hjem › Problemer › Konstruer en så fullstendig graf som mulig. Konstruksjon av grafer basert på deres egenskaper. Tegn problemer for å forsterke grunnleggende konsepter

Konstruer en så fullstendig graf som mulig. Konstruksjon av grafer basert på deres egenskaper. Tegn problemer for å forsterke grunnleggende konsepter

Nøkkelord:

grafisk objekt
data-grafikk
rastergrafikk
Vektorgrafikk
formater grafiske filer

Tegninger, malerier, tegninger, fotografier og andre grafiske bilder vil kalles grafiske objekter.

3.2.1. Bruksområder for datagrafikk

Datagrafikk har blitt en del av vårt dagliglivet. Det gjelder:

for en visuell presentasjon av resultatene av målinger og observasjoner (for eksempel data om klimaendringer over en lang periode, om dynamikken i dyrepopulasjoner, om den økologiske tilstanden til ulike regioner, etc.), resultatene av sosiologiske undersøkelser, planlagt indikatorer, statistiske data, resultatene av ultralydstudier i medisin, etc.;
når du utvikler interiør- og landskapsdesign, designer nye bygninger, tekniske enheter og andre produkter;
i simulatorer og dataspill for å simulere ulike typer situasjoner som oppstår, for eksempel under flyturen av et fly eller romfartøy, bevegelsen til en bil, etc.;
når du lager alle slags spesialeffekter i filmindustrien;
når man utvikler moderne brukergrensesnitt programvare og nettverksinformasjonsressurser;
for menneskelig kreative uttrykk (digital fotografering, digital maleri, dataanimasjon, etc.).

Eksempler på datagrafikk er vist i fig. 3.5.

Ris. 3.5.
Eksempler på datagrafikk

http://snowflakes.barkleyus.com/ - ved hjelp av dataverktøy kan du "skjære ut" ethvert snøfnugg;
http://www.pimptheface.com/create/ - du kan lage et ansikt ved å bruke et stort bibliotek med lepper, øyne, øyenbryn, frisyrer og andre fragmenter;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - prøv å velge nye møbler og etterbehandlingsmaterialer til rommet ditt.

3.2.2. Metoder for å lage digital grafikk

Grafiske objekter opprettet eller behandlet ved hjelp av en datamaskin lagres på datamaskinmedier; om nødvendig kan de trykkes på papir eller andre egnede medier (film, papp, stoff osv.).

Vi vil kalle grafiske objekter på datamedier digitale grafiske objekter.

Det er flere måter å skaffe digitale grafiske objekter på.

kopiere ferdige bilder fra et digitalkamera, fra eksterne minneenheter eller "laste ned" dem fra Internett;
inntasting av grafiske bilder som finnes på papir ved hjelp av en skanner;
lage ny grafikk ved hjelp av programvare.

Prinsippet for operasjonen til skanneren er å dele bildet som er tilgjengelig på papir i små firkanter - piksler, bestemme fargen på hver piksel og lagre den i binær kode i datamaskinens minne.

Kvaliteten på bildet som oppnås som et resultat av skanning avhenger av størrelsen på pikselen: jo mindre piksel, jo flere piksler vil originalbildet deles inn i, og jo mer fullstendig informasjon om bildet vil bli overført til datamaskinen.

Pikselstørrelser avhenger av oppløsningen til skanneren, som vanligvis uttrykkes i dpi (dot per inch - dots per inch 1) og spesifiseres av et par tall (for eksempel 600 x 1200 dpi). Det første tallet er antall piksler som kan trekkes ut av skanneren i en 1-tommers lang bildelinje. Det andre tallet er antall linjer som en 1-tommers høy bildestripe kan deles inn i.

1 tomme er en lengdeenhet i det engelske målesystemet, lik 2,54 cm.

Oppgave. Et fargebilde som måler 10 x 10 cm skannes Skanneroppløsningen er 1200 x 1200 dpi, fargedybden er 24 biter. Hvilket informasjonsvolum vil den resulterende grafikkfilen ha?

Løsning. Det skannede bildet måler omtrent 4" x 4". Med tanke på oppløsningen til skanneren, vil hele bildet deles inn i 4 4 1200 1200 piksler.

Svar: ca. 66 MB.

Vi anbefaler at du ser animasjonene "Skannere: generelle operasjonsprinsipper", "Skannere: flatbedskanner", lagt ut i Unified Collection of Digital Education Resources (http://school-collection.edu.ru/). Disse ressursene vil hjelpe deg å bedre forstå hvordan skanneprosessen fungerer. Ressursen "Digitalt kamera" vil illustrere hvordan digitale fotografier tas (fig. 3.6).

Ris. 3.6.
Planskanner og digitalkamera

3.2.3. Raster og vektorgrafikk

Avhengig av opprettingsmetoden grafisk bilde Det er raster-, vektor- og fraktalgrafikk.

Raster-grafikk

I rastergrafikk Bildet er dannet i form av et raster - en samling punkter (piksler) som danner rader og kolonner. Hver piksel kan anta hvilken som helst farge fra en palett som inneholder millioner av farger. Fargenøyaktighet er hovedfordelen med rastergrafikk. Når et rasterbilde lagres i datamaskinens minne, lagres informasjon om fargen på hver piksel som er inkludert i det.

Kvaliteten på et rasterbilde øker med antall piksler i bildet og antall farger i paletten. Samtidig øker informasjonsvolumet i hele bildet. Stort informasjonsvolum er en av de største ulempene med rasterbilder.

Den neste ulempen med rasterbilder er forbundet med noen vanskeligheter med å skalere dem. Når et rasterbilde reduseres, konverteres således flere nabopiksler til én, noe som fører til tap av klarhet i små detaljer i bildet. Når et rasterbilde forstørres, legges det til nye piksler, mens nabopiksler får samme farge og det oppstår en trinneffekt (fig. 3.7).

Ris. 3.7.
Rasterbilde og dets forstørrede fragment

Rastergrafikk lages sjelden for hånd. Oftest oppnås de ved å skanne illustrasjoner eller fotografier utarbeidet av kunstnere; Nylig har digitale kameraer blitt mye brukt til å legge inn rasterbilder til en datamaskin.

Vektorgrafikk

Mange grafiske bilder kan presenteres som en samling av segmenter, sirkler, buer, rektangler og andre geometriske former. For eksempel, bildet i fig. 3.8 består av sirkler, segmenter og et rektangel.

Ris. 3.8.
Et bilde laget av sirkler, segmenter og et rektangel

Hver av disse figurene kan beskrives matematisk: segmenter og rektangler - ved koordinatene til deres toppunkter, sirkler - ved koordinatene til deres sentra og radier. I tillegg kan du stille inn tykkelse og farge på linjer, fyllfarge og andre egenskaper til geometriske former. I vektorgrafikk bilder dannes på grunnlag av slike datasett (vektorer) som beskriver grafiske objekter og formler for deres konstruksjon. Når du lagrer et vektorbilde, legges informasjon om de enkleste geometriske objektene som utgjør det inn i datamaskinens minne.

Informasjonsvolumene til vektorbilder er mye mindre informasjonsmengder rasterbilder. For eksempel, for å skildre en sirkel ved hjelp av rastergrafikk, trenger du informasjon om alle pikslene i firkantområdet der sirkelen er innskrevet; For å skildre en sirkel ved hjelp av vektorgrafikk, kreves bare koordinatene til ett punkt (senteret) og radius.

En annen fordel med vektorbilder er muligheten til å skalere dem uten å miste kvalitet (fig. 3.9). Dette skyldes det faktum at med hver transformasjon av et vektorobjekt slettes det gamle bildet, og i stedet for det, konstrueres et nytt ved å bruke eksisterende formler, men tar hensyn til de endrede dataene.

Ris. 3.9.
Et vektorbilde, dets konverterte fragment og de enkleste geometriske formene som dette fragmentet er "sammensatt" fra

Samtidig kan ikke alle bilder representeres som en samling enkle geometriske former. Denne presentasjonsmetoden er god for tegninger, diagrammer, forretningsgrafikk og andre tilfeller der det er spesielt viktig å opprettholde skarpe og klare konturer av bilder.

Fraktal grafikk, som vektorgrafikk, er basert på matematiske beregninger. Men, i motsetning til vektorgrafikk, lagrer datamaskinens minne ikke beskrivelser av de geometriske formene som utgjør bildet, men selve den matematiske formelen (ligningen), som brukes til å konstruere bildet. Fraktale bilder er varierte og bisarre (fig. 3.10).

Ris. 3.10.
Fraktal grafikk

Du kan finne mer fullstendig informasjon om dette problemet på Internett (for eksempel på http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. Grafiske filformater

Et grafikkfilformat er en måte å representere grafiske data på eksterne medier. Det er raster- og vektorformater av grafiske filer, blant dem er det igjen universelle grafiske formater og proprietære (originale) formater for grafiske applikasjoner.

Universelle grafikkformater "forstås" av alle applikasjoner som fungerer med raster (vektor) grafikk.

Det universelle rastergrafikkformatet er BMP-formatet. Grafiske filer i dette formatet har et stort informasjonsvolum, siden de tildeler 24 biter for å lagre informasjon om fargen på hver piksel.

Tegninger lagret i det universelle punktgrafikkformatet GIF kan bare bruke 256 forskjellige farger. Denne paletten passer for enkle illustrasjoner og piktogrammer. Grafiske filer i dette formatet har et lite informasjonsvolum. Dette er spesielt viktig for grafikk som brukes i Verdensveven, hvis brukere ønsker at informasjonen de ba om skal vises på skjermen så raskt som mulig.

Det universelle rasterformatet JPEG er designet spesielt for effektiv bildelagring fotografisk kvalitet. Moderne datamaskiner gir reproduksjon av mer enn 16 millioner farger, hvorav de fleste er ganske enkelt umulig å skille for det menneskelige øyet. JPEG-format lar deg forkaste variasjonen av farger på nabopiksler som er "overdrevne" for menneskelig oppfatning. Noe av den opprinnelige informasjonen går tapt, men dette sikrer en reduksjon i informasjonsvolumet (komprimering) av grafikkfilen. Brukeren får mulighet til å bestemme graden av filkomprimering. Hvis bildet som lagres er et fotografi som skal skrives ut på et ark i stort format, er tap av informasjon uønsket. Hvis dette fotografiet er lagt ut på en webside, kan det trygt komprimeres titalls ganger: den gjenværende informasjonen vil være nok til å reprodusere bildet på LCD-skjermen.

Universelle vektorgrafikkformater inkluderer WMF-formatet, som brukes til å lagre en samling av Microsoft-bilder (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Det universelle EPS-formatet lar deg lagre informasjon om både raster- og vektorgrafikk. Det brukes ofte til å importere 2 filer til utskriftsprogrammer.

2 Prosessen med å åpne en fil i et program der den ikke ble opprettet.

Du vil bli kjent med dine egne formater direkte i arbeidet med grafiske applikasjoner. De tilbyr beste forholdet bildekvalitet og informasjonsvolumet til filen, men støttes (det vil si gjenkjent og reprodusert) bare av applikasjonen selv som oppretter filen.

Oppgave 1. For å kode en piksel, brukes 3 byte. Bildet, som måler 2048 x 1536 piksler, ble lagret som en ukomprimert fil. Bestem størrelsen på den resulterende filen.

Løsning.

Svar: 9 MB.

Oppgave 2. Et ukomprimert punktgrafikkbilde på 128 x 128 piksler tar opp 2 KB minne. Hva er maksimalt mulig antall farger i bildepaletten?

Løsning.

Svar: 2 farger - svart og hvit.

Det viktigste

Datagrafikk er et vidt begrep som refererer til: 1) ulike typer grafiske objekter laget eller behandlet ved hjelp av datamaskiner; 2) et aktivitetsområde der datamaskiner brukes som verktøy for å lage og behandle grafiske objekter.

Avhengig av metoden for å lage et grafisk bilde, skilles raster- og vektorgrafikk.

I rastergrafikk dannes et bilde i form av et raster - en samling av prikker (piksler) som danner rader og kolonner. Når et rasterbilde lagres i datamaskinens minne, lagres informasjon om fargen på hver piksel som er inkludert i det.

I vektorgrafikk dannes bilder på grunnlag av datasett (vektorer) som beskriver et bestemt grafisk objekt og formler for deres konstruksjon. Når du lagrer et vektorbilde, legges informasjon om de enkleste geometriske objektene som utgjør det inn i datamaskinens minne.

Et grafikkfilformat er en måte å representere grafiske data på eksterne medier. Det er raster- og vektorformater av grafiske filer, blant dem er det i sin tur universelle grafiske formater og proprietære formater for grafiske applikasjoner.

Spørsmål og oppgaver

Hva er datagrafikk?
Liste de viktigste bruksområdene for datagrafikk.
Hvordan kan digital grafikk produseres?
Et fargebilde som måler 10 x 15 cm skannes Skanneroppløsningen er 600 x 600 dpi, fargedybden er 3 byte. Hvilket informasjonsvolum vil den resulterende grafikkfilen ha?
Hva er forskjellen mellom raster- og vektormetoder for å representere et bilde?
Hvorfor antas det at rasterbilder formidler farger veldig nøyaktig?
Hvilken operasjon med å konvertere et rasterbilde fører til det største tapet av kvaliteten - reduksjon eller forstørrelse? Hvordan kan du forklare dette?
Hvorfor påvirker ikke skalering kvaliteten på vektorbilder?
Hvordan kan du forklare variasjonen av grafiske filformater?
Hva er hovedforskjellen mellom universelle grafikkformater og proprietære grafikkapplikasjonsformater?
Konstruer en så fullstendig graf som mulig for begrepene i avsnitt 3.2.4.
Gi en detaljert beskrivelse av raster- og vektorbilder, som indikerer følgende:
Tegningen på 1024 x 512 piksler ble lagret som en ukomprimert 1,5 MB fil. Hvor mye informasjon ble brukt til å kode pikselens farge? Hva er maksimalt mulig antall farger i en palett som tilsvarer denne fargedybden?
Et ukomprimert punktgrafikkbilde på 256 x 128 piksler tar opp 16 KB minne. Hva er maksimalt mulig antall farger i bildepaletten?

Grafikk filformat er en måte å representere grafiske data på eksterne medier. Skille raster- og vektorformater grafikkfiler, som det igjen er universelle grafiske formater Og egne (originale) formater av grafiske applikasjoner.

Universelle grafikkformater "forstås" av alle applikasjoner som fungerer med raster (vektor) grafikk.

Det universelle rastergrafikkformatet er BMP-format. Grafiske filer i dette formatet har et stort informasjonsvolum, siden de tildeler 24 biter for å lagre informasjon om fargen på hver piksel.

I tegninger lagret i en universell punktgrafikk GIF-format, kan du bare bruke 256 forskjellige farger. Denne paletten passer for enkle illustrasjoner og piktogrammer. Grafiske filer i dette formatet har et lite informasjonsvolum. Dette er spesielt viktig for grafikk som brukes på World Wide Web, der brukere ønsker at informasjonen de ber om skal vises på skjermen så raskt som mulig.

Universelt raster JPEG-format Designet spesielt for effektiv lagring av bilder av fotografisk kvalitet. Moderne datamaskiner kan gjengi mer enn 16 millioner farger, hvorav de fleste rett og slett ikke kan skilles fra det menneskelige øyet. JPEG-formatet lar deg forkaste variasjonen av farger på nabopiksler som er "overdrevne" for menneskelig oppfatning. Noe av den opprinnelige informasjonen går tapt, men dette sikrer en reduksjon i informasjonsvolumet (komprimering) av grafikkfilen. Brukeren får mulighet til å bestemme graden av filkomprimering. Hvis bildet som lagres er et fotografi som skal skrives ut på et ark i stort format, er tap av informasjon uønsket. Hvis dette bildet er plassert på en webside, kan det trygt komprimeres titalls ganger: den gjenværende informasjonen vil være nok til å reprodusere bildet på LCD-skjermen.

Universelle vektorgrafikkformater inkluderer WMF-format, brukes til å lagre en samling av Microsoft-bilder.

Universell EPS-format lar deg lagre informasjon om både raster- og vektorgrafikk. Det brukes ofte til å importere filer til utskriftsproduksjonsprogrammer.

Du vil bli kjent med dine egne formater direkte i prosessen med å jobbe med grafiske applikasjoner. De gir det beste forholdet mellom bildekvalitet og filinformasjonsvolum, men støttes (det vil si gjenkjennes og spilles av) bare av applikasjonen selv som oppretter filen.

Oppgave 1.
For å kode en piksel, brukes 3 byte. Bildet, som måler 2048 x 1536 piksler, ble lagret som en ukomprimert fil. Bestem størrelsen på den resulterende filen.

Løsning:
i = 3 byte
K= 2048 1536
JEG - ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (byte) = 9 (MB).

Svar: 9MB.

Oppgave 2.
Et ukomprimert punktgrafikkbilde på 128 x 128 piksler tar opp 2 KB minne. Hva er maksimalt mulig antall farger i bildepaletten?

Løsning:
K = 128 128
I = 2 KB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Svar: 2 farger - svart og hvit.

Det viktigste:

Et grafikkfilformat er en måte å representere grafiske data på eksterne medier. Det er raster- og vektorformater av grafiske filer, blant dem er det i sin tur universelle grafiske formater og proprietære formater for grafiske applikasjoner.

Grafteori er en gren av diskret matematikk som studerer objekter representert som individuelle elementer (vertekser) og sammenhenger mellom dem (buer, kanter).

Grafteori stammer fra løsningen av problemet med Königsberg-broene i 1736 av den berømte matematikeren Leonard Euler(1707-1783: født i Sveits, bodde og arbeidet i Russland).

Problem om Königsberg-broene.

Det er syv broer i den prøyssiske byen Königsberg ved Pregal-elven. Er det mulig å finne en turvei som krysser hver bro nøyaktig én gang og starter og slutter på samme sted?

En graf der det er en rute som starter og slutter ved samme toppunkt og passerer langs alle kantene på grafen nøyaktig én gang kallesEuler graf.

Sekvensen av hjørner (kanskje gjentatt) som den ønskede ruten går gjennom, så vel som selve ruten, kallesEuler syklus .

Problemet med tre hus og tre brønner.

Det er tre hus og tre brønner, på en eller annen måte plassert på et fly. Tegn en sti fra hvert hus til hver brønn slik at stiene ikke krysser hverandre. Dette problemet ble løst (det ble vist at det ikke er noen løsning) av Kuratovsky (1896 - 1979) i 1930.

Problemet med fire farger. Å dele et fly i områder som ikke krysser hverandre kalles med kort. Kartområder kalles tilstøtende hvis de har felles grense. Oppgaven er å fargelegge kartet på en slik måte at ikke to tilstøtende områder males med samme farge. Siden slutten av 1800-tallet har det vært kjent en hypotese om at fire farger er nok til dette. Hypotesen er ennå ikke bevist.

Essensen av den publiserte løsningen er å prøve et stort, men begrenset antall (ca. 2000) typer potensielle moteksempler til firefargesteoremet og vise at ikke et enkelt tilfelle er et moteksempel. Dette søket ble fullført av programmet på rundt tusen timer med superdatamaskindrift.

Det er umulig å sjekke den resulterende løsningen "manuelt" - omfanget av oppregning er utenfor omfanget av menneskelige evner. Mange matematikere reiser spørsmålet: kan et slikt "programbevis" betraktes som et gyldig bevis? Tross alt kan det være feil i programmet...

Dermed kan vi bare stole på programmeringsferdighetene til forfatterne og tro at de gjorde alt riktig.

Definisjon 7.1. Telle G= G(V, E) er en samling av to endelige sett: V – kalt mange hjørner og settet E av par av elementer fra V, dvs. EÍV´V, kalt mange kanter, hvis parene er uordnede, eller mange buer, hvis parene er bestilt.

I det første tilfellet, grafen G(V, E) kalt uorientert, i den andre – orientert.

EKSEMPEL. En graf med et sett med toppunkter V = (a,b,c) og et sett med kanter E =((a, b), (b, c))

EKSEMPEL. En graf med V = (a,b,c,d,e) og E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),

Hvis e=(v 1 ,v 2), еОЕ, så sier de at kanten er e kobler til toppunktene v 1 og v 2.

To toppunkter v 1,v 2 kalles ved siden av, hvis det er en kant som forbinder dem. I denne situasjonen kalles hvert av toppunktene hendelse tilsvarende kant .

To forskjellige ribber ved siden av, hvis de har et felles toppunkt. I denne situasjonen kalles hver av kantene tilfeldig tilsvarende toppunkt .

Antall grafhjørner G la oss betegne v, og antall kanter er e:

Den geometriske representasjonen av grafene er som følger:

1) toppunktet på grafen er et punkt i rommet (på planet);

2) en kant av en urettet graf – et segment;

3) en bue av en rettet graf – et rettet segment.

Definisjon 7.2. Hvis i kanten e=(v 1 ,v 2) forekommer v 1 =v 2, så kalles kanten e Løkke. Hvis en graf tillater løkker, kalles den graf med løkker eller pseudograf .

Hvis en graf tillater mer enn én kant mellom to hjørner, kalles den multigraf .

Hvis hvert toppunkt av en graf og/eller kant er merket, kalles en slik graf merket (eller lastet ). Bokstaver eller heltall brukes vanligvis som merker.

Definisjon 7.3. Kurve G (V , E ) kalt subgraf (eller del ) kurve G(V,E), Hvis V V, E E. Hvis V = V, Det G kalt spennende undergraf G.

Eksempel 7 . 1 . Gitt en urettet graf.

Definisjon 7.4. Grafen kalles fullstendig , Hvis noen de to hjørnene er forbundet med en kant. Komplett graf med n toppunkter er betegnet med K n .

Teller K 2 , TIL 3, TIL 4 og K 5 .

Definisjon 7.5. Kurve G=G(V, E) er kalt tofrøbladede , Hvis V kan representeres som en forening av usammenhengende sett, for eksempel V=ENB, så hver kant har formen ( v Jeg , v j), Hvor v Jeg EN Og v j B.

Hver kant forbinder et toppunkt fra A til et toppunkt fra B, men ingen to toppunkter fra A eller to toppunkter fra B er koblet sammen.

En todelt graf kalles komplett tofrøblad telle K m , n, Hvis EN inneholder m topper, B inneholder n hjørner og for hver v Jeg EN, v j B vi har ( v Jeg , v j)E.

Altså for alle v Jeg EN, Og v j B det er en kant som forbinder dem.

K 12 K 23 K 22 K 33

Eksempel 7 . 2 . Konstruer en komplett todelt graf K 2.4 og hele grafen K 4 .

Enhetsgrafn-dimensjonal kubeI n .

Toppunktene til grafen er n-dimensjonale binære sett. Kanter forbinder hjørner som er forskjellige i en koordinat.

Eksempel:

Det er tilrådelig å introdusere konseptet med en graf etter at flere problemer som ligner på oppgave 1 har blitt analysert, hvor den avgjørende faktoren er grafisk representasjon. Det er viktig at elevene umiddelbart skjønner at den samme grafen kan tegnes forskjellige måter. Etter min mening er det ikke nødvendig å gi en streng definisjon av en graf, fordi det er for tungvint og vil bare komplisere diskusjonen. Til å begynne med vil et intuitivt konsept være tilstrekkelig. Når du diskuterer begrepet isomorfisme, kan du løse flere øvelser for å identifisere isomorfe og ikke-isomorfe grafer. Et av de sentrale punktene i emnet er teoremet om pariteten til antall odde hjørner. Det er viktig at studentene fullt ut forstår beviset og lærer hvordan de kan bruke det til problemløsning. Når du analyserer flere problemer, anbefaler jeg å ikke referere til teoremet, men faktisk gjenta beviset. Konseptet med graftilkobling er også ekstremt viktig. En meningsfull vurdering her er hensynet til tilkoblingskomponenten; spesiell oppmerksomhet må vies til dette. Euler-grafer er nesten et spilltema.

Det første og hovedmålet som må forfølges når man studerer grafer, er å lære skolebarn å se grafen i problemstillingen og å oversette tilstanden til grafteoriens språk. Du bør ikke fortelle dem begge til alle i flere klasser på rad. Det er bedre å spre klassene over 2–3 studieår. (Vedlagt følger utviklingen av leksjonen «Konseptet med en graf. Anvendelse av grafer til problemløsning» i 6. klasse).

2. Teoretisk materiale til temaet «Graphs».

Introduksjon

Grafer er fantastiske matematiske objekter; med deres hjelp kan du løse mange forskjellige, ytre forskjellige problemer. Det er en hel seksjon i matematikk - grafteori, som studerer grafer, deres egenskaper og anvendelser. Vi vil diskutere bare de mest grunnleggende konseptene, egenskapene til grafer og noen måter å løse problemer på.

Konseptet med en graf

La oss vurdere to problemer.

Oppgave 1. Romkommunikasjon er etablert mellom de ni planetene i solsystemet. Vanlige raketter flyr på følgende ruter: Jorden - Merkur; Pluto - Venus; Jorden - Pluto; Pluto - Merkur; Mercury - Wien; Uranus - Neptun; Neptun - Saturn; Saturn – Jupiter; Jupiter - Mars og Mars - Uranus. Er det mulig å fly med vanlige raketter fra Jorden til Mars?

Løsning: La oss tegne et diagram over tilstanden: vi vil skildre planetene som punkter, og rakettrutene som linjer.

Nå er det umiddelbart klart at det er umulig å fly fra Jorden til Mars.

Oppgave 2. Brettet har form av et dobbeltkors, som oppnås ved å fjerne hjørnerutene fra en 4x4 firkant.

Er det mulig å omgå det ved å flytte en sjakkridder og gå tilbake til den opprinnelige ruten, etter å ha besøkt alle rutene nøyaktig én gang?

Løsning: La oss nummerere kvadratene på brettet sekvensielt:

Og nå, ved å bruke figuren, vil vi vise at en slik kryssing av tabellen, som angitt i betingelsen, er mulig:

Vi vurderte to forskjellige problemer. Løsningene på disse to problemene er imidlertid forent av en felles idé – en grafisk representasjon av løsningen. Samtidig viste bildene som ble tegnet for hver oppgave å være like: hvert bilde består av flere prikker, hvorav noen er forbundet med linjer.

Slike bilder kalles grafer. Punktene kalles topper, og linjene – ribbeina kurve. Merk at ikke hvert bilde av denne typen vil bli kalt en graf. For eksempel. hvis du blir bedt om å tegne en femkant i notatboken din, vil ikke en slik tegning være en graf. Vi vil kalle en tegning av denne typen, som i de forrige oppgavene, en graf hvis det er en spesifikk oppgave som en slik tegning ble konstruert for.

En annen merknad gjelder utseendet til grafen. Prøv å sjekke at grafen for samme oppgave kan tegnes på forskjellige måter; og omvendt, for forskjellige oppgaver kan du tegne grafer med samme utseende. Alt som betyr noe her er hvilke toppunkter som er forbundet med hverandre og hvilke som ikke er det. For eksempel kan grafen for oppgave 1 tegnes annerledes:

Slike identiske, men forskjellig tegnede grafer kalles isomorf.

Grader av toppunkter og telling av antall kanter på en graf

La oss skrive ned en definisjon til: Graden av et toppunkt i en graf er antall kanter som kommer ut fra den. I denne forbindelse kalles et toppunkt med en jevn grad et jevnt toppunkt, henholdsvis et toppunkt med en odde grad kalles et oddetall.

En av hovedteoremene i grafteori er relatert til begrepet toppunktgrad - teoremet om rettferdigheten til antall odde hjørner. Vi vil bevise det litt senere, men først, for illustrasjon, vil vi vurdere problemet.

Oppgave 3. Det er 15 telefoner i byen Malenky. Er det mulig å koble dem med ledninger slik at hver telefon er koblet til nøyaktig fem andre?

Løsning: La oss anta at en slik forbindelse mellom telefoner er mulig. Se for deg en graf der hjørnene representerer telefoner, og kantene representerer ledningene som forbinder dem. La oss telle hvor mange ledninger det er totalt. Hver telefon har nøyaktig 5 ledninger tilkoblet, dvs. graden av hvert toppunkt på grafen vår er 5. For å finne antall ledninger, må du oppsummere gradene til alle toppunktene i grafen og dele det resulterende resultatet med 2 (siden hver ledning har to ender, så når du summerer gradene, vil hver ledning bli tatt 2 ganger) . Men da vil antallet ledninger være annerledes. Men dette tallet er ikke et heltall. Dette betyr at vår antagelse om at hver telefon kan kobles til nøyaktig fem andre viste seg å være feil.

Svar. Det er umulig å koble til telefoner på denne måten.

Teorem: Enhver graf inneholder et partall med odde hjørner.

Bevis: Antall kanter på en graf er lik halvparten av summen av toppene til dens toppunkter. Siden antall kanter må være et heltall, må summen av toppene til toppene være partall. Og dette er bare mulig hvis grafen inneholder et partall med odde hjørner.

Grafisk tilkobling

Det er et annet viktig konsept knyttet til grafer - konseptet tilkobling.

Grafen kalles sammenhengende, hvis to av hjørnene kan kobles sammen av, de. kontinuerlig sekvens av kanter. Det er en rekke problemer hvis løsning er basert på konseptet med graftilkobling.

Oppgave 4. Det er 15 byer i landet Seven, hver by er forbundet med veier til minst syv andre. Bevis at det er mote å komme seg fra hver by til en hvilken som helst annen.

Bevis: Tenk på to vilkårlige byer A og B og anta at det ikke er noen sti mellom dem. Hver av dem er forbundet med veier til minst syv andre, og det er ingen by som er knyttet til begge de aktuelle byene (ellers ville det vært en sti fra A til B). La oss tegne en del av grafen som tilsvarer disse byene:

Nå er det godt synlig at vi har mottatt minst 16 forskjellige byer, noe som strider mot forholdene for problemet. Dette betyr at utsagnet er bevist ved selvmotsigelse.

Hvis vi tar i betraktning den forrige definisjonen, kan utsagnet om problemet omformuleres på en annen måte: "Bevis at veigrafen til landet Seven er koblet sammen."

Nå vet du hvordan en tilkoblet graf ser ut. En frakoblet graf har form av flere "stykker", som hver er enten et separat toppunkt uten kanter eller en sammenkoblet graf. Du kan se et eksempel på en frakoblet graf i figuren:

Hver slik individuell brikke kalles tilkoblet komponent i grafen. Hver tilkoblede komponent representerer en tilkoblet graf, og alle utsagnene som vi har bevist for tilkoblede grafer holder for den. La oss se på et eksempel på et problem som bruker en tilkoblet komponent:

Oppgave 5. I Far Far Away Kingdom er det bare én type transport – et flygende teppe. Det er 21 teppelinjer som forlater hovedstaden, en fra byen Dalniy og 20 fra alle andre byer. Bevis at du kan fly fra hovedstaden til byen Dalniy.

Bevis: Det er klart at hvis du tegner en graf over teppet til Riket, kan det være usammenhengende. La oss se på tilkoblingskomponenten som inkluderer Rikets hovedstad. Det er 21 tepper som kommer ut av hovedstaden, og 20 fra en hvilken som helst annen by unntatt byen Dalniy, derfor, for at loven om et partall odde hjørner skal oppfylles, er det nødvendig at byen Dalniy inkluderes i samme komponent av tilkobling. Og siden den tilkoblede komponenten er en tilkoblet graf, er det fra hovedstaden en sti langs teppene til byen Dalniy, som var det som måtte bevises.

Euler-grafer

Du har sannsynligvis støtt på oppgaver der du trenger å tegne en form uten å løfte blyanten fra papiret og tegne hver linje bare én gang. Det viser seg at et slikt problem ikke alltid er løsbart, dvs. Det er figurer som ikke kan tegnes med denne metoden. Spørsmålet om løsbarheten til slike problemer er også inkludert i grafteori. Den ble først utforsket i 1736 av den store tyske matematikeren Leonhard Euler, og løste problemet med Königsberg-broene. Derfor kalles grafer som kan tegnes på denne måten Euler-grafer.

Oppgave 6. Er det mulig å tegne grafen vist på figuren uten å løfte blyanten fra papiret og tegne hver kant nøyaktig én gang?

Løsning. Hvis vi tegner grafen som angitt i betingelsen, vil vi gå inn i hvert toppunkt, bortsett fra de første og siste, samme antall ganger som vi går ut av det. Det vil si at alle toppunktene i grafen, bortsett fra to, må være jevne. Grafen vår har tre odde hjørner, så den kan ikke tegnes på den måten som er spesifisert i betingelsen.

Nå har vi bevist teoremet om Euler-grafer:

Teorem: En Euler-graf må ha maksimalt to odde hjørner.

Og avslutningsvis - problemet med Königsberg-broene.

Oppgave 7. Figuren viser et diagram over broer i byen Königsberg.

Er det mulig å gå en tur slik at man krysser hver bro nøyaktig én gang?

3. Problemer for emnet «Graphs»

Konseptet med en graf.

1. På et 3x3 firkantet brett plasseres 4 riddere som vist i Fig. 1. Er det mulig, etter å ha gjort flere trekk med ridderne, å omorganisere dem til posisjonen vist i fig. 2?

Ris. 1

Ris. 2

Løsning. La oss nummerere kvadratene på brettet som vist på figuren:

La oss tilordne et punkt på flyet til hver celle, og hvis en celle kan nås ved å flytte en sjakkridder fra en celle, vil vi koble de tilsvarende punktene med en linje. Den første og nødvendige plasseringen av ridderne er vist i figurene:

For enhver sekvens av riddertrekk kan deres rekkefølge åpenbart ikke endres. Derfor er det umulig å omorganisere hestene på den nødvendige måten.

2. I landet Digit er det 9 byer med navnene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En reisende oppdaget at to byer er forbundet med et flyselskap hvis og bare hvis det tosifrede tall dannet av navnene byer, delt på 3. Er det mulig å fly med fly fra by 1 til by 9?

Løsning. Ved å tilordne en prikk til hver by og koble punktene med en linje, hvis summen av tallene er delelig med 3, får vi en graf der tallene 3, 5, 9 er koblet til hverandre, men ikke koblet til hvile. Dette betyr at du ikke kan fly fra by 1 til by 9.

Grader av toppunkter og telling av antall kanter.

3. Det er 100 byer i en stat, og hver by har 4 veier. Hvor mange veier er det i staten?

Løsning. La oss telle det totale antallet veier som forlater byen - 100 . 4 = 400. Men med denne beregningen telles hver vei 2 ganger - den forlater en by og går inn i en annen. Det betyr at det er to ganger færre veier totalt, d.v.s. 200.

4. Det er 30 personer i klassen. Kan det være at 9 personer har 3 venner, 11 har 4 venner og 10 har 5 venner?

Svar. Nei (setning om pariteten til antall odde hjørner).

5. Kongen har 19 vasaller. Kan det være at hver vasal har 1, 5 eller 9 naboer?

Svar. Nei han kan ikke.

6. Kan en stat der nøyaktig 3 veier går ut fra hver by ha nøyaktig 100 veier?

Løsning. La oss telle antall byer. Antall veier er lik antall byer x multiplisert med 3 (antall veier som forlater hver by) og delt på 2 (se oppgave 3). Da er 100 = 3x/2 => 3x = 200, noe som ikke kan skje med naturlig x. Dette betyr at det ikke kan være 100 veier i en slik tilstand.

7. Bevis at antallet mennesker som noen gang har levd på jorden og laget et oddetall håndtrykk er partall.

Beviset følger direkte av teoremet om pariteten til antall odde hjørner i en graf.

Tilkobling.

8. I landet forlater 100 veier hver by og fra hver by kan du komme deg til en hvilken som helst annen. Den ene veien ble stengt for reparasjoner. Bevis at du nå kan komme deg fra hvilken som helst by til en hvilken som helst annen.

Bevis. La oss vurdere tilkoblingskomponenten, som inkluderer en av byene, veien mellom dem ble stengt. Ved teoremet om pariteten til antall odde hjørner inkluderer det også den andre byen. Dette betyr at du fortsatt kan finne en rute og komme deg fra en av disse byene til en annen.

Euler-grafer.

9. Det er en gruppe øyer forbundet med broer slik at du fra hver øy kan komme deg til en hvilken som helst annen. Turisten gikk rundt på alle øyene og krysset hver bro én gang. Han besøkte Threefold Island tre ganger. Hvor mange broer fører fra Troyekratnoye hvis en turist

a) startet ikke med det og sluttet ikke med det?
b) startet med det, men ble ikke ferdig med det?
c) startet med det og sluttet med det?

10. Bildet viser en park delt inn i flere deler av gjerder. Er det mulig å gå gjennom parken og dens omgivelser slik at du kan klatre over hvert gjerde én gang?

Nullgraf og komplett graf.

Det er noen spesielle grafer som vises i mange anvendelser av grafteori. For nå vil vi igjen vurdere grafen som et visuelt diagram som illustrerer forløpet av sportskonkurranser. Før sesongstart, mens ingen kamper har blitt spilt ennå, er det ingen kanter i grafen. En slik graf består kun av isolerte hjørner, dvs. av hjørner forbundet med ingen kanter. Vi vil kalle en graf av denne typen null graf. I fig. 3 viser slike grafer for tilfeller hvor antall kommandoer, eller toppunkter, er 1, 2, 3, 4 og 5. Disse nullgrafene er vanligvis betegnet med symbolene O1, O2, O3 osv., så On er en null a graf med n toppunkter og ingen kanter.

La oss vurdere et annet ekstremt tilfelle. La oss anta at på slutten av sesongen spiller hvert lag en kamp mot hvert av de andre lagene. Så på den tilsvarende grafen vil hvert par av hjørner være forbundet med en kant. En slik graf kalles komplett graf. Figur 4 viser komplette grafer med antall toppunkter n = 1, 2, 3, 4, 5. Disse komplette grafene betegner vi med henholdsvis U1, U2, U3, U4 og U5, slik at grafen Un består av 11 toppunkter og kanter, som forbinder alle mulige par av disse toppunktene. Denne grafen kan betraktes som en n-gon der alle diagonalene er tegnet.

Å ha en graf, for eksempel grafen G vist i fig. 1, kan vi alltid gjøre den om til en komplett graf med de samme toppunktene ved å legge til de manglende kantene (det vil si kanter som tilsvarer spill som ennå ikke skal spilles). I fig. 5 gjorde vi dette for grafen i fig. 1 (spill som ennå ikke har funnet sted vises med stiplede linjer). Du kan også tegne separat en graf som tilsvarer fremtidige spill som ennå ikke er spilt. For graf G vil dette resultere i grafen vist i fig. 6.

Vi kaller denne nye grafen komplementet til graf G; Det er vanlig å betegne det med G1. Ved å ta komplementet til graf G1 får vi igjen graf G. Kantene på begge grafene G1 og G danner sammen en komplett graf.

Populært i kategorien: