Розрахунок загальної напруги ланцюга. ДЗ - Розрахунок складного ланцюга постійного струму. Послідовне з'єднання нелінійних елементів
Основи > Завдання та відповіді > Постійний електричний струм
Методи розрахунку ланцюгів постійного струму
Ланцюг складається згілок, має вузлів та джерел струму. Форми, що наводяться далі, придатні для розрахунку ланцюгів, що містять і джерела напруги і джерела струму. Вони справедливі і для тих окремих випадків: коли в ланцюзі є тільки джерела напруги або тільки джерела струму.
Застосування законів Кірхгофа.Зазвичай у ланцюзі відомі джерела ЕРС і джерела струмів і всі опори. У цьому випадку встановлюється кількість невідомих струмів, що дорівнює. Для кожної гілки задаються позитивним напрямом струму.
Число У взаємонезалежних рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа, дорівнює числу вузлів без одиниці. Число взаємонезалежних рівнянь, що складаються за другим законом Кірхгофа,
При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа слід вибирати незалежні контури, які не містять джерел струму. Загальна кількість рівнянь, що складаються за першим і другим законом Кірхгофа, дорівнює числу невідомих струмів.
Приклади наведено у завданнях розділу.
Метод контурних струмів (Максвелла).Цей метод дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа К, що визначається формулою (0.1.10). Він заснований на тому, що струм у будь-якій галузі ланцюга можна подати у вигляді алгебраїчної суми контурних струмів, що протікають по цій галузі. При використанні цього методу вибирають і позначають контурні струми (по будь-якій гілки повинен проходити хоча б один обраний контурний струм). З теорії відомо, що загальна кількість контурних струмів. Рекомендується вибиратиконтурних струмів так, щоб кожен з них проходив через одне джерело струму (ці контурні струми можна вважати такими, що збігаються з відповідними струмами джерел струмуі вони зазвичай є заданими умовами завдання), а ті, що залишилисяконтурних струмів вибирати проходять по гілках, які не містять джерел струму. Для визначення останніх контурних струмів за другим законом Кірхгофа для цих контурів складають До рівнянь у такому вигляді:
де - власний опір контуру n (сума опорів усіх гілок, що входять до контуру n); - загальний опір контурів n і l, причому , якщо напрями контурних струмів у спільній галузі для контурів n і l збігаються, то позитивно , в іншому випадкунегативно; - алгебраїчна сума ЕРС, включених у гілки, що утворюють контур n; - загальний опір гілки контуру n з контуром, що містить джерело струму.
Приклади наведено у завданнях розділу.
Метод вузлових напруг.Цей метод дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа У, що дорівнює кількості вузлів без одного
Сутність методу полягає в тому, що спочатку розв'язуванням системи рівнянь (0.1.13) визначають потенціали всіх вузлів схеми, а струми гілок, що з'єднують вузли, знаходять за допомогою закону Ома.
При складанні рівнянь методом вузлових напруг спочатку вважають рівним нулю потенціал будь-якого вузла (його називають базисним). Для визначення потенціалів решти вузлів складається така система рівнянь:
Тут - сума провідностей гілок, приєднаних до вузла s;- сума провідностей гілок, що безпосередньо з'єднують вузол s з вузлом q;
- алгебраїчна сума творів ЕРС гілок, що примикають до вузла s , на їх провідності; при цьому зі знаком «+» беруться ті ЕРС, які діють у напрямку вузла s, та зі знаком «-» - у напрямку від вузла s;- сума алгебри струмів джерел струму, приєднаних до вузла s; при цьому зі знаком «+» беруться ті струми, які спрямовані до вузла s , а зі знаком «-» - у напрямку від вузла s.
Методом вузлових напруг рекомендується користуватися в тих випадках, коли кількість рівнянь менша за кількість рівнянь, складених за методом контурних струмів.
Якщо в схемі деякі вузли з'єднуються ідеальними джерелами ЕРС, то У рівнянь, що складаються за методом вузлових напруг, зменшується:
де - Число гілок, що містять тільки ідеальні джерела ЕРС.
Приклади наведено у завданнях розділу.
Окремий випадок-двохузлова схема. Для схем, що мають два вузли (для визначеності вузли а і b ), вузлова напруга
де - алгебраїчна сума творів ЕРС гілок (ЕРС вважаються позитивними, якщо вони направлені до вузла а, та негативними, якщо від вузла а до вузла b ) на провідності цих гілок;- струми джерел струму (позитивні, якщо вони спрямовані до вузла а, та негативні, якщо спрямовані від вузла а до вузла b); - сума провідностей усіх гілок, що з'єднують вузли а і b.
Принцип накладення.Якщо в електричному ланцюзі заданими значеннями є ЕРС джерел та струми джерел струму, то розрахунок струмів на підставі принципу накладання полягає в наступному. Струм у будь-якій гілки можна розрахувати як суму алгебри струмів, що викликаються в ній ЕРС кожного джерела ЕРС окремо і струмом, що проходить по цій же гілки від дії кожного джерела струму. При цьому треба мати на увазі, що коли ведеться розрахунок струмів, викликаних яким-небудь одним джерелом ЕРС або струму, то інші джерела ЕРС у схемі замінюються короткозамкнутими ділянками, а гілки з джерелами струму інших джерел відключаються (гілки з джерелами струму розмикаються).
Еквівалентні перетворення схем.У всіх випадках перетворення заміни одних схем іншими, їм еквівалентними, не повинно призвести до зміни струмів або напруг на ділянках ланцюга, що не зазнали перетворення.
Заміна послідовно з'єднаних опорів одним еквівалентним. Опори з'єднані послідовно, якщо вони обтікаються одним і тим самим струмом (наприклад, опориз'єднані послідовно (див. рис. 0.1,3), також послідовні опори).
n послідовно з'єднаних опорів, дорівнює сумі цих опорів
При послідовному з'єднанні n опорів напруги ними розподіляються прямо пропорційно цим опорам
В окремому випадку двох послідовно з'єднаних опорів
де U - загальна напруга, що діє на ділянці ланцюга, що містить два опори(Див. рис. 0.1.3).
Заміна паралельно з'єднаних опорів одним еквівалентним. Опори з'єднані паралельно, якщо вага вони приєднані до однієї пари вузлів, наприклад, опору
(Див. рис. 0.1.3).
Еквівалентний опір ланцюга, що складається з n паралельно з'єднаних опорів (рис. 0.1.4),
В окремому випадку паралельного з'єднання двох опорівеквівалентний опір
При паралельному з'єднанні n опорів (рис. 0.1.4, а) струми в них розподіляються обернено пропорційно до їхніх опорів або прямо пропорційно до їх провідностей
Струм у кожному їх обчислюється через струм I у нерозгалуженій частині ланцюга
У окремому випадку двох паралельних гілок (рис. 0.1.4, б)
Заміна змішаного з'єднання опорів одним еквівалентним. Змішане з'єднання це поєднання послідовного та паралельного з'єднань опорів. Наприклад, опору (Рис. 0.1.4, б) з'єднані змішано. Їхній еквівалентний опір
Формули перетворення трикутника опорів (рис. 0.1.5, а) на еквівалентну зірку опорів (рис. 0.1.5, б), і навпаки, мають такий вигляд:
Метод еквівалентного джерела(Метол активного двополюсника, або метод холостого ходу та короткого замикання). Застосування методу доцільно визначення струму в будь-якої однієї гілки складної електричної ланцюга. Розглянемо два варіанти: а) метод еквівалентного джерела ЕРС та б) метод еквівалентного джерела струму.
При методі еквівалентного джерела ЕРСдля знаходження струму I у довільній галузі ab, опір якої R (рис. 0.1.6, а,
літера А означає активний двополюсник), треба цю гілку розімкнути (рис. 0.1.6,б), а частину ланцюга, підключену до цієї гілки, замінити еквівалентним джерелом з ЕРСта внутрішнім опором(Рис. 0.1.6, в).
ЕРСцього джерела дорівнює напрузі на затискачах розімкнутої гілки (напруга холостого ходу):
Розрахунок схем у режимі холостого ходу (див. рис. 0.1.6, б) для визначення проводиться будь-яким відомим методом.
Внутрішній опіреквівалентного джерела ЕРС дорівнює вхідному опору пасивного ланцюга щодо затискачів а і b вихідної схеми, з якої виключені всі джерела [джерела ЕРС замінені короткозамкненими ділянками, а гілки з джерелами струму відключені (рис. 0.1.6, г); літера П вказує на пасивний характер ланцюга], при розімкнутої гілки ab. Опір можна обчислити безпосередньо за схемою рис. 0.1.6 р.
Струм у цій галузі схеми (рис. 0.1.6, д), що має опір R, визначають за законом Ома:
У ланцюги постійного струмудіють постійні напруги, протікають постійні струми та присутні лише резистивні елементи (опір).
Ідеальним джерелом напругиназивають джерело, напруга на затискачах якого, створюване внутрішньою електрорушійною силою (ЕРС ), залежить від формованого ним у навантаженні струму (рис. 6.1а). При цьому має місце рівність. Вольтамперна характеристика ідеального джерела напруги показано на рис. 6.1б.
Ідеальним джерелом струмуназивають джерело, який віддає в навантаження струм, який не залежить від напруги на затискачах джерела, Мал. 6.2а. Його вольтамперна характеристика показано на рис. 6.2б.
У опорізв'язок між напругою та струмом визначається законом Ома у вигляді
Приклад електричного кола показаний на рис. 6.3. У ній виділяються гілки, що складаються з послідовного з'єднання декількох елементів (джерела E і опору) або одного елемента (і) і вузли- Точки з'єднання трьох і більше гілок, відмічені жирними точками. У розглянутому прикладі є гілки та вузла.
Крім того, в ланцюзі виділяються незалежні замкнуті контури, що не містять ідеальні джерела струму. Їх число дорівнює. У прикладі на рис. 6.3 їх число , наприклад, контури з гілками E і показані на рис. 6.3 овалами зі стрілками, що вказують позитивний напрямокобходу контуру.
Зв'язок струмів та напруг у ланцюзі визначається законами Кірхгофа.
Першийзакон Кірхгофа: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі електричного ланцюга, дорівнює нулю,
струми, Що Втікають у вузол, мають знак плюс, а витікаючі мінус.
Другий закон Кірхгофа: алгебраїчна сума напруг на елементах замкнутого незалежного контуру дорівнює сумі алгебри ЕРС ідеальних джерел напруги, включених в цьому контурі,
Напруги та ЕРС беруться зі знаком плюс, якщо їх позитивні напрямки збігаються з напрямом обходу контуру, інакше використовується знак мінус.
Для наведеного на рис. 6.3 прикладу за законом Ома отримаємо підсистему компонентних рівнянь
За законами Кірхгофа підсистема топологічних рівнянь ланцюга має вигляд
Розрахунок на основі закону Ома
Цей метод зручний для розрахунку порівняно простих ланцюгів з одним джерелом сигналу. Він передбачає обчислення опорів ділянок ланцюга, для яких відома вели-
чину струму (або напруги), з наступним визначенням невідомої напруги (або струму). Розглянемо приклад розрахунку ланцюга, схема якого наведено на рис. 6.4, при струмі ідеального джерела А та опорах Ом, Ом, Ом. Необхідно визначити струми гілок і, а також напруги на опорах, і.
Відомий струм джерела тоді можна обчислити опір ланцюга щодо затискачів джерела струму (паралельного з'єднання опору і послідовно з'єднаний-
Мал. 6.4 них опорів і ),
Напруга на джерелі струму (на опорі) дорівнює
Потім можна знайти струми гілок
Отримані результати можна перевірити за допомогою першого закону Кірхгофа у вигляді. Підставляючи обчислені значення, отримаємо А, що збігається із величиною струму джерела.
Знаючи струми гілок, неважко знайти напруги на опорах (величина вже знайдена)
За другим законом Кірхгофа. Складаючи отримані результати, переконуємось у його виконанні.
Розрахунок ланцюга за рівняннями Кірхгофа
Проведемо розрахунок струмів і напруг у ланцюзі, показаному на рис. 6.3 при і. Ланцюг описується системою рівнянь (6.4) і (6.5), з якої для струмів гілок отримаємо
З першого рівняння висловимо, а з третього
Тоді з другого рівняння отримаємо
і, отже
З рівнянь закону Ома запишемо
Наприклад, для ланцюга на рис. 6.3 у загальному вигляді отримаємо
Підставляючи в ліву частину рівності (6.11) отримані раніше вирази для струмів, отримаємо
що відповідає правій частині виразу (6.11).
Аналогічні розрахунки можна і для ланцюга на рис. 6.4.
Умова балансу потужностей дозволяє додатково контролювати правильність розрахунків.
В електротехніці прийнято вважати, що простий ланцюг - це ланцюг, який зводиться до ланцюга з одним джерелом та одним еквівалентним опором. Згорнути ланцюг можна за допомогою еквівалентних перетворень послідовного, паралельного та змішаного з'єднань. Винятком служать ланцюги, що містять складніші з'єднання зіркою та трикутником. Розрахунок ланцюгів постійного струмупроводиться за допомогою закону Ома та Кірхгофа.
Приклад 1
Два резистори підключені до джерела постійної напруги 50 В, з внутрішнім опором r = 0,5 Ом. Опір резисторів R 1 = 20 і R 2 = 32 Ом. Визначити струм у ланцюгу та напруги на резисторах.
Так як резистори підключені послідовно, еквівалентний опір дорівнюватиме їх сумі. Знаючи його, скористаємося законом Ома для повного ланцюга, щоб знайти струм у ланцюгу.
Тепер знаючи струм у ланцюгу, можна визначити падіння напруги на кожному з резисторів.
Перевірити правильність рішення можна кількома способами. Наприклад, за допомогою закону Кірхгофа, який свідчить, що сума ЕРС у контурі дорівнює сумі напруги в ньому.
Але за допомогою закону Кірхгофа зручно перевіряти прості ланцюги, що мають один контур. Більш зручним способом перевірки є баланс потужностей.
У ланцюзі повинен дотримуватися баланс потужностей, тобто енергія віддана джерелами повинна дорівнювати енергії отриманої приймачами.
Потужність джерела визначається як добуток ЕРС на струм, а потужність отримана приймачем як добуток падіння напруги на струм.
Перевага перевірки балансом потужностей у тому, що не потрібно складати складних громіздких рівнянь на підставі законів Кірхгофа, достатньо знати ЕРС, напруги та струми в ланцюзі.
Приклад 2
Загальний струм ланцюга, що містить два з'єднані паралельно резистори R 1 = 70 Ом та R 2 = 90 Ом, дорівнює 500 мА. Визначити струми у кожному з резисторів.
Два послідовно з'єднаних резистора ніщо інше, як дільник струму. Визначити струми, що протікають через кожен резистор можна за допомогою формули дільника, при цьому напруга в ланцюзі нам не потрібно знати, знадобиться лише загальний струм та опори резисторів.
Струми в резисторах 
В даному випадку зручно перевірити завдання за допомогою першого закону Кірхгофа, згідно з яким сума струмів, що сходяться, у вузлі дорівнює нулю.
Якщо не пам'ятаєте формулу дільника струму, можна вирішити завдання іншим способом. Для цього необхідно знайти напругу в ланцюзі, яке буде загальним для обох резисторів, оскільки з'єднання паралельне. Для того, щоб його знайти, потрібно спочатку розрахувати опір ланцюга
А потім напруга
Знаючи напруги, знайдемо струми, що протікають через резистори
Як бачите, струми вийшли тими самими.
Приклад 3
В електричному ланцюзі, зображеному на схемі R 1 = 50 Ом, R 2 = 180 Ом, R 3 = 220 Ом. Знайти потужність, що виділяється на резисторі R 1, струм через резистор R 2 , напруга на резисторі R 3 якщо відомо, що напруга на затискачах ланцюга 100 В.
Щоб розрахувати потужність постійного струму, що виділяється на резисторі R 1 необхідно визначити струм I 1 , який є загальним для всього ланцюга. Знаючи напругу на затискачах та еквівалентний опір ланцюга, можна його знайти.
Еквівалентний опір та струм у ланцюгу
Звідси потужність, що виділяється на R 1
Суть розрахунків полягає, як правило, у тому, щоб за відомими значеннями всіх опорів ланцюга та параметрів джерел (ЕРС або струму) визначити струми у всіх гілках та напруги на всіх елементах (опорах) ланцюга.
Для розрахунку електричних ланцюгівпостійного струму можуть застосовуватись різні методи. Серед них основними є:
- метод, заснований на складанні рівнянь Кірхгофа;
– метод еквівалентних перетворень;
– метод контурних струмів;
– метод накладання;
– метод вузлових потенціалів;
– метод еквівалентного джерела;
Метод, заснований на складанні рівнянь Кірхгофа, є універсальним і може застосовуватися як одноконтурних, так багатоконтурних ланцюгів. При цьому кількість рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа, повинна дорівнювати кількості внутрішніх контурів схеми.
Кількість рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, має бути на одиницю меншою за кількість вузлів у схемі.
Наприклад, для даної схеми
складається 2 рівняння за 1-м законом Кірхгофа та 3 рівняння за 2-м законом Кірхгофа.
Розглянемо інші способи розрахунку електричних ланцюгів:
Метод еквівалентних перетворень застосовується для спрощення схем та розрахунків електричних кіл. Під еквівалентним перетворенням розуміється така заміна однієї схеми інший, коли він електричні величини схеми загалом змінюються (напруга, струм, споживана потужність залишаються незмінними).
Розглянемо деякі види еквівалентних перетворень схем.
а). послідовне з'єднання елементів
Загальний опір послідовно з'єднаних елементів дорівнює сумі опорів цих елементів.
R Е = Σ R j (3.12)
R Е = R 1 + R 2 + R 3
б). паралельне з'єднання елементів.
Розглянемо два паралельно з'єднані елементи R1 і R2. Напруга цих елементах рівні, т.к. вони підключені до тих самих вузлів а і б.
U R1 = U R2 = U АБ
Застосовуючи закон Ома отримаємо
U R1 = I 1 R 1; U R2 =I 2 R 2
I 1 R 1 =I 2 R 2 або I 1 / I 2 =R 2 / R 1
Застосуємо 1-й закон Кірхгофа до вузла (а)
I – I 1 – I 2 =0 або I=I 1 +I 2
Виразимо струми I 1 і I 2 через напругу отримаємо
I 1 = U R1 / R 1; I 2 = U R2 / R 2
I = U АБ / R 1 + U АБ / R 2 = U АБ (1 / R 1 +1/R 2)
Відповідно до закону Ома маємо I=U АБ/R Е; де R Е – еквівалентний опір
З огляду на це можна записати
U АБ / R Е = U АБ (1 / R 1 +1 / R 2),
1/R Е =(1/R 1 +1/R 2)
Введемо позначення: 1/R Е = G Е – еквівалентна провідність
1/R 1 =G 1 – провідність одного елемента
1/R 2 =G 2 - провідність 2-го елемента.
Запишемо рівняння (6) у вигляді
G Е = G 1 + G 2 (3.13)
З цього виразу випливає, що еквівалентна провідність паралельно з'єднаних елементів дорівнює сумі провідностей цих елементів.
На основі (3.13) отримаємо еквівалентний опір
R Е = R 1 R 2 / (R 1 + R 2) (3.14)
в). Перетворення трикутника опорів на еквівалентну зірку і зворотне перетворення.
З'єднання трьох елементів ланцюга R 1 , R 2 , R 3 має вигляд трьох променевої зірки із загальною точкою (вузлом), називається з'єднанням "зірка", а з'єднання цих же елементів, при якому вони утворюють сторони замкнутого трикутника - з'єднанням "трикутник".
Рис.3.14. Рис.3.15.
з'єднання – зірка () з'єднання – трикутник ()
Перетворення трикутника опорів на еквівалентну зірку проводиться за такими правилами і співвідношеннями:
Опір променя еквівалентної зірки дорівнює добутку опорів двох сторін трикутника, що примикають, поділеному на суму всіх трьох опорів трикутника.
Перетворення зірки опорів на еквівалентний трикутник проводиться за такими правилами і співвідношеннями:
Опір сторони еквівалентного трикутника дорівнює сумі опорів двох прилеглих променів зірки плюс добуток цих двох опорів, поділений на опір третього променя:
г). Перетворення джерела струму на еквівалентне джерело ЕРС Якщо у схемі є одне або кілька джерел струму, то часто для зручності розрахунків слід замінити джерела струму на джерела ЕРС
Нехай джерело струму має параметри I і G ВН.
Рис.3.16. Рис.3.17.
Тоді параметри еквівалентного джерела ЕРС можна визначити із співвідношень
E Е =I К/G ВН; R ВН.Е = 1/G ВН (3.17)
При заміні джерела ЕРС еквівалентним джерелом струму необхідно використовувати такі співвідношення
I К Е = E/R ВН; G ВН, Е = 1/R ВН (3.18)
Метод контурних струмів.
Цей метод застосовується, як правило, при розрахунках багатоконтурних схем, коли кількість рівнянь, складених за 1 і 2 законами Кірхгофа, дорівнює шести і більше.
Для розрахунку за методом контурних струмів у схемі складного ланцюга визначаються та нумеруються внутрішні контури. У кожному контурів довільно вибирається напрям контурного струму, тобто. струму, що замикається лише у цьому контурі.
Потім кожному контуру складається рівняння по 2-му закону Кірхгофа. При цьому, якщо будь-який опір належить одночасно двом суміжним контурам, то напруга на ньому визначається як сума алгебраїчної напруги, створюваних кожним з двох контурних струмів.
Якщо кількість контурів n то і рівнянь буде n. Вирішуючи дані рівняння (методом підстановки чи визначників), знаходять контурні струми. Потім, використовуючи рівняння, записані за 1-м законом Кірхгофа, знаходять струми в кожній із гілок схеми.
Запишемо контурні рівняння даної схеми.
Для одного контуру:
I 1 R 1 +(I 1 +I 2)R 5 +(I I +I III)R 4 =E 1 -E 4
Для 2-го контуру
(I I +I II)R 5 + I II R 2 +(I II -I III)R 6 =E 2
Для 3-го контуру
(I I +I III)R 4 +(I III -I II)R 6 +I III R 3 =E 3 -E 4
Здійснюючи перетворення запишемо систему рівнянь у вигляді
(R 1 +R 5 +R 4)I I +R 5 I II +R 4 I III =E 1 -E 4
R 5 I I + (R 2 +R 5 +R 6) I II -R 6 I III =E 2
R 4 I I -R 6 I II +(R 3 +R 4 +R 6) I III =E 3 -E 4
Вирішуючи цю системурівнянь, визначаємо невідомі I1, I2, I3. Струми у гілках визначаються, використовуючи рівняння
I 1 = I I; I 2 = I II; I 3 = I III; I 4 = I I + I III; I 5 = I I + I II; I 6 = I II – I III
Метод накладення.
Цей метод заснований на принципі суперпозиції і використовується для схем з кількома джерелами живлення. Відповідно до цього методу при розрахунку схеми, що містить кілька джерел е.р.с. , по черзі вважаються рівними нулю всі ЕРС, крім однієї. Проводиться розрахунок струмів у схемі, що створюється однією цією ЕРС. Розрахунок проводиться окремо для кожної ЕРС, що міститься у схемі. Дійсні значення струмів в окремих гілках схеми визначаються як сума алгебри струмів, створюваних незалежною дією окремих ЕРС.
Рис.3.20. Рис.3.21.
На рис. 3.19 вихідна схема, але в рис.3.20 і рис.3.21 схеми заміщається з одним джерелом у кожному.
Проводиться розрахунок струмів I 1', I 2', I 3' і I 1", I 2", I 3".
Визначаються струми у гілках вихідної схеми за формулами;
I 1 =I 1 ’ -I 1 ”; I 2 = I 2 ”-I 2 '; I 3 =I 3 ' +I 3 ”
Метод вузлових потенціалів
Метод вузлових потенціалів дозволяє скоротити кількість спільно розв’язуваних рівнянь до Y – 1, де Y – кількість вузлів еквівалентної схеми. Метод заснований на застосуванні першого закону Кірхгофа і полягає в наступному:
1. Один вузол схеми ланцюга приймаємо базисним із нульовим потенціалом. Таке припущення не змінює значення струмів у гілках, оскільки струм у кожній гілки залежить тільки від різниць потенціалів вузлів, а не від дійсних значень потенціалів;
2. Для решти У - 1 вузлів складаємо рівняння за першим законом Кірхгофа, виражаючи струми гілок через потенціали вузлів.
У цьому випадку в лівій частині рівнянь коефіцієнт при потенціалі розглянутого вузла додатний і дорівнює сумі провідностей гілок, що сходяться до нього.
Коефіцієнти при потенціалах вузлів, з'єднаних гілками з вузлом, що розглядаються, негативні і рівні провідностям відповідних гілок. Права частина рівнянь містить алгебраїчну суму струмів гілок з джерелами струмів і струмів короткого замикання гілок з джерелами ЕРС, що сходяться до вузла, причому доданки беруться зі знаком плюс (мінус), якщо струм джерела струму і ЕРС спрямовані до вузла (від вузла).
3. Вирішенням складеної системи рівнянь визначаємо потенціали У-1 вузлів щодо базисного, а потім струми гілок за узагальненим законом Ома.
Розглянемо застосування методу з прикладу розрахунку ланцюга по рис. 3.22.
Для вирішення методом вузлових потенціалів приймаємо 
.
Система вузлових рівнянь: число рівнянь N = N y - N B -1,
де: N y = 4 - число вузлів,
N B = 1 - число вироджених гілок (гілки з 1-м джерелом ЕРС),
тобто. для цієї ланцюга: N = 4-1-1=2.
Складаємо рівняння за першим законом Кірхгоф для (2) та (3) вузлів;
I2 - I4 - I5 - J5 = 0; I4 + I6 -J3 = 0;
Представимо струми гілок за законом Ома через потенціали вузлів:
I2 = (φ2 - φ1) / R2; I4 = (φ2 + E4 − φ3) / R4
I5 = (φ2 - φ4) / R5; I6 = (φ3 - E6 - φ4) / R6;
де, 
Підставивши ці вирази рівняння струмів вузлів, отримаємо систему;
де 
,
Вирішуючи систему рівнянь чисельним методом підстановки або визначників знаходимо значення потенціалів вузлів, а за ними значення напруги та струмів у гілках.
Метод Еквівалентного джерела (активного двополюсника)
Двополюсником називається ланцюг, який з'єднується із зовнішньою частиною через два висновки – полюси. Розрізняють активні та пасивні двополюсники.
Активний двополюсник містить джерела електричної енергії, а пассивний їх не містить. Умовні позначеннядвополюсників прямокутником з літерою А для активного та П для пасивного (рис. 3.23.)
Для розрахунку ланцюгів з двополюсниками останні представляють схемами заміщення. Схема заміщення лінійного двополюсника визначається його вольт-амперною чи зовнішньою характеристикою V(I). Вольт-амперна характеристика пасивного двополюсника – пряма. Тому його схема заміщення представляється резистивним елементом із опором:
rвх = U/I (3.19)
де: U – напруга між висновками, I-струм та rвх – вхідний опір.
Вольт-амперну характеристику активного двополюсника (рис. 3.23, б) можна побудувати за двома точками, відповідними режимами холостого ходу, тобто при г н = ° °, U = U х, I = 0, і короткого замикання, т.е. е. при г н = 0, U = 0, I = Iк. Ця характеристика та її рівняння має вигляд:
U = U х - г ек I = 0 (3.20)
г ек = U х / Iк (3.21)
де: г ек - еквівалентний або вихідний опір двополюсника, совпа-
дають з однойменними характеристикою та рівнянням джерела електроенергії, що надається схемами заміщення на рис. 3.23. 
Отже, активний двополюсник є еквівалентним джерелом з ЕРС – Е ек = U х і внутрішнім опором – г ек = г вих (рис. 3.23, а) Приклад активного двополюсника.- гальванічний елемент. При зміні струму в межах 0 Якщо приймач з опором навантаження г н підключений до активного двополюсника, то його струм визначається за методом еквівалентного джерела: I = Е ек / (г н + г ек) = U х / (г н + г вих) (3.21) Як приклад розглянемо розрахунок струму I ланцюга на рис 3.24, а методом еквівалентного джерела. Для розрахунку напруги холостого ходу U х між висновками а та Ъ активного двополюсника розімкнемо гілку з резистивним елементом г н (рис. 3.24 б). Застосовуючи метод накладання та враховуючи симетрію схеми, знаходимо: U х = J г / 2 + Е / 2 Замінивши джерела електричної енергії (у цьому прикладі джерела ЕРС та струму) активного двополюсника резистивними елементами з опорами, рівними внутрішнім опорам відповідних джерел (у цьому прикладі нульовим для джерела ЕРС і нескінченно великим для джерела струму опорами), отримаємо вихідний опір а та б) г вих = г/2 (рис.3.24, в). По (3.21) шуканий струм: I = (J г / 2 + Е / 2) / (г н + r / 2). Визначення умов передачі приймачеві максимальної енергії У пристроях зв'язку, в електроніці, автоматиці і т. д. часто бажано передати від джерела до приймача (виконавчого механізму) найбільшу енергію, причому ККД передачі має другорядне значення через небагато енергії. Розглянемо загальний випадок живлення приймача від активного двополюсника на рис. 3.25 останній представлений еквівалентним джерелом з ЕРС Е ек та внутрішнім опором г ек. Визначимо потужності Рн,РЕ та ККД передачі енергії: Рн = U н I = (Е ек - г ек I) I; РЕ = Е ек I = (г н - г ек I) I 2 η = Рн / РЕ 100% = (1 - г ек I / Е ек) 100% При двох граничних значеннях опору г н = 0 і г н = ° ° потужність приймача дорівнює нулю, так як у першому випадку дорівнює нулю напруга між висновками приймача, а в другому випадку струм у ланцюгу. Отже, деякому певному значенню г н відповідає найбільше можливе (при даних ек і г ек) значення потужності приймача. Щоб визначити це значення опору, прирівняємо нулю першу похідну від потужності р н по г н і отримаємо: (г ек - г н) 2 - 2 г н г ек -2 г н 2 = 0 звідки випливає, що за умови г н = г ек (3.21) потужність приймача буде максимальна: Рн max = г н (Е 2 ек / 2 г н) 2 = Е 2 ек / 4 г н I (3.22) Рівність (1.38) називається умовою максимальної потужності приймача, тобто. передачі максимальної енергії На рис. 3.26 наведено залежності Рн,РЕ, U н і від струму I. ТЕМА 4: ЛІНІЙНІ ЕЛЕКТРИЧНІ ЛАНЦЮГИ ЗМІННОГО Змінним називається електричний струм, що періодично змінюється за напрямом і амплітудою. При цьому, якщо змінний струм змінюється за синусоїдальним законом – він називається синусоїдальним, а якщо ні – несинусоїдальним. Електричний ланцюг з таким струмом називається ланцюгом змінного (синусоїдального або несинусоїдального) струму. Електротехнічні пристрої змінного струму знаходять широке застосування в різних галузях народного господарства, при генеруванні, передачі та трансформуванні електричної енергії, електроприводі, побутовій техніці, промисловій електроніці, радіотехніці тощо. Переважне поширення електротехнічних пристроїв змінного синусоїдального струму обумовлено низкою причин. Сучасна енергетика ґрунтується на передачі енергії на далекі відстані за допомогою електричного струму. Обов'язковою умовою такої передачі є можливість простого та з малими втратами енергії перетворення струму. Таке перетворення можна здійснити лише в електротехнічних пристроях змінного струму - трансформаторах. Внаслідок величезних переваг трансформування в сучасній електроенергетиці застосовується насамперед синусоїдальний струм. Великим стимулом для розробки та розвитку електротехнічних пристроїв синусоїдального струму є можливість отримання джерел електричної енергії великої потужності. У сучасних турбогенераторів теплових електростанцій потужність дорівнює 100-1500 МВт на один агрегат, великі потужності мають і генератори гідростанцій. До найпростіших і найдешевших електричних двигунів відносяться асинхронні двигуни змінного синусоїдального струму, в яких відсутні рухомі електричні контакти. Для електроенергетичних установок (зокрема, всім електричних станцій) у Росії більшості країн світу прийнято стандартна частота 50 Гц (у США – 60 Гц). Причина такого вибору прості: зниження частоти неприйнятне, оскільки вже за частоті струму 40 Гц лампи розжарювання помітно очі блимають; підвищення частоти небажано, тому що пропорційно до частоти зростає ЕРС саме індукції, що негативно впливає на передачу енергії по проводах” і роботу багатьох електротехнічних пристроїв. Ці міркування, однак, не обмежують застосування змінного струму інших частот для вирішення різних технічних та наукових завдань. Наприклад, частота змінного синусоїдального струму електричних печей для виплавки тугоплавких металів становить до 500Гц. У радіоелектроннику застосовуються високочастотні (мегогерцові) пристрої, так на таких частотах підвищується випромінювання електромагнітних хвиль. Залежно від числа фаз електричні ланцюги змінного струму поділяються на однофазні та трифазні. Розв'язання будь-якої задачі з розрахунку електричного ланцюга слід починати з вибору методу, яким буде здійснено обчислення. Як правило, одна і та сама задача може бути вирішена декількома методами. Результат у будь-якому випадку буде однаковим, а складність обчислень може суттєво відрізнятись. Для коректного вибору методу розрахунку слід спочатку визначиться до якого класу належить цей електричний ланцюг: до простих електричних кіл або до складних. До простимвідносять електричні ланцюги, які містять або одне джерело електричної енергії, або кілька що знаходяться в одній галузі електричного ланцюга. Нижче зображено дві схеми простих електричних кіл. Перша схема містить одне джерело напруги, у такому разі електричний ланцюг однозначно відноситься до простих кіл. Друга містить вже два джерела, але вони знаходяться в одній гілки, отже це також простий електричний ланцюг. Розрахунок простих електричних ланцюгів зазвичай виробляють у такій послідовності: Описана методика застосовна до розрахунку будь-яких простих електричних ланцюгів, типові приклади наведено у прикладі №4 й у прикладі №5. Іноді розрахунки подібним методом можуть виявитися досить об'ємними та тривалими. Тому після знаходження рішення буде не зайвим провести перевірку правильності ручних розрахунків із застосуванням спеціалізованих програм або складанням балансу потужностей. Розрахунок простого електричного ланцюга у поєднанні зі складанням балансу потужностей наведено у прикладі №6. Складні електричні ланцюги До складним електричним ланцюгамвідносять ланцюги, що містять кілька джерел електричної енергії, що включені в різні гілки. Нижче на малюнку зображено приклади таких кіл. Для повного розрахунку складних електричних ланцюгів зазвичай використовують такі методи: Особливості застосування кожного методу розрахунку складних електричних кіл докладніше викладені у відповідних підрозділах.
Для складних електричних ланцюгів не застосовується методика розрахунку простих електричних кіл. Спрощення схем неможливе, т.к. не можна виділити на схемі ділянку ланцюга з послідовним чи паралельним з'єднанням однотипних елементів. Іноді перетворення схеми з її подальшим розрахунком все-таки можливе, але це швидше виняток із загального правила.
