2 szín - fekete és fehér.

A legfontosabb

A számítógépes grafika egy tág fogalom, amely a következőkre vonatkozik: 1) számítógéppel létrehozott vagy feldolgozott különböző típusú grafikus objektumok; 2) olyan tevékenységi terület, ahol a számítógépeket grafikus objektumok létrehozására és feldolgozására szolgáló eszközként használják.

A grafikus kép létrehozásának módjától függően megkülönböztetünk raszteres és vektorgrafikát.

A rasztergrafikában a kép raszter formájában jön létre - sorokat és oszlopokat képező pontok (pixelek) gyűjteménye. Amikor egy raszterképet a számítógép memóriájába mentünk, a benne lévő egyes képpontok színére vonatkozó információk tárolásra kerülnek.

A vektorgrafikában a képek egy adott grafikus objektumot leíró adathalmazok (vektorok) és azok szerkesztésére szolgáló képletek alapján jönnek létre. Egy vektoros kép mentésekor az azt alkotó legegyszerűbb geometriai objektumok információi bekerülnek a számítógép memóriájába.

A grafikus fájlformátum a grafikus adatok külső adathordozón való megjelenítésének módja. A grafikus fájlok raszteres és vektoros formátumai vannak, amelyek között vannak univerzális grafikai formátumok és a grafikus alkalmazások szabadalmaztatott formátumai.

Kérdések és feladatok

1. Mi az a számítógépes grafika?
2. Sorolja fel a számítógépes grafika főbb alkalmazási területeit!
3. Hogyan készíthető digitális grafika?
4. 10 x 15 cm méretű színes képet szkennelünk, a szkenner felbontása 600 x 600 dpi, színmélysége 3 bájt. Mekkora információmennyiségű lesz az eredményül kapott grafikus fájl?
5. Mi a különbség a raszteres és a vektoros ábrázolási módszerek között?
6. Miért hiszik azt, hogy a raszteres képek nagyon pontosan adják át a színeket?
7. A raszteres kép konvertálásának melyik művelete vezet a legnagyobb minőségromláshoz – kicsinyítés vagy nagyítás? Hogyan magyarázhatja ezt?
8. Miért nem befolyásolja a méretezés a vektoros képek minőségét?
9. Hogyan magyarázhatja el a grafikus fájlformátumok sokféleségét?
10. Mi a fő különbség az univerzális grafikai formátumok és a szabadalmaztatott grafikus alkalmazásformátumok között?
11. Készítsen minél teljesebb gráfot a 3.2.4. szakaszban szereplő fogalmakhoz.
12. Adjon részletes leírást a raszteres és vektoros képekről a következők megjelölésével:

    a) milyen elemekből épül fel a kép;

    b) milyen információkat tárol a képről a külső memória;

    c) hogyan határozzák meg egy grafikus képet tartalmazó fájl méretét;

    d) hogyan változik a képminőség skálázáskor;

    e) melyek a raszteres (vektoros) képek fő előnyei és hátrányai.

13. Az 1024 x 512 pixeles rajzot tömörítetlen 1,5 MB-os fájlként mentette. Mennyi információt használtak fel a pixel színének kódolásához? Mennyi lehet a színek maximális száma egy palettán ennek a színmélységnek megfelelően?
14. Egy tömörítetlen, 256 x 128 pixeles bittérképes kép 16 KB memóriát foglal el. Mennyi lehet a színek maximális száma a képpalettán?

Grafikus fájl formátum a grafikus adatok külső adathordozón való megjelenítésének módja. Megkülönböztetni raszteres és vektoros formátumok grafikus fájlok, amelyek között viszont vannak univerzális grafikai formátumokÉs grafikus alkalmazások saját (eredeti) formátumai.

Az univerzális grafikai formátumokat minden raszteres (vektoros) grafikával dolgozó alkalmazás „megérti”.

Az univerzális raszteres grafikai formátum az BMP formátum. Az ilyen formátumú grafikus fájlok nagy információmennyiséggel rendelkeznek, mivel 24 bitet foglalnak le az egyes pixelek színére vonatkozó információk tárolására.

Univerzális bittérképben mentett rajzokban GIF formátum, csak 256 különböző színt használhat. Ez a paletta egyszerű illusztrációkhoz és piktogramokhoz alkalmas. Az ilyen formátumú grafikus fájlok kis információmennyiséggel rendelkeznek. Ez különösen fontos a világhálón használt grafikák esetében, ahol a felhasználók azt szeretnék, hogy az általuk kért információk a lehető leggyorsabban megjelenjenek a képernyőn.

Univerzális raszter JPEG formátum Kifejezetten fényképes minőségű képek hatékony tárolására tervezték. A modern számítógépek több mint 16 millió színt képesek reprodukálni, amelyek többsége az emberi szem számára egyszerűen megkülönböztethetetlen. A JPEG formátum lehetővé teszi a szomszédos pixelek sokféle színének elvetését, amelyek „túlzóak” az emberi érzékeléshez. Az eredeti információk egy része elveszik, de ez biztosítja a grafikus fájl információmennyiségének (tömörítésének) csökkenését. A felhasználónak lehetősége van meghatározni a fájltömörítés mértékét. Ha a mentett kép egy fénykép, amelyet nagy formátumú lapra kell nyomtatni, akkor az információvesztés nem kívánatos. Ha ezt a fényképet egy weboldalra helyezik, akkor biztonságosan több tízszer tömöríthető: a fennmaradó információ elegendő lesz a kép reprodukálásához a monitor képernyőjén.

Az univerzális vektorgrafikus formátumok közé tartozik WMF formátum Microsoft képgyűjtemény tárolására szolgál.

Egyetemes EPS formátum lehetővé teszi mind a raszteres, mind a vektorgrafikával kapcsolatos információk tárolását. Gyakran használják fájlok nyomtatási gyártási programokba történő importálására.

Közvetlenül a grafikus alkalmazásokkal való munka során ismerkedhet meg saját formátumaival. Ezek biztosítják a képminőség és a fájlinformációk mennyiségének legjobb arányát, de csak maga a fájlt létrehozó alkalmazás támogatja (azaz felismeri és lejátssza).

1. feladat.
Egy képpont kódolásához 3 bájtot használnak. A 2048 x 1536 képpont méretű fotót tömörítetlen fájlként mentettük. Határozza meg az eredményül kapott fájl méretét.

Megoldás:
i = 3 bájt
K = 2048 1536
én — ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (bájt) = 9 (MB).

Válasz: 9 MB.

2. feladat.
Egy tömörítetlen, 128 x 128 pixeles bittérképes kép 2 KB memóriát foglal el. Mennyi lehet a színek maximális száma a képpalettán?

Megoldás:
K = 128 128
I = 2 KB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) / (2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Válasz: 2 szín - fekete és fehér.

A legfontosabb:

• A grafikus fájlformátum a grafikus adatok külső adathordozón való megjelenítésének módja. A grafikus fájlok raszteres és vektoros formátumai vannak, amelyek között vannak univerzális grafikai formátumok és a grafikus alkalmazások szabadalmaztatott formátumai.

A gráfelmélet a diszkrét matematikának egy ága, amely az egyedi elemként (csúcsként) ábrázolt objektumokat és a köztük lévő kapcsolatokat (ívek, élek) vizsgálja.

A gráfelmélet a königsbergi hidak problémájának 1736-os, híres matematikus általi megoldásából származik. Leonard Euler(1707-1783: Svájcban született, Oroszországban élt és dolgozott).

Probléma a königsbergi hidakkal kapcsolatban.

Hét híd van a poroszországi Königsberg városában, a Pregal folyón. Lehetséges olyan gyalogos útvonalat találni, amely minden hidat pontosan egyszer keresztez, és ugyanott kezdődik és végződik?

Azt a gráfot, amelyben van egy útvonal, amely ugyanabban a csúcsban kezdődik és végződik, és pontosan egyszer halad végig a gráf összes élén, ún.Euler gráf.

A csúcsok sorozatát (esetleg ismétlődően), amelyeken a kívánt útvonal áthalad, valamint magát az útvonalat, az ún.Euler-ciklus .

Három ház és három kút problémája.

Három ház és három kút van, valahogy egy síkon helyezkednek el. Rajzolj egy utat minden háztól minden kúthoz, hogy az utak ne keresztezzék egymást. Ezt a problémát Kuratovsky (1896-1979) oldotta meg (mutatták, hogy nincs megoldás) 1930-ban.

A négy szín probléma. Egy sík felosztását nem metsző területekre ún kártyával. A térképterületeket szomszédosnak nevezzük, ha van közös határuk. A feladat az, hogy a térképet úgy színezze ki, hogy ne legyen két szomszédos terület egyforma színnel festve. A 19. század vége óta ismert az a hipotézis, hogy ehhez négy szín is elegendő. A hipotézist még nem sikerült bebizonyítani.

A publikált megoldás lényege, hogy nagy, de véges számú (kb. 2000) típusú lehetséges ellenpéldát próbálunk ki a négyszín-tételre, és megmutatjuk, hogy egyetlen eset sem ellenpélda. Ezt a keresést a program mintegy ezer órányi szuperszámítógépes működés alatt fejezte be.

A kapott megoldás „kézi” ellenőrzése lehetetlen - a felsorolás köre meghaladja az emberi képességeket. Sok matematikus felveti a kérdést: tekinthető-e egy ilyen „programbizonyítás” érvényes bizonyítéknak? Hiszen a programban lehetnek hibák...

Így csak a szerzők programozási tudására hagyatkozhatunk, és elhihetjük, hogy mindent jól csináltak.

Meghatározás 7.1. Számol G= G(V, E) két véges halmaz gyűjteménye: V – ún sok csúcsés a V-ből származó elempárok E halmaza, azaz. EÍV´V, hívott sok él, ha a párok rendezetlenek, ill sok ív, ha a párok sorrendben vannak.

Az első esetben a grafikon G(V, E) hívott tájékozatlan, a másodikban - orientált.

PÉLDA. Egy gráf V = (a,b,c) csúcsokkal és E =((a, b), (b, c) élekkel)

PÉLDA. Egy grafikon, amelyben V = (a,b,c,d,e) és E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),

Ha e=(v 1 ,v 2), еОЕ, akkor azt mondják, hogy az él e összeköt v 1 és v 2 csúcsok.

Két v 1, v 2 csúcsot hívunk meg szomszédos, ha egy él köti össze őket. Ebben a helyzetben mindegyik csúcsot hívják incidens megfelelő él .

Két különböző borda szomszédos, ha van közös csúcsuk. Ebben a helyzetben mindegyik él ún véletlen megfelelő csúcs .

A gráf csúcsainak száma G jelöljük v, és az élek száma e:

.

A grafikonok geometriai ábrázolása a következő:

1) a gráf csúcsa egy pont a térben (a síkon);

2) irányítatlan gráf éle – szegmens;

3) irányított gráf íve – irányított szakasz.

Meghatározás 7.2. Ha az e=(v 1 ,v 2) élben v 1 =v 2 fordul elő, akkor az e élt ún. hurok. Ha egy gráf megenged ciklusokat, akkor hívják grafikon hurkokkal vagy pszeudográf .

Ha egy gráf két csúcs között egynél több élt enged meg, akkor hívjuk multigráf .

Ha egy gráf és/vagy él minden csúcsa fel van címkézve, akkor egy ilyen gráfot hívunk megjelölt (vagy töltött ). Jelként általában betűket vagy egész számokat használnak.

Meghatározás 7.3. Grafikon G (V , E ) hívott részgráf (vagy rész ) grafikon G(V,E), Ha V V, E E. Ha V = V, Azt G hívott átívelő részgráf G.

Példa 7 . 1 . Adott egy irányítatlan gráf.

Meghatározás 7.4. A grafikont ún teljes , Ha Bármi két csúcsát él köti össze. Komplett grafikon ezzel n csúcsokat jelöli K n .

Grófok K 2 , NAK NEK 3, NAK NEK 4 és K 5 .

Meghatározás 7.5. Grafikon G=G(V, E) nak, nek hívják kétszikű , Ha V diszjunkt halmazok uniójaként ábrázolható, mondjuk V=AB, így minden élnek van formája ( v én , v j), Ahol v én AÉs v j B.

Mindegyik él összeköt egy A-ból egy csúcsot egy B-ből, de nincs összekötve két A-ból vagy B-ből két csúcs.

Bipartit gráfot nevezünk teljes kétszikű számol K m , n, Ha A tartalmaz m csúcsok, B tartalmaz n csúcsok és mindegyikhez v én A, v j B nekünk van ( v én , v j)E.

Így mindenkinek v én A, És v j B egy él köti össze őket.

K 12 K 23 K 22 K 33

Példa 7 . 2 . Készítsen teljes kétrészes gráfot K 2.4 és a teljes grafikon K 4 .

Egységdiagramn-dimenziós kockaBAN BEN n .

A gráf csúcsai n-dimenziós bináris halmazok. Az élek olyan csúcsokat kötnek össze, amelyek egy koordinátában különböznek egymástól.

Példa:

A gráf fogalmát több, az 1. feladathoz hasonló probléma elemzése után célszerű bevezetni, amelyeknél a döntő szempont a grafikus ábrázolás. Fontos, hogy a tanulók azonnal felismerjék, hogy ugyanaz a grafikon megrajzolható különböző utak. Véleményem szerint nem kell szigorú definíciót adni a gráfnak, mert túl nehézkes, és csak bonyolítja a vitát. Eleinte elegendő egy intuitív koncepció. Az izomorfizmus fogalmának tárgyalásakor több feladatot is megoldhat az izomorf és nem izomorf gráfok azonosítására. A téma egyik központi pontja a páratlan csúcsok számának paritásáról szóló tétel. Fontos, hogy a tanulók teljesen megértsék ennek bizonyítékát, és megtanulják, hogyan alkalmazzák azt a problémamegoldásban. Több probléma elemzésekor azt javaslom, hogy ne hivatkozzunk a tételre, hanem ténylegesen ismételjük meg annak bizonyítását. A gráfkapcsolat fogalma is rendkívül fontos. Jelentős szempont itt a kapcsolódási komponens figyelembe vétele, erre külön figyelmet kell fordítani. Az Euler-grafikonok szinte játéktéma.

A gráfok tanulmányozása során az első és legfontosabb cél az, hogy megtanítsuk az iskolásokat arra, hogy lássák a gráfot a problémafelvetésben, és helyesen fordítsák le a feltételt a gráfelmélet nyelvére. Nem szabad mindkettőt elmondani mindenkinek több órán egymás után. Jobb, ha az osztályokat 2-3 tanévre osztjuk szét. (Mellékelve a 6. osztály „A gráf fogalma. Grafikonok alkalmazása a feladatmegoldásban” óra fejlesztése).

2. Elméleti anyag a „Grafikonok” témakörhöz.

Bevezetés

A grafikonok csodálatos matematikai objektumok, segítségükkel sok különböző, külsőleg eltérő feladatot lehet megoldani. Van egy egész rész a matematikában - gráfelmélet, amely a gráfokat, azok tulajdonságait és alkalmazásait vizsgálja. Csak a legalapvetőbb fogalmakat, a gráfok tulajdonságait és a problémák megoldásának néhány módját tárgyaljuk.

A grafikon fogalma

Tekintsünk két problémát.

1. feladat. Az űrkommunikáció létrejött a Naprendszer kilenc bolygója között. A rendszeres rakéták a következő útvonalakon repülnek: Föld – Merkúr; Plútó - Vénusz; Föld - Plútó; Plútó – Merkúr; Mercury - Bécs; Uránusz - Neptunusz; Neptunusz - Szaturnusz; Szaturnusz – Jupiter; Jupiter - Mars és Mars - Uránusz. Lehet-e normál rakétákkal repülni a Földről a Marsra?

Megoldás: Rajzoljuk fel a feltétel diagramját: a bolygókat pontként, a rakétaútvonalakat pedig vonalként ábrázoljuk.

Most azonnal világossá vált, hogy lehetetlen a Földről a Marsra repülni.

2. feladat. A tábla kettős kereszt alakú, amelyet a sarok négyzetek eltávolításával kapunk egy 4x4-es négyzetről.

Megkerülhető-e egy sakklovag mozgatásával, és visszatérhet az eredeti mezőre, miután az összes mezőt pontosan egyszer meglátogatta?

Megoldás: Számozzuk meg a tábla négyzeteit sorban:

És most az ábra segítségével megmutatjuk, hogy a táblázat ilyen bejárása, amint azt a feltétel jelzi, lehetséges:

Két különböző problémát vizsgáltunk. A két probléma megoldását azonban egy közös ötlet – a megoldás grafikus ábrázolása – egyesíti. Ugyanakkor az egyes feladatokhoz megrajzolt képek hasonlóak lettek: minden kép több pontból áll, amelyek egy részét vonalak kötik össze.

Az ilyen képeket ún grafikonok. A pontokat ún csúcsokés a sorok – borda grafikon. Vegye figyelembe, hogy nem minden ilyen típusú képet nevezünk grafikonnak. Például. ha arra kérik, hogy rajzoljon egy ötszöget a füzetébe, akkor egy ilyen rajz nem lesz grafikon. Az ilyen típusú rajzot az előző feladatokhoz hasonlóan gráfnak nevezzük, ha van valamilyen konkrét feladat, amelyre ilyen rajz készült.

Egy másik megjegyzés a grafikon megjelenésére vonatkozik. Próbálja meg ellenőrizni, hogy ugyanannak a problémának a grafikonja különböző módon rajzolható-e meg; és fordítva, különböző feladatokhoz azonos megjelenésű grafikonokat rajzolhatunk. Itt csak az számít, hogy mely csúcsok kapcsolódnak egymáshoz és melyek nem. Például az 1. feladat grafikonja másképp rajzolható meg:

Az ilyen azonos, de eltérően rajzolt gráfokat nevezzük izomorf.

A csúcsok fokai és a gráf éleinek számlálása

Írjunk még egy definíciót: Egy gráf csúcsának foka a belőle kilépő élek száma. Ebben a tekintetben a páros fokú csúcsot páros csúcsnak, a páratlan fokú csúcsot pedig páratlan csúcsnak nevezzük.

A gráfelmélet egyik fő tétele a csúcsfok fogalmához kapcsolódik - a páratlan csúcsok számának igazságosságára vonatkozó tételhez. Kicsit később bebizonyítjuk, de először szemléltetésképpen megvizsgáljuk a problémát.

3. feladat. Malenkij városában 15 telefon található. Lehetséges vezetékekkel összekötni őket úgy, hogy minden telefon pontosan öt másikhoz csatlakozzon?

Megoldás: Tegyük fel, hogy lehetséges ilyen kapcsolat a telefonok között. Ezután képzeljünk el egy gráfot, amelyben a csúcsok a telefonokat, az élek pedig az őket összekötő vezetékeket jelentik. Számoljuk meg, hány vezeték van összesen. Mindegyik telefonhoz pontosan 5 vezeték van csatlakoztatva, pl. gráfunk egyes csúcsainak foka az 5. A vezetékek számának meghatározásához össze kell adnia a grafikon összes csúcsának fokát, és el kell osztania az eredményt 2-vel (mivel minden vezetéknek két vége van, akkor a fokok összegzésekor minden vezetéket kétszer kell venni) . De akkor a vezetékek száma más lesz. De ez a szám nem egész szám. Ez azt jelenti, hogy az a feltételezésünk, hogy minden telefon pontosan öt másikhoz csatlakoztatható, tévesnek bizonyult.

Válasz. A telefonokat így nem lehet csatlakoztatni.

Tétel: Bármely gráf páros számú páratlan csúcsot tartalmaz.

Bizonyíték: A gráf éleinek száma egyenlő a csúcsok fokszámainak felével. Mivel az élek számának egésznek kell lennie, a csúcsok fokszámainak összegének párosnak kell lennie. Ez pedig csak akkor lehetséges, ha a gráf páros számú páratlan csúcsot tartalmaz.

Grafikon csatlakoztathatóság

Van egy másik fontos fogalom a gráfokkal kapcsolatban - a konnektivitás fogalma.

A grafikont ún összefüggő, ha bármelyik két csúcsa összekapcsolható által, azok. folyamatos élsor. Számos olyan probléma létezik, amelyek megoldása a gráfkapcsolat fogalmán alapul.

4. feladat. Hét országában 15 város van, mindegyik várost utak kötnek össze legalább hét másikkal. Bizonyítsd be, hogy divat minden városból a másikba eljutni.

Bizonyíték: Tekintsünk két tetszőleges várost A és B, és tegyük fel, hogy nincs út közöttük. Mindegyiket utak kötik össze legalább hét másik várossal, és nincs olyan város, amely mindkét szóban forgó városhoz kapcsolódna (különben lenne egy út A-ból B-be). Rajzoljuk a grafikon egy részét ezeknek a városoknak:

Most már jól látható, hogy legalább 16 különböző várost kaptunk, ami ellentmond a probléma körülményeinek. Ez azt jelenti, hogy az állítást ellentmondásosan igazolták.

Ha figyelembe vesszük az előző definíciót, akkor a probléma állítása másképpen is újrafogalmazható: „Bizonyítsa be, hogy a Hetes ország útgráfja összefügg.”

Most már tudja, hogyan néz ki egy összekapcsolt gráf. Egy szétválasztott gráf több „darabból” áll, amelyek mindegyike vagy egy különálló csúcs élek nélkül, vagy egy összefüggő gráf. Az ábrán egy leválasztott gráf példáját láthatja:

Minden egyes ilyen egyedi darabot ún a gráf összefüggő komponense. Minden összekapcsolt komponens egy összefüggő gráfot reprezentál, és minden állítás, amelyet összekapcsolt gráfokra bizonyítottunk, érvényes rá. Nézzünk egy példát egy csatlakoztatott összetevőt használó problémára:

5. probléma. A Far Far Away Királyságban csak egyfajta közlekedés létezik - egy repülő szőnyeg. 21 szőnyegvonal indul a fővárosból, egy Dalniy városából, és 20 az összes többi városból. Bizonyítsa be, hogy a fővárosból Dalniy városába repülhet.

Bizonyíték: Nyilvánvaló, hogy ha megrajzol egy grafikont a Királyság szőnyegéről, az inkoherens lehet. Nézzük a kapcsolódási összetevőt, amely magában foglalja a Királyság fővárosát. A fővárosból 21 szőnyeg érkezik, Dalniy város kivételével bármely más városból 20, ezért ahhoz, hogy a páratlan számú páratlan csúcsra vonatkozó törvény teljesüljön, Dalniy városát is be kell vonni. a kapcsolat ugyanazon összetevőjében. És mivel az összekapcsolt komponens egy összefüggő gráf, akkor a fővárosból a szőnyegeken keresztül vezet az út Dalniy városába, amit bizonyítani kellett.

Euler-gráfok

Valószínűleg találkoztál már olyan feladatokkal, amelyek során anélkül kell alakzatot rajzolnod, hogy felemelnéd a ceruzádat a papírról, és minden vonalat csak egyszer kell megrajzolni. Kiderül, hogy egy ilyen probléma nem mindig megoldható, pl. Vannak olyan ábrák, amelyeket ezzel a módszerrel nem lehet megrajzolni. Az ilyen problémák megoldhatóságának kérdése a gráfelméletben is szerepel. Először 1736-ban tárta fel a nagy német matematikus, Leonhard Euler, megoldva a königsbergi hidak problémáját. Ezért az így megrajzolható gráfokat Euler-gráfoknak nevezzük.

6. feladat. Megrajzolható-e az ábrán látható grafikon anélkül, hogy felemelné a ceruzát a papírról, és minden élt pontosan egyszer megrajzolna?

Megoldás. Ha a feltételben leírtak szerint rajzoljuk meg a gráfot, akkor a kezdeti és a végső csúcs kivételével minden csúcsba ugyanannyiszor lépünk be, ahányszor kilépünk belőle. Vagyis kettő kivételével a gráf minden csúcsának párosnak kell lennie. A gráfunknak három páratlan csúcsa van, ezért nem rajzolható meg a feltételben megadott módon.

Most bebizonyítottuk az Euler-gráfokra vonatkozó tételt:

Tétel: Egy Euler-gráfnak legfeljebb két páratlan csúcsa lehet.

És végül - a königsbergi hidak problémája.

7. feladat. Az ábra Königsberg város hidait ábrázolja.

Lehet úgy sétálni, hogy minden hídon pontosan egyszer kelsz át?

3. Feladatok a „Grafikonok” témakörhöz

A grafikon fogalma.

1. Egy 3x3-as négyzet alakú táblán 4 lovag kerül az 1. ábrán látható módon. Lehetséges-e a lovagokkal végzett többszöri mozdulat után átrendezni őket a 2. ábrán látható helyzetbe?

Rizs. 1

Rizs. 2

Megoldás. Számozzuk meg a tábla négyzeteit az ábrán látható módon:

Minden cellához rendeljünk egy-egy pontot a síkon, és ha egy cellát el lehet érni egy sakklovag mozgatásával az egyik cellából, akkor a megfelelő pontokat összekötjük egy vonallal. A lovagok kezdeti és szükséges elhelyezése az ábrákon látható:

A lovagmozdulatok sorrendje nyilvánvalóan nem változhat. Ezért lehetetlen a lovakat a kívánt módon átrendezni.

2. Digit országában 9 város van 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 névvel. Egy utazó felfedezte, hogy két várost akkor és csak akkor köt össze egy légitársaság, ha a két számjegy a városok nevéből képzett szám, osztva 3-mal. Lehet-e repülni légi úton az 1. városból a 9. városba?

Megoldás. Minden városhoz egy pontot rendelve és a pontokat egy vonallal összekötve, ha a számok összege osztható 3-mal, egy olyan grafikont kapunk, amelyben a 3, 5, 9 számok össze vannak kötve egymással, de nem kapcsolódnak a pihenés. Ez azt jelenti, hogy nem repülhet az 1-es városból a 9-es városba.

A csúcsok fokai és az élek számának számolása.

3. Egy államban 100 város van, és minden városnak 4 útja van. Hány út van az államban?

Megoldás. Számoljuk meg a várost elhagyó utak teljes számát - 100 . 4 = 400. Ezzel a számítással azonban minden utat kétszer számol a rendszer – az egyik várost elhagyja, a másikba pedig belép. Ez azt jelenti, hogy összesen kétszer kevesebb az út, pl. 200.

4. 30 fő van az osztályban. Lehetséges, hogy 9 embernek 3 barátja van, 11-nek 4 barátja és 10-nek 5 barátja?

Válasz. Nem (tétel a páratlan csúcsok számának paritásáról).

5. A királynak 19 vazallusa van. Lehetséges, hogy minden vazallusnak 1, 5 vagy 9 szomszédja van?

Válasz. Nem, ő nem tud.

6. Lehet-e pontosan 100 út egy olyan államnak, amelyben minden városból pontosan 3 kivezető út van?

Megoldás. Számoljuk meg a városok számát. Az utak száma egyenlő a városok számával x szorozva 3-mal (az egyes városokat elhagyó utak száma) és osztva 2-vel (lásd a 3. feladatot). Ekkor 100 = 3x/2 => 3x = 200, ami nem fordulhat elő természetes x-szel. Ez azt jelenti, hogy nem lehet 100 út ilyen állapotban.

7. Bizonyítsuk be, hogy azoknak az embereknek a száma, akik valaha éltek a Földön és páratlan számú kézfogást végeztek, páros.

A bizonyítás közvetlenül következik a gráf páratlan csúcsainak paritásáról szóló tételből.

Kapcsolódás.

8. Az országban 100 út indul minden városból és minden városból bármelyik másikba el lehet jutni. Az egyik utat javítás miatt lezárták. Bizonyítsa be, hogy most bármelyik városból bármelyik másikba eljuthat.

Bizonyíték. Tekintsük az összeköttetési komponenst, amely magában foglalja az egyik várost, amely közötti utat lezárták. A páratlan csúcsok számának paritásáról szóló tétel szerint a második várost is magában foglalja. Ez azt jelenti, hogy továbbra is találhat útvonalat, és eljuthat az egyik városból a másikba.

Euler-gráfok.

9. Van egy szigetcsoport, amelyeket hidak kötnek össze, így minden szigetről bármelyik másikra el lehet jutni. A turista bejárta az összes szigetet, minden hídon egyszer átkelt. Háromszor járt a Threefold Islanden. Hány híd vezet Troyekratnoye-ból, ha turista

a) nem ezzel kezdődött és nem is fejeződött be?
b) elkezdte vele, de nem fejezte be?
c) azzal kezdődött és azzal fejeződött be?

10. A képen egy kerítéssel több részre tagolt park látható. Át lehet sétálni a parkon és környékén úgy, hogy minden kerítésen egyszer átmászhat?

Null gráf és teljes grafikon.

Vannak speciális gráfok, amelyek a gráfelmélet számos alkalmazásában megjelennek. A grafikont egyelőre ismét a sportversenyek menetét szemléltető vizuális diagramnak tekintjük. A szezon kezdete előtt, bár még nem játszottak meccset, nincsenek élek a grafikonon. Egy ilyen gráf csak izolált csúcsokból áll, azaz. élek nélkül összekötött csúcsokból. Egy ilyen típusú gráfot fogunk nevezni null gráf. ábrán. A 3. ábra ilyen gráfokat mutat azokra az esetekre, amikor a parancsok vagy csúcsok száma 1, 2, 3, 4 és 5. Ezeket a nullgráfokat általában O1, O2, O3 stb. szimbólumokkal jelöljük, tehát az On nulla a n csúcsú és él nélküli gráf.

Nézzünk egy másik szélsőséges esetet. Tegyük fel, hogy a szezon végén minden csapat játszik egy meccset a többi csapat ellen. Ekkor a megfelelő gráfon minden csúcspárt egy él köt össze. Az ilyen gráfot ún teljes grafikon. A 4. ábrán teljes gráfok láthatók n = 1, 2, 3, 4, 5 csúcsok számával. Ezeket a teljes gráfokat U1, U2, U3, U4 és U5 számokkal jelöljük, így az Un gráf 11 csúcsból és élek, összekötve ezen csúcsok összes lehetséges párját. Ez a gráf egy n-szögnek tekinthető, amelyben az összes átló megrajzolódik.

Egy grafikonnal, például a 2. ábrán látható G grafikonnal. 1, mindig egy teljes gráfrá alakíthatjuk ugyanazokkal a csúcsokkal, ha hozzáadjuk a hiányzó éleket (vagyis a még játszandó játékoknak megfelelő éleket). ábrán. Az 5. ábrán látható grafikonra ezt tettük. 1 (a még nem lezajlott játékok szaggatott vonallal jelennek meg). Külön is megrajzolhat egy grafikont a jövőbeli, még le nem játszott játékoknak megfelelően. A G grafikon esetében ez az ábrán látható grafikont eredményezi. 6.

Ezt az új gráfot a G gráf komplementerének nevezzük; G1-gyel szokás jelölni. A G1 gráf komplementerét véve ismét G gráfot kapunk. Mindkét G1 és G gráf élei együtt alkotnak egy teljes gráfot.