ev › Problemlər › Mümkün qədər tam bir qrafik qurun. Xüsusiyyətlərinə əsasən qrafiklərin qurulması. Əsas anlayışları möhkəmləndirmək üçün qrafik problemləri

Mümkün qədər tam bir qrafik qurun. Xüsusiyyətlərinə əsasən qrafiklərin qurulması. Əsas anlayışları möhkəmləndirmək üçün qrafik problemləri

Açar sözlər:

qrafik obyekt
kompüter qrafikası
rastr qrafika
Vektor qrafikası
qrafik fayl formatları

Rəsmlər, rəsmlər, rəsmlər, fotoşəkillər və digər qrafik təsvirlər qrafik obyektlər adlanacaqdır.

3.2.1. Kompüter qrafikasının tətbiq sahələri

Kompüter qrafikası bizim bir hissəsinə çevrilib gündəlik həyat. Bu tətbiq edilir:

ölçmə və müşahidələrin nəticələrinin vizual təqdimatı üçün (məsələn, uzun müddət ərzində iqlim dəyişikliyi, heyvan populyasiyalarının dinamikası, müxtəlif regionların ekoloji vəziyyəti və s.), sosioloji sorğuların nəticələri, planlaşdırılan göstəricilər, statistik məlumatlar, tibbdə ultrasəs tədqiqatlarının nəticələri və s.;
interyer və landşaft dizaynlarını hazırlayarkən, yeni binaların layihələndirilməsi zamanı, texniki cihazlar və digər məhsullar;
simulyatorlarda və kompüter oyunlarında, məsələn, təyyarənin və ya kosmik gəminin uçuşu, avtomobilin hərəkəti və s. zamanı yaranan müxtəlif vəziyyətləri simulyasiya etmək;
kino sənayesində hər cür xüsusi effektlərin yaradılması zamanı;
müasir inkişaf edərkən istifadəçi interfeysləri proqram təminatı və şəbəkə informasiya resursları;
insanın yaradıcı ifadəsi üçün (rəqəmsal fotoqrafiya, rəqəmsal rəsm, kompüter animasiyası və s.).

Kompüter qrafikasının nümunələri Şəkildə göstərilmişdir. 3.5.

düyü. 3.5.
Kompüter qrafikası nümunələri

http://snowflakes.barkleyus.com/ - kompüter alətlərindən istifadə edərək istənilən qar dənəsini “kəsmək” olar;
http://www.pimptheface.com/create/ - dodaqlar, gözlər, qaşlar, saç düzümü və digər fraqmentlərdən ibarət böyük kitabxanadan istifadə edərək üz yarada bilərsiniz;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - otağınız üçün yeni mebel və bitirmə materialları seçməyə çalışın.

3.2.2. Rəqəmsal qrafikanın yaradılması üsulları

Kompüterdən istifadə etməklə yaradılmış və ya işlənmiş qrafik obyektlər kompüter daşıyıcılarında saxlanılır; zəruri hallarda kağız və ya digər uyğun daşıyıcılarda (plyonka, karton, parça və s.) çap oluna bilər.

Kompüter daşıyıcılarında olan qrafik obyektləri rəqəmsal qrafik obyektlər adlandıracağıq.

Rəqəmsal qrafik obyektləri əldə etməyin bir neçə yolu var.

bitmiş şəkilləri rəqəmsal kameradan, xarici yaddaş cihazlarından kopyalamaq və ya İnternetdən "yükləmək";
skanerdən istifadə edərək kağız üzərində mövcud olan qrafik təsvirlərin daxil edilməsi;
proqram təminatından istifadə edərək yeni qrafiklərin yaradılması.

Skanerin iş prinsipi kağız üzərində mövcud olan təsviri kiçik kvadratlara - piksellərə bölmək, hər pikselin rəngini müəyyən etmək və onu kompüter yaddaşında ikili kodda saxlamaqdır.

Skanlama nəticəsində əldə edilən təsvirin keyfiyyəti pikselin ölçüsündən asılıdır: piksel nə qədər kiçik olsa, orijinal təsvir bir o qədər çox pikselə bölünəcək və təsvir haqqında bir o qədər dolğun məlumat kompüterə ötürüləcək.

Piksel ölçüləri skanerin həllediciliyindən asılıdır, adətən dpi ilə ifadə olunur (düymdə nöqtə - düymdə nöqtələr 1) və bir cüt rəqəmlə müəyyən edilir (məsələn, 600 x 1200 dpi). Birinci rəqəm skaner tərəfindən 1 düym uzunluğunda şəkil xəttində çıxarıla bilən piksellərin sayıdır. İkinci rəqəm 1 düym hündürlüyündə təsvir zolağının bölünə biləcəyi xətlərin sayıdır.

1 düym İngilis ölçü sistemində uzunluq vahididir, 2,54 sm-ə bərabərdir.

Tapşırıq. 10 x 10 sm ölçülü rəngli təsvir skan edilir.Skanerin təsvir ölçüsü 1200 x 1200 dpi, rəng dərinliyi 24 bitdir. Hansı məlumat həcmi nəticədə qrafik fayl olacaq?

Həll. Skan edilmiş şəkil təxminən 4" x 4" ölçülür. Skanerin ayırdetmə qabiliyyətini nəzərə alaraq, bütün təsvir 4 4 1200 1200 pikselə bölünəcək.

Cavab: təxminən 66 MB.

Rəqəmsal Təhsil Resurslarının Vahid Kolleksiyasında (http://school-collection.edu.ru/) yerləşdirilən “Skanerlər: ümumi iş prinsipləri”, “Skannerlər: planşet skaner” animasiyalarına baxmağı tövsiyə edirik. Bu resurslar skan prosesinin necə işlədiyini daha yaxşı başa düşməyə kömək edəcək. “Rəqəmsal kamera” resursu rəqəmsal fotoşəkillərin necə çəkildiyini təsvir edəcəkdir (Şəkil 3.6).

düyü. 3.6.
Flatbed skaner və rəqəmsal kamera

3.2.3. Rastr və vektor qrafikası

Yaratma üsulundan asılı olaraq qrafik şəkil Rastr, vektor və fraktal qrafika var.

Raster qrafika

IN rastr qrafikaŞəkil rastr şəklində formalaşır - sətir və sütunları təşkil edən nöqtələr (piksellər) toplusu. Hər piksel milyonlarla rəngdən ibarət palitradan istənilən rəng ala bilər. Rəng dəqiqliyi rastr qrafikasının əsas üstünlüyüdür. Rastr təsviri kompüter yaddaşında saxlandıqda ona daxil olan hər bir pikselin rəngi haqqında məlumat saxlanılır.

Rastr təsvirinin keyfiyyəti təsvirdəki piksellərin sayı və palitradakı rənglərin sayı ilə artır. Eyni zamanda, bütün təsvirin məlumat həcmi artır. Böyük məlumat həcmi rastr təsvirlərin əsas çatışmazlıqlarından biridir.

Rastr şəkillərinin növbəti çatışmazlığı onları miqyaslandırarkən bəzi çətinliklərlə əlaqələndirilir. Beləliklə, rastr təsviri kiçildildikdə bir neçə qonşu piksel birinə çevrilir ki, bu da təsvirin kiçik detallarında aydınlığın itirilməsinə səbəb olur. Rastr təsviri böyüdüldükdə ona yeni piksellər əlavə olunur, qonşu piksellər isə eyni rəng alır və addım effekti yaranır (şək. 3.7).

düyü. 3.7.
Rastr təsviri və onun böyüdülmüş fraqmenti

Raster qrafika nadir hallarda əl ilə yaradılır. Çox vaxt onlar rəssamlar tərəfindən hazırlanmış illüstrasiyalar və ya fotoşəkilləri skan etməklə əldə edilir; Son zamanlar rastr təsvirləri kompüterə daxil etmək üçün rəqəmsal kameralardan geniş istifadə olunur.

Vektor qrafikası

Bir çox qrafik təsvirlər seqmentlərin, dairələrin, qövslərin, düzbucaqlıların və digər həndəsi fiqurların toplusu kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, Şəkildəki şəkil. 3.8 dairələr, seqmentlər və düzbucaqlıdan ibarətdir.

düyü. 3.8.
Dairələr, seqmentlər və düzbucaqlılardan ibarət şəkil

Bu rəqəmlərin hər biri riyazi olaraq təsvir edilə bilər: seqmentlər və düzbucaqlılar - təpələrinin koordinatları ilə, dairələr - mərkəzlərinin və radiuslarının koordinatları ilə. Bundan əlavə, siz xətlərin qalınlığını və rəngini, doldurma rəngini və həndəsi fiqurların digər xüsusiyyətlərini təyin edə bilərsiniz. IN vektor qrafikası təsvirlər qrafik obyektləri və onların qurulması üçün düsturları təsvir edən belə məlumat topluları (vektorlar) əsasında formalaşır. Vektor şəklini saxlayarkən onu təşkil edən ən sadə həndəsi obyektlər haqqında məlumat kompüterin yaddaşına daxil edilir.

Vektor təsvirlərinin məlumat həcmi rastr təsvirlərin məlumat həcmlərindən əhəmiyyətli dərəcədə azdır. Məsələn, rastr qrafikasından istifadə edərək çevrəni təsvir etmək üçün dairənin yazıldığı kvadrat sahəsinin bütün pikselləri haqqında məlumat lazımdır; Vektor qrafikasından istifadə edərək dairəni təsvir etmək üçün yalnız bir nöqtənin (mərkəzin) və radiusun koordinatları tələb olunur.

Vektor təsvirlərinin başqa bir üstünlüyü keyfiyyətini itirmədən onları miqyaslaşdırmaq qabiliyyətidir (şək. 3.9). Bunun səbəbi, vektor obyektinin hər çevrilməsi ilə köhnə təsvirin silinməsi və onun əvəzinə mövcud düsturlardan istifadə edərək, lakin dəyişdirilmiş məlumatları nəzərə alaraq yenisinin qurulmasıdır.

düyü. 3.9.
Vektor təsviri, onun çevrilmiş fraqmenti və bu fraqmentin "yığıldığı" ən sadə həndəsi formalar

Eyni zamanda, hər təsviri sadə həndəsi fiqurlar toplusu kimi təqdim etmək olmaz. Bu təqdimat üsulu rəsmlər, diaqramlar, iş qrafikləri və təsvirlərin kəskin və aydın konturlarının saxlanmasının xüsusi əhəmiyyət kəsb etdiyi digər hallar üçün yaxşıdır.

Fraktal qrafika, vektor qrafikası kimi, riyazi hesablamalara əsaslanır. Lakin, vektor qrafikasından fərqli olaraq, kompüter yaddaşı təsviri təşkil edən həndəsi fiqurların təsvirlərini deyil, təsvirin qurulması üçün istifadə olunan riyazi düsturun (tənliyin) özünü saxlayır. Fraktal təsvirlər müxtəlif və qəribədir (şək. 3.10).

düyü. 3.10.
Fraktal qrafika

Bu məsələ ilə bağlı daha dolğun məlumatı İnternetdə tapa bilərsiniz (məsələn, http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal saytında).

3.2.4. Qrafik fayl formatları

Qrafik fayl formatı xarici mediada qrafik məlumatların təqdim edilməsi üsuludur. Raster və var vektor formatları qrafik faylları, onların arasında, öz növbəsində, universal qrafik formatları və qrafik proqramların mülkiyyət (orijinal) formatları var.

Universal qrafik formatları rastr (vektor) qrafika ilə işləyən bütün proqramlar tərəfindən “anlanır”.

Universal rastr qrafika formatı BMP formatıdır. Bu formatda olan qrafik fayllar böyük məlumat həcminə malikdir, çünki onlar hər pikselin rəngi haqqında məlumat saxlamaq üçün 24 bit ayırırlar.

Universal GIF bitmap formatında saxlanılan çertyojlar yalnız 256 müxtəlif rəngdən istifadə edə bilər. Bu palitra sadə təsvirlər və piktoqramlar üçün uyğundur. Bu formatın qrafik faylları kiçik məlumat həcminə malikdir. Bu, istifadə olunan qrafiklər üçün xüsusilə vacibdir World Wide Web, kimin istifadəçiləri istədikləri məlumatın mümkün qədər tez ekranda görünməsini istəyirlər.

Universal rastr formatı JPEG xüsusi olaraq təsvirin səmərəli saxlanması üçün nəzərdə tutulmuşdur foto keyfiyyəti. Müasir kompüterlər 16 milyondan çox rəngin reproduksiyasını təmin edir, onların əksəriyyəti insan gözü üçün sadəcə olaraq fərqlənmir. JPEG formatı insan qavrayışı üçün "həddindən artıq" olan qonşu piksellərin müxtəlif rənglərindən imtina etməyə imkan verir. Orijinal məlumatların bir hissəsi itir, lakin bu, qrafik faylın məlumat həcminin (sıxılmasının) azaldılmasını təmin edir. İstifadəçiyə faylın sıxılma dərəcəsini təyin etmək imkanı verilir. Saxlanılan şəkil böyük formatlı vərəqdə çap edilməli olan fotoşəkildirsə, məlumatın itirilməsi arzuolunmazdır. Bu fotoşəkil veb-səhifədə yerləşdirilibsə, onda onlarla dəfə təhlükəsiz sıxışdırıla bilər: qalan məlumat görüntünü monitor ekranında təkrarlamaq üçün kifayət edəcəkdir.

Universal vektor qrafik formatlarına Microsoft şəkillərinin kolleksiyasını saxlamaq üçün istifadə edilən WMF formatı daxildir (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Universal EPS formatı həm rastr, həm də vektor qrafikası haqqında məlumatları saxlamağa imkan verir. Tez-tez 2 faylı çap proqramlarına idxal etmək üçün istifadə olunur.

2 Yaradılmadığı proqramda faylın açılması prosesi.

Siz öz formatlarınızla birbaşa işləmək prosesində tanış olacaqsınız qrafik proqramlar. təmin edirlər ən yaxşı nisbətşəkil keyfiyyəti və faylın məlumat həcmi, lakin yalnız faylı yaradan proqramın özü tərəfindən dəstəklənir (yəni tanınır və təkrarlanır).

Problem 1. Bir pikseli kodlaşdırmaq üçün 3 bayt istifadə olunur. 2048 x 1536 piksel ölçülü foto sıxılmamış fayl kimi yadda saxlanılıb. Yaranan faylın ölçüsünü təyin edin.

Həll.

Cavab: 9 MB.

Problem 2. Sıxılmamış 128 x 128 piksel bitmap təsviri 2 KB yaddaş tutur. Şəkil palitrasında rənglərin maksimum mümkün sayı nə qədərdir?

Həll.

Cavab: 2 rəng - qara və ağ.

Ən əhəmiyyətli

Kompüter qrafikası geniş anlayışdır və aşağıdakılara aiddir: 1) kompüterlərdən istifadə etməklə yaradılmış və ya işlənmiş müxtəlif tipli qrafik obyektləri; 2) kompüterlərin qrafik obyektlərin yaradılması və işlənməsi üçün alət kimi istifadə olunduğu fəaliyyət sahəsi.

Qrafik təsvirin yaradılması üsulundan asılı olaraq rastr və vektor qrafikası fərqləndirilir.

Rastr qrafikasında təsvir rastr şəklində formalaşır - sətir və sütunları təşkil edən nöqtələr (piksellər) toplusu. Rastr təsviri kompüter yaddaşında saxlandıqda ona daxil olan hər bir pikselin rəngi haqqında məlumat saxlanılır.

Vektor qrafikasında təsvirlər müəyyən bir qrafik obyekti təsvir edən məlumat dəstləri (vektorlar) və onların qurulması üçün düsturlar əsasında formalaşır. Vektor şəklini saxlayarkən onu təşkil edən ən sadə həndəsi obyektlər haqqında məlumat kompüterin yaddaşına daxil edilir.

Qrafik fayl formatı xarici mediada qrafik məlumatların təqdim edilməsi üsuludur. Qrafik faylların rastr və vektor formatları var ki, bunlar arasında öz növbəsində universal qrafik formatları və qrafik tətbiqlərin mülkiyyət formatları var.

Suallar və tapşırıqlar

Kompüter qrafikası nədir?
Kompüter qrafikasının əsas tətbiq sahələrini sadalayın.
Rəqəmsal qrafika necə istehsal oluna bilər?
10 x 15 sm ölçülü rəngli şəkil skan edilir.Skanerin təsvir ölçüsü 600 x 600 dpi, rəng dərinliyi 3 baytdır. Yaranan qrafik fayl hansı məlumat həcminə malik olacaq?
Şəklin təsvirinin rastr və vektor üsulları arasında fərq nədir?
Niyə rastr şəkillərinin rəngi çox dəqiq çatdırdığına inanılır?
Rastr təsvirinin çevrilməsinin hansı əməliyyatı onun keyfiyyətinin ən böyük itkisinə gətirib çıxarır - kiçilmə və ya böyüdülmə? Bunu necə izah edə bilərsiniz?
Niyə miqyaslama vektor şəkillərinin keyfiyyətinə təsir etmir?
Qrafik fayl formatlarının müxtəlifliyini necə izah edə bilərsiniz?
Universal qrafik formatları ilə mülkiyyət qrafik tətbiqi formatları arasında əsas fərq nədir?
3.2.4-cü bölmədəki anlayışlar üçün mümkün qədər tam qrafik qurun.
Rastr və vektor şəkillərinin ətraflı təsvirini aşağıdakıları göstərməklə verin:
1024 x 512 piksel təsvir sıxılmamış 1,5 MB fayl kimi saxlandı. Pikselin rəngini kodlaşdırmaq üçün nə qədər məlumat istifadə edilmişdir? Bu rəng dərinliyinə uyğun gələn palitrada rənglərin maksimum mümkün sayı neçə ola bilər?
Sıxılmamış 256 x 128 piksel bitmap təsviri 16 KB yaddaş tutur. Şəkil palitrasında rənglərin maksimum mümkün sayı nə qədərdir?

Qrafik fayl formatı xarici daşıyıcılarda qrafik məlumatların təqdim edilməsi üsuludur. fərqləndirmək rastr və vektor formatları qrafik faylları, onların arasında, öz növbəsində, var universal qrafik formatları Və qrafik proqramların öz (orijinal) formatları.

Universal qrafik formatları rastr (vektor) qrafika ilə işləyən bütün proqramlar tərəfindən “anlanır”.

Universal rastr qrafika formatıdır BMP formatı. Bu formatda olan qrafik fayllar böyük məlumat həcminə malikdir, çünki onlar hər pikselin rəngi haqqında məlumat saxlamaq üçün 24 bit ayırırlar.

Universal bitmapda saxlanılan çertyojlarda GIF formatı, yalnız 256 müxtəlif rəngdən istifadə edə bilərsiniz. Bu palitra sadə təsvirlər və piktoqramlar üçün uyğundur. Bu formatın qrafik faylları kiçik məlumat həcminə malikdir. Bu, xüsusilə Ümumdünya Şəbəkəsində istifadə olunan qrafiklər üçün vacibdir, burada istifadəçilər tələb etdikləri məlumatın mümkün qədər tez ekranda görünməsini istəyirlər.

Universal rastr JPEG formatı Xüsusi olaraq foto keyfiyyətli şəkillərin səmərəli saxlanması üçün nəzərdə tutulmuşdur. Müasir kompüterlər 16 milyondan çox rəng çıxara bilir ki, onların əksəriyyəti insan gözü üçün sadəcə olaraq fərqlənmir. JPEG formatı qonşu piksellərin insan qavrayışı üçün “həddindən artıq” müxtəlif rənglərdən imtina etməyə imkan verir. Orijinal məlumatların bir hissəsi itir, lakin bu, qrafik faylın məlumat həcminin (sıxılmasının) azaldılmasını təmin edir. İstifadəçiyə faylın sıxılma dərəcəsini təyin etmək imkanı verilir. Saxlanılan şəkil böyük formatlı vərəqdə çap edilməli olan fotoşəkildirsə, məlumatın itirilməsi arzuolunmazdır. Bu fotoşəkil Veb səhifəyə yerləşdirilirsə, onda onlarla dəfə təhlükəsiz sıxışdırıla bilər: qalan məlumat görüntünü monitor ekranında təkrarlamaq üçün kifayət edəcəkdir.

Universal vektor qrafik formatları daxildir WMF formatı, Microsoft şəkillərinin kolleksiyasını saxlamaq üçün istifadə olunur.

Universal EPS formatı həm rastr, həm də vektor qrafikası haqqında məlumatı saxlamağa imkan verir. Tez-tez çap istehsal proqramlarına faylları idxal etmək üçün istifadə olunur.

Siz öz formatlarınızla birbaşa qrafik proqramlarla işləmək prosesində tanış olacaqsınız. Onlar şəkil keyfiyyətinin və fayl məlumatının həcminin ən yaxşı nisbətini təmin edir, lakin yalnız faylı yaradan proqramın özü tərəfindən dəstəklənir (yəni tanınır və ifa olunur).

Tapşırıq 1.
Bir pikseli kodlaşdırmaq üçün 3 bayt istifadə olunur. 2048 x 1536 piksel ölçülü foto sıxılmamış fayl kimi yadda saxlanılıb. Yaranan faylın ölçüsünü təyin edin.

Həll:
i = 3 bayt
K= 2048 1536
mən -?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1.5 2 10 3 = 9 2 20 (bayt) = 9 (MB).

Cavab: 9MB.

Tapşırıq 2.
Sıxılmamış 128 x 128 piksel bitmap təsviri 2 KB yaddaş tutur. Şəkil palitrasında rənglərin maksimum mümkün sayı nə qədərdir?

Həll:
K = 128 128
I = 2 KB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Cavab: 2 rəng - qara və ağ.

Ən əhəmiyyətli:

Qrafik fayl formatı xarici mediada qrafik məlumatların təqdim edilməsi üsuludur. Qrafik faylların rastr və vektor formatları var ki, bunlar arasında öz növbəsində universal qrafik formatları və qrafik tətbiqlərin mülkiyyət formatları var.

Qrafik nəzəriyyəsi diskret riyaziyyatın ayrı-ayrı elementlər (təpə nöqtələri) kimi təmsil olunan obyektləri və onlar arasındakı əlaqələri (qövslər, kənarlar) öyrənən bir sahəsidir.

Qrafik nəzəriyyəsi məşhur riyaziyyatçının 1736-cı ildə Köniqsberq körpüləri məsələsinin həllindən yaranmışdır. Leonard Eyler(1707-1783: İsveçrədə anadan olub, Rusiyada yaşayıb-işləyib).

Köniqsberq körpüləri ilə bağlı problem.

Prussiyanın Köniqsberq şəhərində Preqal çayı üzərində yeddi körpü var. Hər körpüdən düz bir dəfə keçən və eyni yerdə başlayıb eyni yerdə bitən piyada marşrutu tapmaq mümkündürmü?

Eyni təpədən başlayan və bitən və qrafikin bütün kənarları boyunca bir dəfə keçən marşrutun olduğu qrafikə deyilir.Eyler qrafiki.

İstədiyiniz marşrutun keçdiyi təpələrin ardıcıllığı (bəlkə də təkrarlanır), həmçinin marşrutun özü adlanır.Eyler dövrü .

Üç ev və üç quyunun problemi.

Üç ev və üç quyu var, bir növ təyyarədə yerləşir. Hər evdən hər quyuya bir yol çəkin ki, yollar kəsişməsin. Bu problemi 1930-cu ildə Kuratovski (1896 - 1979) həll etdi (həllinin olmadığı göstərildi).

Dörd rəng problemi. Təyyarənin kəsişməyən ərazilərə bölünməsinə deyilir kartla. Xəritə sahələri ümumi sərhədə malik olduqda bitişik adlanır. Vəzifə xəritəni elə rəngləndirməkdir ki, heç bir iki qonşu sahə eyni rənglə boyanmasın. 19-cu əsrin sonlarından bəri bunun üçün dörd rəngin kifayət etdiyi bir fərziyyə məlumdur. Bu fərziyyə hələ sübut olunmayıb.

Nəşr edilmiş həllin mahiyyəti dördrəngli teoremə böyük, lakin sonlu sayda (təxminən 2000) potensial əks nümunələri sınamaq və tək halın əks nümunə olmadığını göstərməkdir. Bu axtarış proqram tərəfindən təxminən min saatlıq superkompüter əməliyyatında tamamlandı.

Nəticə həllini "əl ilə" yoxlamaq mümkün deyil - sadalamanın əhatə dairəsi insan imkanlarının hüdudlarından kənardadır. Bir çox riyaziyyatçılar sual verirlər: belə bir “proqram sübutu” etibarlı sübut hesab edilə bilərmi? Axı proqramda səhvlər ola bilər...

Beləliklə, biz yalnız müəlliflərin proqramlaşdırma bacarıqlarına arxalana bilərik və onların hər şeyi düzgün etdiklərinə inanırıq.

Tərif 7.1. saymaq G= G(V, E) iki sonlu çoxluğun toplusudur: V – çağırılır çoxlu təpələr və V-dən elementlərin cütlərinin E çoxluğu, yəni. EÍV´V, çağırdı çoxlu kənarlar, cütlər sıralanmamışsa və ya çoxlu qövslər, cütlər sifariş olunarsa.

Birinci halda, qrafik G(V, E) çağırdı istiqamətsiz, ikincidə - yönümlü.

NÜMUNƏ. Təpələri V = (a,b,c) və kənarlar dəsti E =((a, b), (b, c)) olan qrafik

NÜMUNƏ. V = (a,b,c,d,e) və E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) olan bir qrafik, (c, d)),

e=(v 1 ,v 2), еОЕ olarsa, onda kənarın e olduğunu deyirlər bağlayır v 1 və v 2 təpələri.

v 1,v 2 olan iki təpə deyilir bitişik, onları birləşdirən kənar varsa. Bu vəziyyətdə təpələrin hər biri çağırılır Hadisə müvafiq kənar .

İki fərqli qabırğa bitişik, əgər onların ümumi təpəsi varsa. Bu vəziyyətdə, kənarların hər biri çağırılır təsadüfi müvafiq təpə .

Qrafik təpələrinin sayı G işarə edək v, və kənarların sayı e:

Qrafiklərin həndəsi təsviri aşağıdakı kimidir:

1) qrafikin təpəsi fəzada (müstəvidə) bir nöqtədir;

2) istiqamətləndirilməmiş qrafikin kənarı – seqment;

3) istiqamətlənmiş qrafikin qövsü – istiqamətlənmiş seqment.

Tərif 7.2.Əgər kənarında e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 olarsa, o zaman e kənarı adlanır. döngə. Qrafik döngələrə icazə verirsə, o zaman çağırılır döngələrlə qrafik və ya psevdoqraf .

Qrafik iki təpə arasında birdən çox kənara icazə verirsə, o zaman çağırılır multiqraf .

Qrafikin və/və ya kənarın hər bir təpəsi etiketlənirsə, belə bir qrafik adlanır qeyd (və ya yüklənmişdir ). Hərflər və ya tam ədədlər adətən işarə kimi istifadə olunur.

Tərif 7.3. Qrafik G (V , E ) çağırdı subqraf (və ya hissəsi ) qrafik G(V,E), Əgər V V, E E. Əgər V = V, Bu G çağırdı əhatə edən subqraf G.

Misal 7 . 1 . İstiqamətsiz qrafik verilmişdir.

Tərif 7.4. Qrafik adlanır tam , Əgər hər hansı onun iki təpəsi bir kənar ilə bağlanır. ilə qrafiki tamamlayın n təpələri ilə işarələnir K n .

Hesab edir K 2 , TO 3, TO 4 və K 5 .

Tərif 7.5. Qrafik G=G(V, E) adlanır ikiotlu , Əgər V ayrı-ayrı çoxluqların birliyi kimi təmsil oluna bilər, deyək V=AB, buna görə də hər kənarın forması var ( v i , v j), Harada v i A Və v j B.

Hər bir kənar bir təpəni A-dan B-dən təpəyə birləşdirir, lakin A-dan iki təpə və ya B-dən iki təpə birləşdirilmir.

İkitərəfli qrafik adlanır tam ikiotilli saymaq K m , n, Əgər A ehtiva edir m zirvələr, B ehtiva edir n təpələr və hər biri üçün v i A, v j B bizdə ( v i , v j)E.

Beləliklə, hər kəs üçün v i A, Və v j B onları birləşdirən kənar var.

K 12 K 23 K 22 K 33

Misal 7 . 2 . Tam ikitərəfli qrafik qurun K 2.4 və tam qrafik K 4 .

Vahid qrafikin- ölçülü kubIN n .

Qrafikin təpələri n ölçülü ikili çoxluqlardır. Kenarlar bir koordinatda fərqlənən təpələri birləşdirir.

Misal:

Problem 1-ə bənzər bir neçə problem təhlil edildikdən sonra qrafik anlayışını təqdim etmək məqsədəuyğundur, burada həlledici fikir qrafik təsvirdir. Şagirdlərin eyni qrafikin çəkilə biləcəyini dərhal dərk etmələri vacibdir fərqli yollar. Məncə, qrafikin ciddi tərifini verməyə ehtiyac yoxdur, çünki çox çətin və yalnız müzakirəni çətinləşdirəcək. Əvvəlcə intuitiv bir konsepsiya kifayət edəcəkdir. İzomorfizm anlayışını müzakirə edərkən izomorf və qeyri-izomorf qrafikləri müəyyən etmək üçün bir neçə məşq həll edə bilərsiniz. Mövzunun mərkəzi nöqtələrindən biri tək təpələrin sayının pariteti haqqında teoremdir. Şagirdlərin onun sübutunu tam başa düşmələri və problemin həllində necə tətbiq etməyi öyrənmələri vacibdir. Bir neçə məsələni təhlil edərkən teoremə istinad etməyi yox, əslində onun sübutunu təkrar etməyi məsləhət görürəm. Qrafik əlaqə anlayışı da son dərəcə vacibdir. Burada əhəmiyyətli bir fikir əlaqə komponentinin nəzərdən keçirilməsidir; buna xüsusi diqqət yetirilməlidir. Eyler qrafikləri demək olar ki, bir oyun mövzusudur.

Qrafikləri öyrənərkən qarşıya qoyulmalı olan birinci və əsas məqsəd məktəblilərə problemin ifadəsində qrafiki görməyi və şərti qrafik nəzəriyyəsi dilinə düzgün tərcümə etməyi öyrətməkdir. Hər ikisini bir neçə sinifdə hamıya deməməlisiniz. Dərsləri 2-3 tədris ilinə yaymaq daha yaxşıdır. (6-cı sinifdə “Qrafik anlayışı. Qrafiklərin məsələnin həllinə tətbiqi” dərsinin işlənməsi əlavə olunur).

2. “Qrafiklər” mövzusu üçün nəzəri material.

Giriş

Qrafiklər gözəl riyazi obyektlərdir, onların köməyi ilə bir çox fərqli, zahiri bir-birinə bənzəməyən problemləri həll edə bilərsiniz. Riyaziyyatda bütöv bir bölmə var - qrafik nəzəriyyəsi, qrafikləri, onların xassələrini və tətbiqlərini öyrənir. Biz yalnız ən əsas anlayışları, qrafiklərin xassələrini və problemləri həll etməyin bəzi yollarını müzakirə edəcəyik.

Qrafik anlayışı

Gəlin iki problemi nəzərdən keçirək.

Tapşırıq 1. Günəş sisteminin doqquz planeti arasında kosmik əlaqə qurulub. Müntəzəm raketlər aşağıdakı marşrutlar üzrə uçur: Yer - Merkuri; Pluton - Venera; Yer - Pluton; Pluton - Merkuri; Merkuri - Vyana; Uran - Neptun; Neptun - Saturn; Saturn - Yupiter; Yupiter - Mars və Mars - Uran. Yerdən Marsa müntəzəm raketlərlə uçmaq mümkündürmü?

Həll: Vəziyyətin diaqramını çəkək: planetləri nöqtə kimi, raket marşrutlarını isə xətlər kimi təsvir edəcəyik.

İndi dərhal aydın olur ki, Yerdən Marsa uçmaq mümkün deyil.

Tapşırıq 2. Lövhə 4x4 kvadratdan künc kvadratlarını çıxarmaqla əldə edilən ikiqat xaç şəklinə malikdir.

Şahmat cəngavərini hərəkət etdirərək onu keçmək və bütün meydanları bir dəfə ziyarət edərək orijinal meydana qayıtmaq mümkündürmü?

Həll: Lövhənin kvadratlarını ardıcıl olaraq nömrələyək:

İndi rəqəmdən istifadə edərək, şərtdə göstərildiyi kimi cədvəlin belə bir keçidinin mümkün olduğunu göstərəcəyik:

İki fərqli problemi nəzərdən keçirdik. Lakin bu iki problemin həlli yollarını ümumi ideya - həllin qrafik təsviri birləşdirir. Eyni zamanda, hər bir tapşırıq üçün çəkilmiş şəkillərin oxşar olduğu ortaya çıxdı: hər bir şəkil bir neçə nöqtədən ibarətdir, bəziləri xətlərlə bağlıdır.

Belə şəkillər deyilir qrafiklər. Nöqtələr deyilir zirvələri, və xətlər - qabırğalar qrafik. Qeyd edək ki, bu tipli hər şəkil qrafik adlandırılmayacaq. Misal üçün. dəftərinizdə beşbucaq çəkmək istənilirsə, belə bir rəsm qrafik olmayacaq. Əvvəlki məsələlərdə olduğu kimi, bu cür rəsmin qurulması üçün müəyyən bir tapşırıq varsa, qrafik adlandıracağıq.

Başqa bir qeyd qrafikin görünüşünə aiddir. Eyni məsələ üçün qrafikin müxtəlif üsullarla çəkilə biləcəyini yoxlamağa çalışın; və əksinə, müxtəlif tapşırıqlar üçün eyni görünüşün qrafiklərini çəkə bilərsiniz. Burada vacib olan, hansı təpələrin bir-birinə bağlı olub, hansının bağlanmamasıdır. Məsələn, 1-ci tapşırıq üçün qrafik fərqli şəkildə çəkilə bilər:

Belə eyni, lakin fərqli çəkilmiş qrafiklər deyilir izomorf.

Təpələrin dərəcələri və qrafikin kənarlarının sayının hesablanması

Gəlin daha bir tərif yazaq: Qrafikdə təpənin dərəcəsi ondan çıxan kənarların sayıdır. Bununla əlaqədar olaraq, dərəcələri cüt olan təpə cüt təpə, müvafiq olaraq tək dərəcə olan təpə isə tək təpə adlanır.

Qrafik nəzəriyyəsinin əsas teoremlərindən biri təpə dərəcəsi anlayışı ilə - tək təpələrin sayının ədalətliliyi haqqında teoremlə bağlıdır. Bir az sonra bunu sübut edəcəyik, amma ilk olaraq, nümunə üçün problemi nəzərdən keçirəcəyik.

Tapşırıq 3. Malenki şəhərində 15 telefon var. Onları naqillərlə birləşdirmək mümkündürmü ki, hər bir telefon başqa beş telefona qoşulsun?

Həll: Tutaq ki, telefonlar arasında belə bir əlaqə mümkündür. Sonra təpələrin telefonları, kənarlarının isə onları birləşdirən telləri təmsil etdiyi bir qrafik təsəvvür edin. Ümumilikdə neçə tel olduğunu hesablayaq. Hər telefonda tam olaraq 5 tel bağlıdır, yəni. qrafikimizin hər bir təpəsinin dərəcəsidir 5. Tellərin sayını tapmaq üçün qrafikin bütün təpələrinin dərəcələrini toplamaq və nəticəni 2-yə bölmək lazımdır (çünki hər telin iki ucu var, sonra dərəcələri cəmləyərkən hər bir tel 2 dəfə alınacaq) . Ancaq sonra tellərin sayı fərqli olacaq. Ancaq bu rəqəm tam deyil. Bu o deməkdir ki, hər bir telefonun başqa beş telefona qoşula biləcəyi ilə bağlı fərziyyəmiz yanlış çıxdı.

Cavab verin. Telefonları bu şəkildə birləşdirmək mümkün deyil.

Teorem: İstənilən qrafik cüt sayda tək təpələri ehtiva edir.

Sübut: Qrafikin kənarlarının sayı onun təpələrinin dərəcələrinin cəminin yarısına bərabərdir. Kənarların sayı tam ədəd olmalı olduğundan təpələrin dərəcələrinin cəmi cüt olmalıdır. Və bu, yalnız qrafikdə cüt sayda tək təpələr olduqda mümkündür.

Qrafik əlaqə

Qrafiklərlə əlaqəli başqa bir vacib anlayış var - əlaqə anlayışı.

Qrafik adlanır ardıcıl, onun hər hansı iki təpəsini birləşdirmək olarsa tərəfindən, olanlar. kənarların davamlı ardıcıllığı. Bir sıra problemlər var ki, onların həlli qrafik əlaqə anlayışına əsaslanır.

Tapşırıq 4. Yeddi ölkəsində 15 şəhər var, hər bir şəhər ən azı yeddi digərinə yollarla bağlıdır. Sübut edin ki, hər şəhərdən başqa şəhərə getmək dəbdədir.

Sübut: İki ixtiyari A və B şəhərini nəzərdən keçirək və onların arasında heç bir yol olmadığını düşünək. Onların hər biri ən azı yeddi digərinə yollarla bağlıdır və sözügedən hər iki şəhərə bağlı heç bir şəhər yoxdur (əks halda A-dan B-yə yol olardı). Qrafikin bu şəhərlərə uyğun olan hissəsini çəkək:

İndi aydın görünür ki, problemin şərtlərinə zidd olan ən azı 16 müxtəlif şəhəri qəbul etmişik. Bu o deməkdir ki, ifadə ziddiyyətlə sübut olunub.

Əvvəlki tərifi nəzərə alsaq, problemin ifadəsini başqa cür də formalaşdırmaq olar: “Yeddi ölkənin yol qrafikinin bağlı olduğunu sübut edin”.

İndi birləşdirilmiş qrafikin nəyə bənzədiyini bilirsiniz. Ayrılmış qrafik bir neçə "parça" formasına malikdir, hər biri ya kənarları olmayan ayrı bir təpədir, ya da birləşdirilmiş qrafikdir. Şəkildə kəsilmiş qrafikin nümunəsini görə bilərsiniz:

Hər bir belə fərdi parça adlanır qrafikin əlaqəli komponenti. Hər bir əlaqəli komponent əlaqəli bir qrafiki təmsil edir və əlaqəli qrafiklər üçün sübut etdiyimiz bütün ifadələr ona aiddir. Qoşulmuş komponentdən istifadə edən problemin nümunəsinə baxaq:

Problem 5. Uzaq Uzaq Krallığında yalnız bir nəqliyyat növü var - uçan xalça. Paytaxtdan 21 xalça xətti var, biri Dalnıy şəhərindən, 20 isə bütün digər şəhərlərdən.Sübut edin ki, paytaxtdan Dalnıy şəhərinə uça bilərsiniz.

Sübut: Aydındır ki, Padşahlıq xalçasının qrafikini çəksəniz, o, uyğunsuz ola bilər. Krallığın paytaxtını özündə birləşdirən əlaqə komponentinə nəzər salaq. Paytaxtdan 21 xalça, Dalnıy şəhərindən başqa hər hansı digər şəhərdən 20 xalça çıxır, ona görə də tək təpələrin cüt sayı haqqında qanunun yerinə yetirilməsi üçün Dalnıy şəhərinin də daxil edilməsi zəruridir. əlaqənin eyni komponentində. Bağlı komponent əlaqəli qrafik olduğundan, paytaxtdan xalçalar boyunca Dalnıy şəhərinə gedən yol var ki, bunu sübut etmək lazım idi.

Eyler qrafikləri

Yəqin ki, siz qələminizi kağızdan götürmədən və hər xətti yalnız bir dəfə çəkmədən forma çəkmək lazım olan tapşırıqlarla qarşılaşmısınız. Belə çıxır ki, belə bir problem həmişə həll edilə bilməz, yəni. Elə fiqurlar var ki, onları bu üsulla çəkmək mümkün deyil. Belə məsələlərin həlli məsələsi də qrafik nəzəriyyəsinə daxildir. İlk dəfə 1736-cı ildə böyük alman riyaziyyatçısı Leonhard Euler tərəfindən Köniqsberq körpüləri problemini həll edərək tədqiq edilmişdir. Buna görə də bu şəkildə çəkilə bilən qrafiklərə Eyler qrafikləri deyilir.

Tapşırıq 6. Şəkildə göstərilən qrafiki qələmi kağızdan qaldırmadan və hər kənarını düz bir dəfə çəkmədən çəkmək olarmı?

Həll.Şərtdə göstərildiyi kimi qrafiki çəksək, ilkin və sondan başqa hər bir təpəyə, ondan çıxdığımız qədər daxil olacağıq. Yəni qrafikin ikidən başqa bütün təpələri cüt olmalıdır. Qrafikimizin üç tək təpəsi var, ona görə də onu şərtdə göstərilən şəkildə çəkmək olmaz.

İndi Eyler qrafikləri haqqında teoremi sübut etdik:

Teorem: Eyler qrafikinin ən çox iki tək təpəsi olmalıdır.

Və nəticədə - Königsberg körpüləri problemi.

Tapşırıq 7. Şəkildə Köniqsberq şəhərindəki körpülərin diaqramı göstərilir.

Hər körpünü düz bir dəfə keçmək üçün gəzinti etmək olarmı?

3. “Qrafiklər” mövzusu üzrə problemlər

Qrafik anlayışı.

1. 3x3 kvadrat ölçüdə olan lövhədə Şəkil 1-də göstərildiyi kimi 4 cəngavər yerləşdirilir. Cəngavərlərlə bir neçə hərəkət etdikdən sonra onları Şəkil 2-də göstərilən vəziyyətə gətirmək mümkündürmü?

düyü. 1

düyü. 2

Həll. Lövhənin kvadratlarını şəkildə göstərildiyi kimi nömrələyək:

Hər hücrəyə təyyarədə bir nöqtə təyin edək və əgər şahmat cəngavərini bir xanadan köçürməklə bir hücrəyə çatmaq olarsa, onda müvafiq nöqtələri xəttlə birləşdirəcəyik. Cəngavərlərin ilkin və tələb olunan yerləşdirilməsi rəqəmlərdə göstərilmişdir:

Cəngavər hərəkətlərinin hər hansı ardıcıllığı üçün onların sırası açıq şəkildə dəyişə bilməz. Buna görə də atları lazımi qaydada yenidən düzmək mümkün deyil.

2. Digit ölkəsində 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adları olan 9 şəhər var. Səyahətçi kəşf etdi ki, iki şəhər yalnız və yalnız ikirəqəmli olduqda hava yolu ilə bağlanır. şəhər adlarından əmələ gələn sayı 3-ə bölünür. 1-ci şəhərdən 9-cu şəhərə hava ilə uçmaq olarmı?

Həll. Hər bir şəhərə bir nöqtə təyin edərək və nöqtələri xəttlə birləşdirərək, əgər rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünürsə, 3, 5, 9 rəqəmlərinin bir-birinə bağlı olduğu, lakin bir-birinə bağlı olmayan bir qrafik alırıq. istirahət. Bu o deməkdir ki, siz 1-ci şəhərdən 9-cu şəhərə uça bilməzsiniz.

Təpələrin dərəcələri və kənarların sayının hesablanması.

3. Bir ştatda 100 şəhər var və hər şəhərin 4 yolu var. Ölkədə neçə yol var?

Həll.Şəhərdən çıxan yolların ümumi sayını hesablayaq - 100 . 4 = 400. Bununla belə, bu hesablama ilə hər bir yol 2 dəfə sayılır - bir şəhəri tərk edir və digərinə daxil olur. Bu o deməkdir ki, cəmi iki dəfə az yol var, yəni. 200.

4. Sinifdə 30 nəfər var. 9 nəfərin 3 dostu, 11 nəfərin 4 dostu, 10 nəfərin isə 5 dostu ola bilərmi?

Cavab verin. Xeyr (tək təpələrin sayının pariteti haqqında teorem).

5. Kralın 19 vassalı var. Ola bilərmi ki, hər bir vassalın 1, 5 və ya 9 qonşusu var?

Cavab verin. Yox, bacarmaz.

6. Hər şəhərdən tam olaraq 3 yolun çıxışı olan bir dövlətin düz 100 yolu ola bilərmi?

Həll. Gəlin şəhərlərin sayını hesablayaq. Yolların sayı şəhərlərin sayına bərabərdir x 3-ə (hər şəhərdən çıxan yolların sayı) və 2-yə bölünür (3-cü məsələyə bax). Onda 100 = 3x/2 => 3x = 200, təbii x ilə baş verə bilməz. Bu o deməkdir ki, belə bir vəziyyətdə 100 yol ola bilməz.

7. Yer üzündə indiyə qədər yaşamış və tək sayda əl sıxışan insanların sayının cüt olduğunu sübut edin.

Sübut birbaşa qrafikdəki tək təpələrin sayının pariteti haqqında teoremdən irəli gəlir.

Bağlantı.

8. Ölkədə hər şəhərdən 100 yol çıxır və hər bir şəhərdən digərinə gedə bilərsiniz. Bir yol təmirə bağlanıb. Sübut edin ki, indi istənilən şəhərdən başqa şəhərə gedə bilərsiniz.

Sübut. Aralarındakı yolun bağlandığı şəhərlərdən birini ehtiva edən əlaqə komponentini nəzərdən keçirək. Tək təpələrin sayının pariteti haqqında teoremlə ona ikinci şəhər də daxildir. Bu o deməkdir ki, siz hələ də marşrut tapıb bu şəhərlərin birindən digərinə gedə bilərsiniz.

Eyler qrafikləri.

9. Körpülərlə birləşən bir qrup ada var ki, hər bir adadan digərinə gedə biləsiniz. Turist bütün adaları gəzdi, hər körpüdən bir dəfə keçdi. Üç dəfə üçqat adada oldu. Turist olsa Troyekratnoyedən nə qədər körpü keçir

a) onunla başlamadı və bununla bitmədi?
b) onunla başladım, amma bitirmədin?
c) onunla başladı və onunla bitdi?

10. Şəkildə hasarlarla bir neçə hissəyə bölünmüş park göstərilir. Hər hasarın üstündən bir dəfə dırmaşmaq üçün parkı və onun ətrafını gəzmək olarmı?

Null qrafik və tam qrafik.

Qrafik nəzəriyyəsinin bir çox tətbiqində görünən bəzi xüsusi qrafiklər var. Hələlik biz yenidən qrafiki idman yarışlarının gedişatını göstərən əyani diaqram kimi nəzərdən keçirəcəyik. Mövsüm başlamazdan əvvəl, hələ heç bir oyun keçirilməsə də, qrafikdə kənarlar yoxdur. Belə bir qrafik yalnız təcrid olunmuş təpələrdən ibarətdir, yəni. heç bir kənarları olmayan təpələrin. Bu tip qrafiki çağıracağıq null qrafiki. Şəkildə. 3 əmrlərin və ya təpələrin sayının 1, 2, 3, 4 və 5 olduğu hallar üçün belə qrafikləri göstərir. Bu sıfır qrafiklər adətən O1, O2, O3 və s. simvollarla işarələnir, ona görə də On null adır. n təpəsi olan və kənarları olmayan qrafik.

Başqa bir ekstremal halı nəzərdən keçirək. Fərz edək ki, mövsümün sonunda hər komanda digər komandaların hər birinə qarşı bir oyun keçirir. Sonra müvafiq qrafikdə hər bir təpə cütü bir kənar ilə birləşdiriləcəkdir. Belə bir qrafik deyilir tam qrafik. Şəkil 4 təpələrinin sayı n = 1, 2, 3, 4, 5 olan tam qrafikləri göstərir. Biz bu tam qrafikləri müvafiq olaraq U1, U2, U3, U4 və U5 ilə işarə edirik, belə ki, Un qrafiki 11 təpədən ibarətdir və kənarları, bu təpələrin bütün mümkün cütlərini birləşdirən. Bu qrafiki bütün diaqonalların çəkildiyi n-bucaqlı kimi düşünmək olar.

Bəzi qrafiklərə, məsələn, Şəkildə göstərilən G qrafikinə sahib olmaq. 1-də, çatışmayan kənarları (yəni hələ oynanılmamış oyunlara uyğun olan kənarları) əlavə etməklə həmişə eyni təpələri olan tam qrafikə çevirə bilərik. Şəkildə. 5 Şəkildəki qrafik üçün bunu etdik. 1 (hələ baş tutmamış oyunlar nöqtəli xətlərlə göstərilir). Siz həmçinin hələ oynanılmamış gələcək oyunlara uyğun qrafik çəkə bilərsiniz. G qrafiki üçün bu, Şəkildə göstərilən qrafiklə nəticələnəcəkdir. 6.

Bu yeni qrafiki G qrafikinin tamamlayıcısı adlandırırıq; Onu G1 ilə işarələmək adətdir. G1 qrafikinin tamamlayıcısını götürərək yenidən G qrafikini alırıq. G1 və G qrafiklərinin hər ikisinin kənarları birlikdə tam qrafik təşkil edir.

Kateqoriyada məşhur: