Domov › Problémy › Zostavte čo najúplnejší graf. Konštrukcia grafov na základe ich charakteristík. Grafické úlohy na posilnenie základných pojmov

Zostavte čo najúplnejší graf. Konštrukcia grafov na základe ich charakteristík. Grafické úlohy na posilnenie základných pojmov

Kľúčové slová:

grafický objekt
počítačová grafika
rastrová grafika
Vektorová grafika
formáty grafických súborov

Kresby, maľby, kresby, fotografie a iné grafické obrázky sa budú nazývať grafické objekty.

3.2.1. Oblasti použitia počítačovej grafiky

Počítačová grafika sa stala našou súčasťou každodenný život. Platí:

na vizuálnu prezentáciu výsledkov meraní a pozorovaní (napríklad údaje o klimatických zmenách za dlhé obdobie, o dynamike populácií zvierat, o ekologickom stave rôznych regiónov a pod.), výsledky sociologických prieskumov, plánované ukazovatele, štatistické údaje, výsledky ultrazvukových štúdií v medicíne atď.;
pri vývoji interiérových a krajinných dizajnov, navrhovaní nových budov, technické zariadenia a iné produkty;
v simulátoroch a počítačových hrách na simuláciu rôznych druhov situácií, ktoré vznikajú napríklad počas letu lietadla alebo kozmickej lode, pohybu auta atď.;
pri vytváraní všetkých druhov špeciálnych efektov vo filmovom priemysle;
pri vývoji moderných používateľské rozhrania softvér a sieťové informačné zdroje;
pre ľudské kreatívne vyjadrenie (digitálna fotografia, digitálna maľba, počítačová animácia atď.).

Príklady počítačovej grafiky sú na obr. 3.5.

Ryža. 3.5.
Príklady počítačovej grafiky

http://snowflakes.barkleyus.com/ - pomocou počítačových nástrojov môžete „vystrihnúť“ akúkoľvek snehovú vločku;
http://www.pimptheface.com/create/ - môžete vytvoriť tvár pomocou veľkej knižnice pier, očí, obočia, účesov a iných fragmentov;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - skúste si vybrať nový nábytok a dokončovacie materiály pre vašu izbu.

3.2.2. Metódy tvorby digitálnej grafiky

Grafické objekty vytvorené alebo spracované pomocou počítača sú uložené na počítačových médiách; v prípade potreby je možné ich vytlačiť na papier alebo iné vhodné médiá (fólia, kartón, látka atď.).

Grafické objekty na počítačových médiách budeme nazývať digitálnymi grafickými objektmi.

Existuje niekoľko spôsobov, ako získať digitálne grafické objekty.

kopírovanie hotových obrázkov z digitálneho fotoaparátu, z externých pamäťových zariadení alebo ich „sťahovanie“ z internetu;
vkladanie grafických obrazov na papieri pomocou skenera;
vytváranie novej grafiky pomocou softvéru.

Princípom činnosti skenera je rozložiť obrázok dostupný na papieri na malé štvorčeky - pixely, určiť farbu každého pixelu a uložiť ho v binárnom kóde do pamäte počítača.

Kvalita obrazu získaného skenovaním závisí od veľkosti pixelu: čím menší je pixel, tým viac pixelov bude pôvodný obrázok rozdelený a tým úplnejšie informácie o obrázku sa prenesú do počítača.

Veľkosti pixelov závisia od rozlíšenia skenera, ktoré sa zvyčajne vyjadruje v dpi (bod na palec – počet bodov na palec 1) a udáva sa dvojicou čísel (napríklad 600 x 1200 dpi). Prvé číslo je počet pixelov, ktoré môže skener extrahovať v 1 palec dlhom obrazovom riadku. Druhé číslo je počet riadkov, na ktoré možno rozdeliť 1 palec vysoký pás obrazu.

1 palec je jednotka dĺžky v anglickom systéme mier, ktorá sa rovná 2,54 cm.

Úloha. Naskenuje sa farebný obrázok s rozmermi 10 x 10 cm.Rozlíšenie skenera je 1200 x 1200 dpi, farebná hĺbka je 24 bitov. Ktoré objem informácií bude mať výsledný grafický súbor?

Riešenie. Naskenovaný obrázok meria približne 4" x 4". S prihliadnutím na rozlíšenie skenera bude celý obrázok rozdelený na 4 4 1200 1200 pixelov.

Odpoveď: približne 66 MB.

Odporúčame vám pozrieť si animácie „Skenery: všeobecné princípy fungovania“, „Skenery: plochý skener“ uverejnené v Zjednotenej zbierke digitálnych vzdelávacích zdrojov (http://school-collection.edu.ru/). Tieto zdroje vám pomôžu lepšie pochopiť, ako proces skenovania funguje. Zdroj „Digitálny fotoaparát“ bude ilustrovať spôsob snímania digitálnych fotografií (obr. 3.6).

Ryža. 3.6.
Plochý skener a digitálny fotoaparát

3.2.3. Rastrová a vektorová grafika

V závislosti od spôsobu tvorby grafický obrázok Existuje rastrová, vektorová a fraktálna grafika.

Rastrová grafika

IN rastrová grafika Obraz je tvorený vo forme rastra - súboru bodov (pixelov) tvoriacich riadky a stĺpce. Každý pixel môže prijať akúkoľvek farbu z palety obsahujúcej milióny farieb. Farebná presnosť je hlavnou výhodou rastrovej grafiky. Keď sa rastrový obrázok uloží do pamäte počítača, uložia sa informácie o farbe každého pixelu, ktorý je v ňom obsiahnutý.

Kvalita rastrového obrázku sa zvyšuje s počtom pixelov v obrázku a počtom farieb v palete. Zároveň sa zvyšuje informačný objem celého obrazu. Veľký objem informácií je jednou z hlavných nevýhod rastrových obrázkov.

Ďalšia nevýhoda rastrových obrázkov je spojená s určitými ťažkosťami pri ich škálovaní. Pri zmenšení rastrového obrázku sa teda niekoľko susedných pixelov premení na jeden, čo vedie k strate jasnosti v malých detailoch obrázku. Keď sa rastrový obrázok zväčší, pridajú sa k nemu nové pixely, pričom susedné pixely nadobudnú rovnakú farbu a dôjde ku skokovému efektu (obr. 3.7).

Ryža. 3.7.
Rastrový obrázok a jeho zväčšený fragment

Rastrová grafika sa zriedka vytvára ručne. Najčastejšie sa získavajú skenovaním ilustrácií alebo fotografií pripravených umelcami; V poslednej dobe sa digitálne fotoaparáty široko používajú na vkladanie rastrových obrázkov do počítača.

Vektorová grafika

Mnohé grafické obrázky môžu byť prezentované ako kolekcia segmentov, kruhov, oblúkov, obdĺžnikov a iných geometrických tvarov. Napríklad obrázok na obr. 3.8 pozostáva z kruhov, segmentov a obdĺžnika.

Ryža. 3.8.
Obraz vytvorený z kruhov, segmentov a obdĺžnika

Každý z týchto útvarov možno opísať matematicky: segmenty a obdĺžniky - súradnicami ich vrcholov, kružnice - súradnicami ich stredov a polomerov. Okrem toho si môžete nastaviť hrúbku a farbu čiar, farbu výplne a ďalšie vlastnosti geometrických tvarov. IN vektorová grafika obrázky sú tvorené na základe takýchto dátových súborov (vektorov) popisujúcich grafické objekty a vzorce na ich konštrukciu. Pri ukladaní vektorového obrázka sa do pamäte počítača vkladajú informácie o najjednoduchších geometrických objektoch, ktoré ho tvoria.

Informačné objemy vektorových obrázkov sú podstatne menšie ako informačné objemy rastrových obrázkov. Napríklad na zobrazenie kruhu pomocou rastrovej grafiky potrebujete informácie o všetkých pixeloch štvorcovej oblasti, do ktorej je kruh vpísaný; Na zobrazenie kruhu pomocou vektorovej grafiky sú potrebné iba súradnice jedného bodu (stred) a polomer.

Ďalšou výhodou vektorových obrázkov je možnosť ich škálovania bez straty kvality (obr. 3.9). Je to spôsobené tým, že pri každej transformácii vektorového objektu sa starý obrázok vymaže a namiesto neho sa vytvorí nový pomocou existujúcich vzorcov, ale s prihliadnutím na zmenené údaje.

Ryža. 3.9.
Vektorový obrázok, jeho prevedený fragment a najjednoduchšie geometrické tvary, z ktorých je tento fragment „zložený“

Zároveň nie každý obrázok môže byť reprezentovaný ako zbierka jednoduchých geometrických tvarov. Tento spôsob prezentácie je vhodný pre kresby, diagramy, obchodnú grafiku a iné prípady, kde je obzvlášť dôležité zachovať ostré a jasné obrysy obrázkov.

Fraktálna grafika, podobne ako vektorová, je založená na matematických výpočtoch. Ale na rozdiel od vektorovej grafiky, pamäť počítača neukladá popisy geometrických tvarov, ktoré tvoria obrázok, ale samotný matematický vzorec (rovnicu), ktorý sa používa na zostavenie obrázka. Fraktálne obrázky sú rôznorodé a bizarné (obr. 3.10).

Ryža. 3.10.
Fraktálna grafika

Kompletnejšie informácie o tejto problematike nájdete na internete (napríklad na http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. Formáty grafických súborov

Formát grafického súboru je spôsob reprezentácie grafických údajov na externom médiu. Existujú rastrové a vektorových formátov grafické súbory, medzi ktorými sú zasa univerzálne grafické formáty a proprietárne (originálne) formáty grafických aplikácií.

Univerzálnym grafickým formátom „rozumejú“ všetky aplikácie, ktoré pracujú s rastrovou (vektorovou) grafikou.

Univerzálnym formátom rastrovej grafiky je formát BMP. Grafické súbory v tomto formáte majú veľký informačný objem, pretože na uloženie informácií o farbe každého pixelu prideľujú 24 bitov.

Kresby uložené v univerzálnom bitmapovom formáte GIF môžu používať iba 256 rôznych farieb. Táto paleta je vhodná pre jednoduché ilustrácie a piktogramy. Grafické súbory tohto formátu majú malý informačný objem. To je dôležité najmä pre grafiku používanú v World Wide Web, ktorej používatelia chcú, aby sa požadované informácie zobrazili na obrazovke čo najrýchlejšie.

Univerzálny rastrový formát JPEG je navrhnutý špeciálne pre efektívne ukladanie obrázkov fotografická kvalita. Moderné počítače poskytujú reprodukciu viac ako 16 miliónov farieb, z ktorých väčšina je ľudským okom jednoducho nerozoznateľná. formát JPEG umožňuje vyradiť rôzne farby susedných pixelov, ktoré sú „nadmerné“ pre ľudské vnímanie. Časť pôvodných informácií sa stratí, ale tým sa zabezpečí zmenšenie objemu informácií (kompresia) grafického súboru. Používateľ má možnosť určiť stupeň kompresie súboru. Ak je ukladaným obrázkom fotografia, ktorá sa má vytlačiť na veľkoformátový hárok, potom je strata informácií nežiaduca. Ak je táto fotografia zverejnená na webovej stránke, môže byť bezpečne skomprimovaná desaťkrát: zvyšné informácie budú stačiť na reprodukciu obrázka na obrazovke monitora.

Univerzálne formáty vektorovej grafiky zahŕňajú formát WMF, ktorý sa používa na uloženie zbierky obrázkov spoločnosti Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Univerzálny formát EPS umožňuje ukladať informácie o rastrovej aj vektorovej grafike. Často sa používa na import 2 súborov do tlačových programov.

2 Proces otvárania súboru v programe, v ktorom nebol vytvorený.

S vlastnými formátmi sa zoznámite priamo v procese práce grafické aplikácie. Oni poskytujú najlepší pomer kvalita obrazu a objem informácií súboru, ale sú podporované (t. j. rozpoznané a reprodukované) iba samotnou aplikáciou, ktorá súbor vytvára.

Problém 1. Na zakódovanie jedného pixelu sa použijú 3 bajty. Fotografia s rozmermi 2048 x 1536 pixelov bola uložená ako nekomprimovaný súbor. Určite veľkosť výsledného súboru.

Riešenie.

Odpoveď: 9 MB.

Problém 2. Nekomprimovaný bitmapový obrázok s rozlíšením 128 x 128 pixelov zaberá 2 KB pamäte. Aký je maximálny možný počet farieb v palete obrázkov?

Riešenie.

Odpoveď: 2 farby - čierna a biela.

Najdôležitejšie

Počítačová grafika je široký pojem, ktorý sa týka: 1) rôznych typov grafických objektov vytvorených alebo spracovaných pomocou počítačov; 2) oblasť činnosti, v ktorej sa počítače používajú ako nástroje na vytváranie a spracovanie grafických objektov.

V závislosti od spôsobu vytvárania grafického obrázka sa rozlišuje rastrová a vektorová grafika.

V rastrovej grafike sa obraz vytvára vo forme rastra - súboru bodov (pixelov) tvoriacich riadky a stĺpce. Keď sa rastrový obrázok uloží do pamäte počítača, uložia sa informácie o farbe každého pixelu, ktorý je v ňom obsiahnutý.

Vo vektorovej grafike sa obrázky tvoria na základe súborov údajov (vektorov) popisujúcich konkrétny grafický objekt a vzorcov na ich konštrukciu. Pri ukladaní vektorového obrázka sa do pamäte počítača vkladajú informácie o najjednoduchších geometrických objektoch, ktoré ho tvoria.

Formát grafického súboru je spôsob reprezentácie grafických údajov na externom médiu. Existujú rastrové a vektorové formáty grafických súborov, medzi ktorými sú zasa univerzálne grafické formáty a proprietárne formáty grafických aplikácií.

Otázky a úlohy

Čo je počítačová grafika?
Uveďte hlavné oblasti použitia počítačovej grafiky.
Ako sa dá vyrobiť digitálna grafika?
Naskenuje sa farebný obrázok s rozmermi 10 x 15 cm, rozlíšenie skenera je 600 x 600 dpi, farebná hĺbka je 3 bajty. Aký informačný objem bude mať výsledný grafický súbor?
Aký je rozdiel medzi rastrovými a vektorovými metódami reprezentácie obrázka?
Prečo sa verí, že rastrové obrázky prenášajú farby veľmi presne?
Ktorá operácia prevodu rastrového obrázku vedie k najväčšej strate jeho kvality – zmenšenie alebo zväčšenie? Ako to môžeš vysvetliť?
Prečo zmena mierky neovplyvňuje kvalitu vektorových obrázkov?
Ako môžete vysvetliť rozmanitosť formátov grafických súborov?
Aký je hlavný rozdiel medzi univerzálnymi grafickými formátmi a proprietárnymi formátmi grafických aplikácií?
Vytvorte čo najúplnejší graf pre pojmy v časti 3.2.4.
Uveďte podrobný popis rastrových a vektorových obrázkov a uveďte nasledovné:
Kresba s rozlíšením 1024 x 512 pixelov bola uložená ako nekomprimovaný súbor s veľkosťou 1,5 MB. Koľko informácií bolo použitých na zakódovanie farby pixelu? Aký je maximálny možný počet farieb v palete zodpovedajúci tejto farebnej hĺbke?
Nekomprimovaný bitmapový obrázok s rozlíšením 256 x 128 pixelov zaberá 16 KB pamäte. Aký je maximálny možný počet farieb v palete obrázkov?

Formát grafického súboru je spôsob znázornenia grafických údajov na externých médiách. Rozlišovať rastrových a vektorových formátov grafické súbory, medzi ktorými sú zase univerzálne grafické formáty A vlastné (pôvodné) formáty grafických aplikácií.

Univerzálnym grafickým formátom „rozumejú“ všetky aplikácie, ktoré pracujú s rastrovou (vektorovou) grafikou.

Univerzálny formát rastrovej grafiky je formát BMP. Grafické súbory v tomto formáte majú veľký informačný objem, pretože na uloženie informácií o farbe každého pixelu prideľujú 24 bitov.

Vo výkresoch uložených v univerzálnej bitmape vo formáte GIF, môžete použiť iba 256 rôznych farieb. Táto paleta je vhodná pre jednoduché ilustrácie a piktogramy. Grafické súbory tohto formátu majú malý informačný objem. Toto je obzvlášť dôležité pre grafiku používanú na World Wide Web, kde používatelia chcú, aby sa požadované informácie na obrazovke zobrazovali čo najrýchlejšie.

Univerzálny raster formát JPEG Navrhnuté špeciálne na efektívne ukladanie obrázkov fotografickej kvality. Moderné počítače dokážu reprodukovať viac ako 16 miliónov farieb, z ktorých väčšina je ľudským okom jednoducho nerozoznateľná. Formát JPEG vám umožňuje odstrániť rôzne farby susedných pixelov, ktoré sú pre ľudské vnímanie „nadmerné“. Časť pôvodných informácií sa stratí, ale tým sa zabezpečí zmenšenie objemu informácií (kompresia) grafického súboru. Používateľ má možnosť určiť stupeň kompresie súboru. Ak je ukladaným obrázkom fotografia, ktorá sa má vytlačiť na veľkoformátový hárok, potom je strata informácií nežiaduca. Ak je táto fotografia umiestnená na webovej stránke, môže byť bezpečne komprimovaná desaťkrát: zostávajúce informácie budú stačiť na reprodukciu obrázka na obrazovke monitora.

Univerzálne formáty vektorovej grafiky zahŕňajú formát WMF, ktorý sa používa na uloženie zbierky obrázkov spoločnosti Microsoft.

Univerzálny formát EPS umožňuje ukladať informácie o rastrovej aj vektorovej grafike. Často sa používa na import súborov do programov tlačovej produkcie.

S vlastnými formátmi sa zoznámite priamo v procese práce s grafickými aplikáciami. Poskytujú najlepší pomer kvality obrazu a objemu informácií o súbore, ale sú podporované (t. j. rozpoznané a prehrané) iba samotnou aplikáciou, ktorá súbor vytvára.

Úloha 1.
Na zakódovanie jedného pixelu sa použijú 3 bajty. Fotografia s rozmermi 2048 x 1536 pixelov bola uložená ako nekomprimovaný súbor. Určite veľkosť výsledného súboru.

Riešenie:
i = 3 bajty
K= 2048 1536
ja — ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (bajtov) = 9 (MB).

Odpoveď: 9 MB.

Úloha 2.
Nekomprimovaný bitmapový obrázok s rozlíšením 128 x 128 pixelov zaberá 2 KB pamäte. Aký je maximálny možný počet farieb v palete obrázkov?

Riešenie:
K = 128 128
I = 2 kB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Odpoveď: 2 farby - čierna a biela.

Najdôležitejšie:

Formát grafického súboru je spôsob reprezentácie grafických údajov na externom médiu. Existujú rastrové a vektorové formáty grafických súborov, medzi ktorými sú zasa univerzálne grafické formáty a proprietárne formáty grafických aplikácií.

Teória grafov je oblasť diskrétnej matematiky, ktorá študuje objekty reprezentované ako jednotlivé prvky (vrcholy) a spojenia medzi nimi (oblúky, hrany).

Teória grafov pochádza z riešenia problému Königsbergských mostov v roku 1736 slávnym matematikom Leonard Euler(1707-1783: narodil sa vo Švajčiarsku, žil a pracoval v Rusku).

Problém s mostami Königsberg.

V pruskom meste Königsberg na rieke Pregal je sedem mostov. Je možné nájsť pešiu trasu, ktorá prechádza každým mostom presne raz a začína a končí na rovnakom mieste?

Graf, v ktorom existuje trasa, ktorá začína a končí v rovnakom vrchole a prechádza pozdĺž všetkých okrajov grafu presne raz, sa nazývaEulerov graf.

Postupnosť vrcholov (možno opakujúcich sa), ktorými prechádza požadovaná trasa, ako aj samotná trasa, sa nazývaEulerov cyklus .

Problém troch domov a troch studní.

Sú tam tri domy a tri studne, ktoré sa nejako nachádzajú na rovine. Nakreslite cestu z každého domu do každej studne tak, aby sa cesty nekrížili. Tento problém vyriešil (ukázalo sa, že riešenie neexistuje) Kuratovský (1896 - 1979) v roku 1930.

Problém štyroch farieb. Rozdelenie roviny na nepretínajúce sa oblasti sa nazýva kartou. Oblasti mapy sa nazývajú susediace, ak majú spoločnú hranicu. Úlohou je vyfarbiť mapu tak, aby žiadne dve susediace plochy neboli natreté rovnakou farbou. Od konca 19. storočia je známa hypotéza, že na to stačia štyri farby. Hypotéza zatiaľ nebola dokázaná.

Podstatou publikovaného riešenia je vyskúšať veľký, ale konečný počet (asi 2000) typov potenciálnych protipríkladov k štvorfarebnej vete a ukázať, že ani jeden prípad nie je protipríkladom. Toto hľadanie ukončil program za približne tisíc hodín prevádzky superpočítača.

Výsledné riešenie nie je možné kontrolovať „ručne“ – rozsah enumerácie je nad rámec ľudských možností. Mnohí matematici si kladú otázku: možno takýto „programový dôkaz“ považovať za platný dôkaz? Koniec koncov, v programe môžu byť chyby...

Môžeme sa teda spoľahnúť len na programátorské schopnosti autorov a veriť, že všetko urobili správne.

Definícia 7.1. počítať G= G(V, E) je súbor dvoch konečných množín: V – tzv veľa vrcholov a množina E dvojíc prvkov z V, t.j. EÍV´V, tzv veľa hrán, ak sú páry nezoradené, príp veľa oblúkov, ak sú páry objednané.

V prvom prípade graf G(V, E) volal neorientovaný, v druhom - orientovaný.

PRÍKLAD. Graf s množinou vrcholov V = (a,b,c) a množinou hrán E =((a, b), (b, c))

PRÍKLAD. Graf s V = (a,b,c,d,e) a E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),

Ak e=(v 1 ,v 2), еОЕ, potom hovoria, že hrana je e spája vrcholy v 1 a v 2.

Volajú sa dva vrcholy v 1,v 2 priľahlé, ak ich spája hrana. V tejto situácii sa volá každý z vrcholov incident zodpovedajúca hrana .

Dve rôzne rebrá priľahlé, ak majú spoločný vrchol. V tejto situácii sa nazýva každá z hrán vedľajší zodpovedajúci vrchol .

Počet vrcholov grafu G označme v, a počet hrán je e:

Geometrické znázornenie grafov je nasledovné:

1) vrchol grafu je bod v priestore (v rovine);

2) hrana neorientovaného grafu – úsečka;

3) oblúk orientovaného grafu – orientovaný segment.

Definícia 7.2. Ak sa v hrane vyskytuje e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2, potom sa hrana e nazýva slučka. Ak graf umožňuje slučky, potom sa nazýva graf so slučkami alebo pseudograf .

Ak graf umožňuje viac ako jednu hranu medzi dvoma vrcholmi, potom sa nazýva multigraf .

Ak je každý vrchol grafu a/alebo hrana označený, potom sa takýto graf nazýva označené (alebo naložený ). Ako značky sa zvyčajne používajú písmená alebo celé čísla.

Definícia 7.3. Graf G (V , E ) volal podgraf (alebo časť ) graf G(V,E), Ak V V, E E. Ak V = V, To G volal zahŕňajúci podgraf G.

Príklad 7 . 1 . Daný neorientovaný graf.

Definícia 7.4. Graf sa volá kompletný , Ak akýkoľvek jeho dva vrcholy sú spojené hranou. Kompletný graf s n vrcholy sú označené K n .

Gróf K 2 , TO 3, TO 4 a K 5 .

Definícia 7.5. Graf G=G(V, E) sa nazýva dvojklíčnolistový , Ak V možno reprezentovať ako spojenie disjunktných množín, povedzme V=AB, takže každá hrana má tvar ( v i , v j), Kde v i A A v j B.

Každá hrana spája vrchol z A s vrcholom z B, ale žiadne dva vrcholy z A alebo dva vrcholy z B nie sú spojené.

Nazýva sa bipartitný graf úplný dvojklíčnolistový počítať K m , n, Ak A obsahuje m vrcholy, B obsahuje n vrcholy a pre každý v i A, v j B máme ( v i , v j)E.

Teda pre všetkých v i A, A v j B spája ich hrana.

K 12 K 23 K 22 K 33

Príklad 7 . 2 . Vytvorte kompletný bipartitný graf K 2.4 a celý graf K 4 .

Jednotkový grafn-rozmerná kockaIN n .

Vrcholy grafu sú n-rozmerné binárne množiny. Hrany spájajú vrcholy, ktoré sa líšia v jednej súradnici.

Príklad:

Pojem grafu je vhodné zaviesť po analýze niekoľkých problémov podobných úlohe 1, pričom rozhodujúcou úvahou je grafické znázornenie. Je dôležité, aby si žiaci hneď uvedomili, že rovnaký graf možno nakresliť rôzne cesty. Podľa môjho názoru nie je potrebné dávať striktnú definíciu grafu, pretože je to príliš ťažkopádne a len to skomplikuje diskusiu. Spočiatku postačí intuitívny koncept. Pri diskusii o koncepte izomorfizmu môžete vyriešiť niekoľko cvičení na identifikáciu izomorfných a neizomorfných grafov. Jedným z ústredných bodov témy je veta o parite počtu nepárnych vrcholov. Je dôležité, aby študenti plne pochopili jeho dôkaz a naučili sa ho aplikovať pri riešení problémov. Pri analýze viacerých problémov odporúčam neodvolávať sa na vetu, ale skutočne zopakovať jej dôkaz. Nesmierne dôležitý je aj koncept grafovej konektivity. Zmysluplným hľadiskom je tu zohľadnenie komponentu konektivity, ktorému je potrebné venovať osobitnú pozornosť. Eulerove grafy sú takmer hernou témou.

Prvým a hlavným cieľom, ktorý je potrebné sledovať pri štúdiu grafov, je naučiť školákov vidieť graf v probléme a správne preložiť podmienku do jazyka teórie grafov. Nemali by ste ich oboje povedať každému v niekoľkých triedach za sebou. Hodiny je lepšie rozložiť na 2–3 akademické roky. (V prílohe je vypracovanie lekcie „Pojem graf. Aplikácia grafov pri riešení problémov“ v 6. ročníku).

2. Teoretický materiál k téme „Grafy“.

Úvod

Grafy sú úžasné matematické objekty, s ich pomocou môžete vyriešiť množstvo rôznych, navonok odlišných problémov. Existuje celá sekcia v matematike - teória grafov, ktorá študuje grafy, ich vlastnosti a aplikácie. Budeme diskutovať len o najzákladnejších pojmoch, vlastnostiach grafov a niektorých spôsoboch riešenia problémov.

Pojem grafu

Uvažujme o dvoch problémoch.

Úloha 1. Medzi deviatimi planétami slnečnej sústavy bola nadviazaná vesmírna komunikácia. Bežné rakety lietajú na týchto trasách: Zem – Merkúr; Pluto - Venuša; Zem - Pluto; Pluto - Merkúr; Merkúr – Viedeň; Urán - Neptún; Neptún - Saturn; Saturn – Jupiter; Jupiter - Mars a Mars - Urán. Je možné lietať na bežných raketách zo Zeme na Mars?

Riešenie: Nakreslíme diagram stavu: planéty znázorníme ako body a trasy rakiet ako čiary.

Teraz je okamžite jasné, že letieť zo Zeme na Mars je nemožné.

Úloha 2. Doska má tvar dvojitého kríža, ktorý sa získa odstránením rohových štvorcov zo štvorca 4x4.

Dá sa to obísť presunutím šachového rytiera a vrátiť sa na pôvodné pole, keď všetky polia navštíviš práve raz?

Riešenie: Postupne očíslujme štvorce dosky:

A teraz pomocou obrázku ukážeme, že takýto prechod tabuľky, ako je uvedené v podmienke, je možný:

Zvažovali sme dva rozdielne problémy. Riešenia týchto dvoch problémov však spája spoločná myšlienka – grafické znázornenie riešenia. Zároveň sa ukázalo, že obrázky nakreslené pre každú úlohu sú podobné: každý obrázok pozostáva z niekoľkých bodiek, z ktorých niektoré sú spojené čiarami.

Takéto obrázky sú tzv grafov. Body sú tzv vrcholov a riadky - rebrá graf. Upozorňujeme, že nie každý obrázok tohto typu sa bude nazývať graf. Napríklad. ak vás požiadajú, aby ste do svojho notebooku nakreslili päťuholník, potom takáto kresba nebude grafom. Výkres tohto typu nazveme, ako v predchádzajúcich úlohách, graf, ak existuje nejaká špecifická úloha, pre ktorú bol takýto výkres skonštruovaný.

Ďalšia poznámka sa týka vzhľadu grafu. Pokúste sa skontrolovať, či je možné graf rovnakého problému nakresliť rôznymi spôsobmi; a naopak, pre rôzne úlohy môžete kresliť grafy rovnakého vzhľadu. Tu záleží len na tom, ktoré vrcholy sú navzájom spojené a ktoré nie. Napríklad graf pre úlohu 1 možno nakresliť inak:

Takéto identické, ale inak nakreslené grafy sa nazývajú izomorfný.

Stupne vrcholov a počítanie počtu hrán grafu

Napíšme si ešte jednu definíciu: Stupeň vrcholu v grafe je počet hrán, ktoré z neho vychádzajú. V tomto ohľade sa vrchol s párnym stupňom nazýva párny vrchol, respektíve vrchol s nepárnym stupňom sa nazýva nepárny vrchol.

Jedna z hlavných teorémov teórie grafov súvisí s pojmom vrcholový stupeň - veta o spravodlivosti počtu nepárnych vrcholov. Preukážeme to trochu neskôr, ale najprv pre ilustráciu zvážime problém.

Úloha 3. V meste Malenky je 15 telefónov. Je možné ich prepojiť drôtmi tak, aby bol každý telefón pripojený presne k piatim ďalším?

Riešenie: Predpokladajme, že takéto spojenie medzi telefónmi je možné. Potom si predstavte graf, v ktorom vrcholy predstavujú telefóny a okraje predstavujú káble, ktoré ich spájajú. Spočítajme, koľko drôtov je celkovo. Každý telefón má zapojených presne 5 vodičov, t.j. stupeň každého vrcholu nášho grafu je 5. Ak chcete zistiť počet drôtov, musíte sčítať stupne všetkých vrcholov grafu a výsledný výsledok vydeliť 2 (keďže každý drôt má dva konce, potom pri sčítaní stupňov sa každý drôt vezme 2-krát) . Ale potom bude počet drôtov iný. Toto číslo však nie je celé číslo. To znamená, že náš predpoklad, že každý telefón sa dá prepojiť presne s piatimi ďalšími, sa ukázal ako nesprávny.

Odpoveď. Týmto spôsobom nie je možné pripojiť telefóny.

Veta: Každý graf obsahuje párny počet nepárnych vrcholov.

dôkaz: Počet hrán grafu sa rovná polovici súčtu stupňov jeho vrcholov. Keďže počet hrán musí byť celé číslo, súčet stupňov vrcholov musí byť párny. A to je možné len vtedy, ak graf obsahuje párny počet nepárnych vrcholov.

Konektivita grafu

S grafmi súvisí aj ďalší dôležitý koncept – koncept konektivity.

Graf sa volá koherentný, ak sa dajú spojiť akékoľvek dva jeho vrcholy od, tie. súvislý sled hrán. Existuje množstvo problémov, ktorých riešenie je založené na koncepte grafovej konektivity.

Úloha 4. V krajine Sedem je 15 miest, každé mesto je spojené cestami s minimálne siedmimi ďalšími. Dokážte, že je módne dostať sa z každého mesta do akéhokoľvek iného.

Dôkaz: Uvažujme o dvoch ľubovoľných mestách A a B a predpokladajme, že medzi nimi nevedie žiadna cesta. Každý z nich je spojený cestami s najmenej siedmimi ďalšími a neexistuje žiadne mesto, ktoré by bolo spojené s oboma predmetnými mestami (inak by viedla cesta z A do B). Nakreslíme časť grafu zodpovedajúcu týmto mestám:

Teraz je jasne viditeľné, že sme dostali najmenej 16 rôznych miest, čo je v rozpore s podmienkami problému. To znamená, že tvrdenie bolo preukázané protirečením.

Ak vezmeme do úvahy predchádzajúcu definíciu, potom môže byť vyjadrenie problému preformulované iným spôsobom: „Dokážte, že cestný graf krajiny Sedem je spojený.“

Teraz viete, ako vyzerá spojený graf. Nespojitý graf má tvar niekoľkých „kúskov“, z ktorých každý je buď samostatným vrcholom bez hrán, alebo spojeným grafom. Príklad odpojeného grafu môžete vidieť na obrázku:

Každý takýto jednotlivý kus je tzv pripojený komponent grafu. Každý spojený komponent predstavuje súvislý graf a platia preň všetky tvrdenia, ktoré sme pre spojené grafy dokázali. Pozrime sa na príklad problému, ktorý používa pripojený komponent:

Problém 5. Vo Far Far Away Kingdom existuje len jeden druh dopravy – lietajúci koberec. Z hlavného mesta odchádza 21 kobercových liniek, jedna z mesta Dalniy a 20 zo všetkých ostatných miest.Dokážte, že môžete letieť z hlavného mesta do mesta Dalniy.

dôkaz: Je jasné, že ak nakreslíte graf koberca Kráľovstva, môže byť nesúrodý. Pozrime sa na komponent konektivity, ktorý zahŕňa hlavné mesto Kráľovstva. Z hlavného mesta vychádza 21 kobercov a 20 z akéhokoľvek iného mesta okrem mesta Dalniy, preto, aby bol naplnený zákon o párnom počte nepárnych vrcholov, je potrebné, aby bolo zahrnuté aj mesto Dalniy. v rovnakom komponente konektivity. A keďže spájaná zložka je súvislý graf, tak z hlavného mesta vedie cesta po kobercoch do mesta Dalniy, čo bolo potrebné dokázať.

Eulerove grafy

Určite ste sa už stretli s úlohami, pri ktorých potrebujete nakresliť tvar bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera a nakreslili každú čiaru iba raz. Ukazuje sa, že takýto problém nie je vždy riešiteľný, t.j. Existujú postavy, ktoré nemožno pomocou tejto metódy nakresliť. Otázka riešiteľnosti takýchto problémov je obsiahnutá aj v teórii grafov. Prvýkrát ho preskúmal v roku 1736 veľký nemecký matematik Leonhard Euler pri riešení problému Königsbergských mostov. Preto sa grafy, ktoré je možné nakresliť týmto spôsobom, nazývajú Eulerove grafy.

Úloha 6. Je možné nakresliť graf zobrazený na obrázku bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera a nakreslili každú hranu presne raz?

Riešenie. Ak graf nakreslíme tak, ako je uvedené v podmienke, tak do každého vrcholu, okrem počiatočného a konečného, vstúpime toľkokrát, koľkokrát z neho vystúpime. To znamená, že všetky vrcholy grafu, okrem dvoch, musia byť párne. Náš graf má tri nepárne vrcholy, takže ho nemožno nakresliť spôsobom uvedeným v podmienke.

Teraz sme dokázali vetu o Eulerových grafoch:

Veta: Eulerov graf musí mať najviac dva nepárne vrcholy.

A na záver – problém Königsbergských mostov.

Úloha 7. Na obrázku je znázornená schéma mostov v meste Königsberg.

Dá sa prejsť tak, že každý most prejdete presne raz?

3. Úlohy k téme „Grafy“

Pojem grafu.

1. Na štvorcovú dosku 3x3 sú umiestnení 4 rytieri, ako je znázornené na obr. Je možné po vykonaní niekoľkých ťahov s rytiermi zmeniť ich usporiadanie do pozície znázornenej na obr. 2?

Ryža. 1

Ryža. 2

Riešenie. Očíslujme štvorce dosky, ako je znázornené na obrázku:

Každej bunke priraďme bod na rovine a ak je možné dosiahnuť jednu bunku pohybom šachového rytiera z jednej bunky, spojíme zodpovedajúce body čiarou. Počiatočné a požadované umiestnenie rytierov je znázornené na obrázkoch:

Pre akúkoľvek sekvenciu rytierskych ťahov sa ich poradie samozrejme nemôže zmeniť. Preto nie je možné prestavať kone požadovaným spôsobom.

2. V krajine Digit je 9 miest s názvami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cestovateľ zistil, že dve mestá spája letecká spoločnosť vtedy a len vtedy, ak číslo tvorené názvami miest delené 3. Je možné letieť letecky z mesta 1 do mesta 9?

Riešenie. Priradením bodky ku každému mestu a spojením bodiek čiarou, ak je súčet čísel deliteľný 3, dostaneme graf, v ktorom čísla 3, 5, 9 sú navzájom spojené, ale nesúvisia s odpočinok. To znamená, že nemôžete letieť z mesta 1 do mesta 9.

Stupne vrcholov a počítanie počtu hrán.

3. V štáte je 100 miest a každé mesto má 4 cesty. Koľko ciest je v štáte?

Riešenie. Spočítajme celkový počet ciest opúšťajúcich mesto - 100 . 4 = 400. Pri tomto výpočte sa však každá cesta počíta 2-krát – opúšťa jedno mesto a vchádza do iného. To znamená, že ciest je celkovo dvakrát menej, t.j. 200.

4. V triede je 30 ľudí. Je možné, že 9 ľudí má 3 priateľov, 11 má 4 priateľov a 10 má 5 priateľov?

Odpoveď. Nie (veta o parite počtu nepárnych vrcholov).

5. Kráľ má 19 vazalov. Je možné, že každý vazal má 1, 5 alebo 9 susedov?

Odpoveď. Nie on nemôže.

6. Môže mať štát, v ktorom z každého mesta vychádzajú práve 3 cesty, presne 100 ciest?

Riešenie. Spočítajme počet miest. Počet ciest sa rovná počtu miest x vynásobenému 3 (počet ciest opúšťajúcich každé mesto) a delené 2 (pozri problém 3). Potom 100 = 3x/2 => 3x = 200, čo sa pri prirodzenom x nemôže stať. To znamená, že v takomto stave nemôže byť 100 ciest.

7. Dokážte, že počet ľudí, ktorí kedy žili na Zemi a vykonali nepárny počet podaní rúk, je párny.

Dôkaz vyplýva priamo z vety o parite počtu nepárnych vrcholov v grafe.

Konektivita.

8. V krajine opúšťa každé mesto 100 ciest a z každého mesta sa dostanete do akéhokoľvek iného. Jedna cesta bola z dôvodu opravy uzavretá. Dokážte, že teraz sa môžete dostať z akéhokoľvek mesta do akéhokoľvek iného.

Dôkaz. Zoberme si komponent konektivity, ktorý zahŕňa jedno z miest, medzi ktorými bola cesta uzavretá. Podľa vety o parite počtu nepárnych vrcholov zahŕňa aj druhé mesto. To znamená, že stále môžete nájsť trasu a dostať sa z jedného z týchto miest do druhého.

Eulerove grafy.

9. Je tu skupina ostrovov prepojených mostami tak, že z každého ostrova sa dá dostať na ktorýkoľvek iný. Turista obišiel všetky ostrovy, pričom každý most prešiel raz. Trikrát navštívil Threefold Island. Koľko mostov vedie z Troyekratnoye, ak turista

a) nezačalo sa tým a neskončilo sa tým?
b) začal s tým, ale neskončil?
c) začal a skončil sa ním?

10. Na obrázku je park rozdelený na niekoľko častí plotmi. Dá sa prejsť parkom a jeho okolím tak, aby ste každý plot raz preliezli?

Nulový graf a úplný graf.

Existuje niekoľko špeciálnych grafov, ktoré sa objavujú v mnohých aplikáciách teórie grafov. Nateraz budeme graf opäť považovať za vizuálny diagram znázorňujúci priebeh športových súťaží. Pred začiatkom sezóny, zatiaľ čo sa ešte nehrali žiadne zápasy, v grafe nie sú žiadne hrany. Takýto graf pozostáva len z izolovaných vrcholov, t.j. z vrcholov spojených žiadnymi hranami. Nazveme graf tohto typu nulový graf. Na obr. 3 sú znázornené takéto grafy pre prípady, keď je počet príkazov alebo vrcholov 1, 2, 3, 4 a 5. Tieto nulové grafy sa zvyčajne označujú symbolmi O1, O2, O3 atď., takže On je nula a graf s n vrcholmi a bez hrán.

Uvažujme o ďalšom extrémnom prípade. Predpokladajme, že na konci sezóny odohrá každý tím jeden zápas proti každému z ostatných tímov. Potom na zodpovedajúcom grafe bude každá dvojica vrcholov spojená hranou. Takýto graf je tzv kompletný graf. Obrázok 4 znázorňuje kompletné grafy s počtom vrcholov n = 1, 2, 3, 4, 5. Tieto kompletné grafy označíme U1, U2, U3, U4 a U5, takže graf Un pozostáva z 11 vrcholov resp. hrany, spájajúce všetky možné dvojice týchto vrcholov. Tento graf si možno predstaviť ako n-uholník, v ktorom sú nakreslené všetky uhlopriečky.

Mať nejaký graf, napríklad graf G znázornený na obr. 1, môžeme ho vždy premeniť na kompletný graf s rovnakými vrcholmi pridaním chýbajúcich hrán (teda hrán zodpovedajúcich hrám, ktoré sa ešte len budú hrať). Na obr. 5 sme to urobili pre graf na obr. 1 (hračky, ktoré sa ešte neuskutočnili, sú znázornené bodkovanými čiarami). Môžete tiež samostatne nakresliť graf zodpovedajúci budúcim hrám, ktoré sa ešte nehrali. Pre graf G to bude mať za následok graf znázornený na obr. 6.

Tento nový graf nazývame doplnok grafu G; Je zvykom označovať ho G1. Doplnkom grafu G1 dostaneme opäť graf G. Hrany oboch grafov G1 a G spolu tvoria úplný graf.

Populárne v kategórii: