domov › Težave › Sestavite čim bolj popoln graf. Gradnja grafov na podlagi njihovih značilnosti. Grafične težave za utrjevanje osnovnih pojmov

Sestavite čim bolj popoln graf. Gradnja grafov na podlagi njihovih značilnosti. Grafične težave za utrjevanje osnovnih pojmov

Ključne besede:

grafični objekt
računalniška grafika
rastrska grafika
Vektorska grafika
formati grafičnih datotek

Risbe, slike, risbe, fotografije in druge grafične podobe bomo imenovali grafični objekti.

3.2.1. Področja uporabe računalniške grafike

Računalniška grafika je postala del našega vsakodnevno zivljenje. Velja:

za vizualno predstavitev rezultatov meritev in opazovanj (npr. podatkov o podnebnih spremembah v daljšem obdobju, o dinamiki živalskih populacij, o ekološkem stanju različnih regij itd.), rezultatov socioloških raziskav, načrtovanih kazalniki, statistični podatki, rezultati ultrazvočnih študij v medicini itd.;
pri razvoju notranjih in krajinskih načrtov, projektiranju novih stavb, tehnične naprave in drugi izdelki;
v simulatorjih in računalniških igrah za simulacijo različnih vrst situacij, ki se pojavijo, na primer med letom letala ali vesoljskega plovila, gibanjem avtomobila itd.;
pri ustvarjanju vseh vrst posebnih učinkov v filmski industriji;
pri razvoju moderne uporabniški vmesniki programsko opremo in omrežni informacijski viri;
za človekovo kreativno izražanje (digitalna fotografija, digitalno slikanje, računalniška animacija itd.).

Primeri računalniške grafike so prikazani na sl. 3.5.

riž. 3.5.
Primeri računalniške grafike

http://snowflakes.barkleyus.com/ - z računalniškimi orodji lahko "izrežete" katero koli snežinko;
http://www.pimptheface.com/create/ - obraz lahko ustvarite z veliko knjižnico ustnic, oči, obrvi, pričesk in drugih fragmentov;
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - poskusite izbrati novo pohištvo in zaključne materiale za svojo sobo.

3.2.2. Metode za ustvarjanje digitalne grafike

Grafični objekti, ustvarjeni ali obdelani z računalnikom, so shranjeni na računalniških medijih; po potrebi jih lahko natisnemo na papir ali drug primeren medij (film, karton, blago itd.).

Grafične objekte na računalniških medijih bomo imenovali digitalni grafični objekti.

Obstaja več načinov pridobivanja digitalnih grafičnih objektov.

kopiranje končnih slik iz digitalnega fotoaparata, iz zunanjih pomnilniških naprav ali njihovo »nalaganje« z interneta;
vnos grafičnih slik, ki obstajajo na papirju, s pomočjo skenerja;
ustvarjanje nove grafike s programsko opremo.

Načelo delovanja skenerja je, da sliko, ki je na papirju, razdeli na drobne kvadratke – piksle, vsakemu pikslu določi barvo in jo v binarni kodi shrani v pomnilnik računalnika.

Kakovost slike, pridobljene s skeniranjem, je odvisna od velikosti slikovne pike: manjša kot je piksla, na več pik bo razdeljena izvirna slika in bolj popolne informacije o sliki bodo prenesene v računalnik.

Velikosti slikovnih pik so odvisne od ločljivosti optičnega bralnika, ki je običajno izražena v dpi (pika na palec - pike na palec 1) in je določena s parom številk (na primer 600 x 1200 dpi). Prva številka je število slikovnih pik, ki jih lahko optični bralnik izlušči v 1-palčni vrstici slike. Drugo število je število vrstic, v katere je mogoče razdeliti 1-palčni trak slike.

1 Palec je enota za dolžino v angleškem sistemu mer, enaka 2,54 cm.

Naloga. Skenira se barvna slika velikosti 10 x 10 cm, ločljivost skenerja je 1200 x 1200 dpi, barvna globina 24 bitov. Katera količina informacij bo imela nastala grafična datoteka?

rešitev. Optično prebrana slika meri približno 4" x 4". Ob upoštevanju ločljivosti skenerja bo celotna slika razdeljena na 4 4 1200 1200 slikovnih pik.

Odgovor: približno 66 MB.

Priporočamo, da si ogledate animacije »Skenerji: splošna načela delovanja«, »Skenerji: ploski skener«, objavljene v Enotni zbirki digitalnih izobraževalnih virov (http://school-collection.edu.ru/). Ti viri vam bodo pomagali bolje razumeti, kako poteka postopek skeniranja. Vir »Digitalni fotoaparat« bo prikazal, kako se posnamejo digitalne fotografije (slika 3.6).

riž. 3.6.
Ploski skener in digitalni fotoaparat

3.2.3. Rastrska in vektorska grafika

Odvisno od načina ustvarjanja grafična podoba Obstajajo rastrska, vektorska in fraktalna grafika.

Raster grafika

IN rastrska grafika Slika je oblikovana v obliki rastra - zbirke točk (pikslov), ki tvorijo vrstice in stolpce. Vsak piksel lahko prevzame katero koli barvo iz palete, ki vsebuje milijone barv. Barvna natančnost je glavna prednost rastrske grafike. Ko se rastrska slika shrani v računalniški pomnilnik, se shranijo informacije o barvi vsake slikovne pike, ki je v njej vključena.

Kakovost rastrske slike se povečuje s številom slikovnih pik na sliki in številom barv v paleti. Hkrati se poveča informacijski obseg celotne slike. Velik obseg informacij je ena glavnih pomanjkljivosti rastrskih slik.

Naslednja pomanjkljivost rastrskih slik je povezana z nekaterimi težavami pri njihovem spreminjanju velikosti. Tako se pri pomanjšanju rastrske slike več sosednjih slikovnih pik pretvori v eno, kar povzroči izgubo jasnosti v majhnih podrobnostih slike. Ko rastrsko sliko povečamo, se ji dodajo nove slikovne pike, sosednje slikovne pike pa prevzamejo enako barvo in pojavi se učinek koraka (slika 3.7).

riž. 3.7.
Rastrska slika in njen povečan fragment

Rastrska grafika je redko ustvarjena ročno. Najpogosteje jih pridobimo s skeniranjem ilustracij ali fotografij, ki jih pripravijo umetniki; V zadnjem času se digitalni fotoaparati pogosto uporabljajo za vnos rastrskih slik v računalnik.

Vektorska grafika

Veliko grafičnih podob je mogoče predstaviti kot zbirko segmentov, krogov, lokov, pravokotnikov in drugih geometrijskih oblik. Na primer, slika na sl. 3.8 je sestavljen iz krogov, segmentov in pravokotnika.

riž. 3.8.
Slika, sestavljena iz krogov, segmentov in pravokotnika

Vsako od teh figur je mogoče opisati matematično: segmente in pravokotnike - s koordinatami njihovih oglišč, kroge - s koordinatami njihovih središč in polmerov. Poleg tega lahko nastavite debelino in barvo črt, barvo polnila in druge lastnosti geometrijskih oblik. IN vektorske grafike slike so oblikovane na podlagi takih nizov podatkov (vektorjev), ki opisujejo grafične objekte in formule za njihovo konstrukcijo. Pri shranjevanju vektorske slike se v pomnilnik računalnika vnesejo informacije o najpreprostejših geometrijskih objektih, ki jo sestavljajo.

Informacijske količine vektorskih slik so bistveno manjše od informacijskih prostornin rastrskih slik. Na primer, če želite prikazati krog z rastrsko grafiko, potrebujete podatke o vseh slikovnih pikah kvadratnega območja, v katerega je krog vpisan; Za upodobitev kroga z vektorsko grafiko so potrebne samo koordinate ene točke (središče) in polmer.

Druga prednost vektorskih slik je možnost njihovega spreminjanja velikosti brez izgube kakovosti (slika 3.9). To je posledica dejstva, da se z vsako transformacijo vektorskega objekta stara slika izbriše in namesto nje se z obstoječimi formulami zgradi nova, vendar ob upoštevanju spremenjenih podatkov.

riž. 3.9.
Vektorska slika, njen pretvorjeni fragment in najpreprostejše geometrijske oblike, iz katerih je ta fragment "sestavljen"

Hkrati ni mogoče vsake slike predstaviti kot zbirko preprostih geometrijskih oblik. Ta način predstavitve je primeren za risbe, diagrame, poslovne grafike in druge primere, kjer je ohranjanje ostrih in jasnih obrisov slik še posebej pomembno.

Fraktalna grafika, tako kot vektorska, temelji na matematičnih izračunih. Toda za razliko od vektorske grafike računalniški pomnilnik ne shranjuje opisov geometrijskih oblik, ki sestavljajo sliko, temveč samo matematično formulo (enačbo), ki se uporablja za sestavo slike. Fraktalne slike so raznolike in bizarne (slika 3.10).

riž. 3.10.
Fraktalna grafika

Popolnejše informacije o tem vprašanju najdete na internetu (na primer na http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal).

3.2.4. Formati grafičnih datotek

Format grafične datoteke je način predstavitve grafičnih podatkov na zunanjem mediju. Obstajajo rastrski in vektorski formati grafičnih datotek, med katerimi so univerzalni grafični formati in lastniški (izvirni) formati grafičnih aplikacij.

Univerzalne grafične formate »razumejo« vse aplikacije, ki delajo z rastrsko (vektorsko) grafiko.

Univerzalni format rastrske grafike je format BMP. Grafične datoteke v tem formatu imajo velik obseg informacij, saj dodelijo 24 bitov za shranjevanje informacij o barvi vsakega piksla.

Risbe, shranjene v univerzalnem formatu bitne slike GIF, lahko uporabljajo samo 256 različnih barv. Ta paleta je primerna za preproste ilustracije in piktograme. Grafične datoteke tega formata imajo majhno količino informacij. To je še posebej pomembno za grafiko, ki se uporablja v Svetovni splet, katerega uporabniki želijo, da se informacije, ki so jih zahtevali, čim hitreje prikažejo na zaslonu.

Univerzalni rastrski format JPEG je zasnovan posebej za učinkovito shranjevanje slik fotografska kakovost. Sodobni računalniki zagotavljajo reprodukcijo več kot 16 milijonov barv, od katerih jih človeško oko večinoma preprosto ne razlikuje. format JPEG vam omogoča, da zavržete raznolikost barv sosednjih slikovnih pik, ki so "pretirane" za človeško zaznavo. Nekaj izvirnih informacij se izgubi, vendar to zagotavlja zmanjšanje količine informacij (stiskanje) grafične datoteke. Uporabnik ima možnost določiti stopnjo stiskanja datoteke. Če je shranjena slika fotografija, ki naj bi bila natisnjena na list velikega formata, potem izguba informacij ni zaželena. Če je ta fotografija objavljena na spletni strani, jo je mogoče varno stisniti več desetkrat: preostale informacije bodo zadostovale za reprodukcijo slike na zaslonu monitorja.

Univerzalni vektorski grafični formati vključujejo format WMF, ki se uporablja za shranjevanje zbirke Microsoftovih slik (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Univerzalni format EPS vam omogoča shranjevanje informacij o rastrski in vektorski grafiki. Pogosto se uporablja za uvoz 2 datotek v programe za tiskanje.

2 Postopek odpiranja datoteke v programu, v katerem ni bila ustvarjena.

Z lastnimi formati se boste seznanili neposredno v procesu dela grafične aplikacije. Zagotavljajo najboljše razmerje kakovost slike in obseg podatkov datoteke, vendar jih podpira (tj. prepozna in reproducira) samo aplikacija sama, ki ustvari datoteko.

Problem 1. Za kodiranje ene slikovne pike se uporabijo 3 bajci. Fotografija, ki meri 2048 x 1536 slikovnih pik, je bila shranjena kot nestisnjena datoteka. Določite velikost nastale datoteke.

rešitev.

Odgovor: 9 MB.

Problem 2. Nestisnjena bitna slika 128 x 128 slikovnih pik zavzame 2 KB pomnilnika. Kakšno je največje možno število barv v slikovni paleti?

rešitev.

Odgovor: 2 barvi - črna in bela.

Najpomembnejše

Računalniška grafika je širok pojem, ki se nanaša na: 1) različne vrste grafičnih objektov, ustvarjenih ali obdelanih z uporabo računalnikov; 2) področje dejavnosti, v katerem se računalniki uporabljajo kot orodja za ustvarjanje in obdelavo grafičnih objektov.

Glede na način ustvarjanja grafične slike ločimo rastrsko in vektorsko grafiko.

V rastrski grafiki je slika oblikovana v obliki rastra - zbirke pik (pikslov), ki tvorijo vrstice in stolpce. Ko se rastrska slika shrani v računalniški pomnilnik, se shranijo informacije o barvi vsake slikovne pike, ki je v njej vključena.

V vektorski grafiki se slike oblikujejo na podlagi nizov podatkov (vektorjev), ki opisujejo določen grafični objekt in formul za njihovo konstrukcijo. Pri shranjevanju vektorske slike se v pomnilnik računalnika vnesejo informacije o najpreprostejših geometrijskih objektih, ki jo sestavljajo.

Vprašanja in naloge

Kaj je računalniška grafika?
Naštejte glavna področja uporabe računalniške grafike.
Kako je mogoče ustvariti digitalno grafiko?
Skenira se barvna slika velikosti 10 x 15 cm, ločljivost skenerja je 600 x 600 dpi, barvna globina 3 bajte. Kakšno količino informacij bo imela nastala grafična datoteka?
Kakšna je razlika med rastrskimi in vektorskimi metodami predstavljanja slike?
Zakaj se verjame, da rastrske slike zelo natančno prenašajo barve?
Katera operacija pretvorbe rastrske slike privede do največje izgube njene kakovosti - pomanjšanja ali povečave? Kako lahko to razložiš?
Zakaj skaliranje ne vpliva na kakovost vektorskih slik?
Kako lahko razložite raznolikost formatov grafičnih datotek?
Kakšna je glavna razlika med univerzalnimi grafičnimi formati in lastniškimi formati grafičnih aplikacij?
Izdelajte čim bolj popoln graf za koncepte v razdelku 3.2.4.
Podajte podroben opis rastrskih in vektorskih slik, pri čemer navedite naslednje:
Risba 1024 x 512 slikovnih pik je bila shranjena kot nestisnjena datoteka velikosti 1,5 MB. Koliko informacij je bilo uporabljenih za kodiranje barve slikovne pike? Kakšno je največje možno število barv v paleti, ki ustreza tej barvni globini?
Nestisnjena bitna slika 256 x 128 slikovnih pik zavzame 16 KB pomnilnika. Kakšno je največje možno število barv v slikovni paleti?

Format grafične datoteke je način predstavitve grafičnih podatkov na zunanjem mediju. Razlikovati rastrski in vektorski formati grafične datoteke, med katerimi pa so univerzalni grafični formati in lastne (izvirne) formate grafičnih aplikacij.

Univerzalne grafične formate »razumejo« vse aplikacije, ki delajo z rastrsko (vektorsko) grafiko.

Univerzalni rastrski grafični format je Format BMP. Grafične datoteke v tem formatu imajo velik obseg informacij, saj dodelijo 24 bitov za shranjevanje informacij o barvi vsakega piksla.

V risbah, shranjenih v univerzalni bitni sliki format GIF, lahko uporabite le 256 različnih barv. Ta paleta je primerna za preproste ilustracije in piktograme. Grafične datoteke tega formata imajo majhno količino informacij. To je še posebej pomembno za grafiko, ki se uporablja v svetovnem spletu, kjer uporabniki želijo, da se informacije, ki jih zahtevajo, čim hitreje prikažejo na zaslonu.

Univerzalni raster format JPEG Zasnovan posebej za učinkovito shranjevanje slik fotografske kakovosti. Sodobni računalniki lahko reproducirajo več kot 16 milijonov barv, od katerih jih človeško oko večinoma preprosto ne razlikuje. Format JPEG vam omogoča, da zavržete različne barve sosednjih slikovnih pik, ki so "pretirane" za človeško zaznavo. Nekaj izvirnih informacij se izgubi, vendar to zagotavlja zmanjšanje količine informacij (stiskanje) grafične datoteke. Uporabnik ima možnost določiti stopnjo stiskanja datoteke. Če je shranjena slika fotografija, ki naj bi bila natisnjena na list velikega formata, potem izguba informacij ni zaželena. Če je ta fotografija postavljena na spletno stran, jo je mogoče varno stisniti več desetkrat: preostale informacije bodo zadostovale za reprodukcijo slike na zaslonu monitorja.

Univerzalni vektorski grafični formati vključujejo format WMF, ki se uporablja za shranjevanje zbirke Microsoftovih slik.

Univerzalni format EPS omogoča shranjevanje informacij o rastrski in vektorski grafiki. Pogosto se uporablja za uvoz datotek v programe za tiskanje.

Z lastnimi formati se boste seznanili neposredno v procesu dela z grafičnimi aplikacijami. Zagotavljajo najboljše razmerje med kakovostjo slike in količino informacij o datoteki, vendar jih podpira (tj. prepozna in predvaja) le aplikacija sama, ki ustvari datoteko.

Naloga 1.
Za kodiranje ene slikovne pike se uporabijo 3 bajci. Fotografija, ki meri 2048 x 1536 slikovnih pik, je bila shranjena kot nestisnjena datoteka. Določite velikost nastale datoteke.

rešitev:
i = 3 bajti
K = 2048 1536
JAZ - ?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (bajtov) = 9 (MB).

Odgovor: 9 MB.

Naloga 2.
Nestisnjena bitna slika 128 x 128 slikovnih pik zavzame 2 KB pomnilnika. Kakšno je največje možno število barv v slikovni paleti?

rešitev:
K = 128 128
I = 2 KB
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (bit) .
N = 2 1 = 2.

Odgovor: 2 barvi - črna in bela.

Najpomembnejše:

Format grafične datoteke je način predstavitve grafičnih podatkov na zunanjem mediju. Obstajajo rastrski in vektorski formati grafičnih datotek, med katerimi so univerzalni grafični formati in lastniški formati grafičnih aplikacij.

Teorija grafov je veja diskretne matematike, ki preučuje objekte, predstavljene kot posamezne elemente (točke) in povezave med njimi (loki, robovi).

Teorija grafov izvira iz rešitve problema königsberških mostov leta 1736, ki jo je rešil slavni matematik Leonard Euler(1707-1783: rojen v Švici, živel in delal v Rusiji).

Problem königsberških mostov.

V pruskem mestu Königsberg na reki Pregal je sedem mostov. Ali je mogoče najti sprehajalno pot, ki prečka vsak most natanko enkrat in se začne in konča na istem mestu?

Graf, v katerem je pot, ki se začne in konča na istem vozlišču in poteka vzdolž vseh robov grafa natanko enkrat, se imenujeEulerjev graf.

Zaporedje vozlišč (lahko ponovljenih), skozi katere poteka želena pot, kot tudi pot sama, se imenujeEulerjev cikel .

Problem treh hiš in treh vodnjakov.

Tri hiše in trije vodnjaki so nekako na ravnini. Narišite pot od vsake hiše do vsakega vodnjaka, tako da se poti ne križata. Ta problem je leta 1930 rešil (pokazalo se je, da rešitve ni) Kuratovsky (1896 - 1979).

Problem štirih barv. Imenuje se razdelitev ravnine na območja, ki se ne sekajo s kartico. Območja zemljevida se imenujejo sosednja, če imajo skupno mejo. Naloga je pobarvati zemljevid tako, da dve sosednji območji ne bosta pobarvani z isto barvo. Od konca 19. stoletja je znana hipoteza, da so za to dovolj štiri barve. Hipoteza še ni dokazana.

Bistvo objavljene rešitve je preizkusiti veliko, a končno število (približno 2000) vrst potencialnih protiprimerov izreku štirih barv in pokazati, da niti en primer ni protiprimer. To iskanje je program opravil v približno tisoč urah delovanja superračunalnika.

Nemogoče je "ročno" preveriti dobljeno rešitev - obseg štetja je izven obsega človeških zmožnosti. Mnogi matematiki postavljajo vprašanje: ali se lahko tak "programski dokaz" šteje za veljaven dokaz? Konec koncev so lahko napake v programu ...

Tako se lahko zanesemo le na programerske sposobnosti avtorjev in verjamemo, da so vse naredili prav.

Opredelitev 7.1. štetje G= G(V, E) je zbirka dveh končnih množic: V – klic veliko vozlišč in množica E parov elementov iz V, tj. EÍV´V, imenovano veliko robov, če so pari neurejeni, oz veliko lokov, če so pari urejeni.

V prvem primeru graf G(V, E) klical neorientiran, v drugem – usmerjeno.

PRIMER. Graf z množico vozlišč V = (a,b,c) in množico robov E =((a, b), (b, c))

PRIMER. Graf z V = (a,b,c,d,e) in E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),

Če je e=(v 1 ,v 2), еОЕ, potem pravijo, da je rob e povezuje točki v 1 in v 2.

Pokličemo dve točki v 1,v 2 sosednji, če ju povezuje rob. V tem primeru se pokliče vsako od vozlišč nezgoda ustrezen rob .

Dve različni rebri sosednji, če imata skupno oglišče. V tem primeru se kliče vsak rob naključno ustrezno vozlišče .

Število točk grafa G označimo v, število robov pa je e:

Geometrijski prikaz grafov je naslednji:

1) oglišče grafa je točka v prostoru (na ravnini);

2) rob neusmerjenega grafa – segment;

3) lok usmerjenega grafa – usmerjen segment.

Opredelitev 7.2.Če se v robu e=(v 1 ,v 2) pojavi v 1 =v 2, se rob e imenuje zanka. Če graf dovoljuje zanke, se pokliče graf z zankami oz psevdograf .

Če graf omogoča več kot en rob med dvema vozliščema, se imenuje multigraf .

Če je vsako oglišče grafa in/ali roba označeno, se tak graf imenuje označeno (oz naloženo ). Kot oznake se običajno uporabljajo črke ali cela števila.

Opredelitev 7.3. Graf G (V , E ) klical podgraf (oz del ) graf G(V,E), če V V, E E. če V = V, To G klical vpet podgraf G.

Primer 7 . 1 . Podan je neusmerjen graf.

Opredelitev 7.4. Graf se imenuje popolna , Če kaj njegovi dve oglišči sta povezani z robom. Dopolni graf z n vozlišča je označeno z K n .

Grofi K 2 , TO 3, TO 4 in K 5 .

Opredelitev 7.5. Graf G=G(V, E) je poklican dvokaličnica , Če V lahko predstavimo kot unijo disjunktnih množic, npr V=AB, zato ima vsak rob obliko ( v jaz , v j), Kje v jaz A in v j B.

Vsak rob povezuje oglišče iz A z ogliščem iz B, vendar dve točki iz A ali dve točki iz B nista povezani.

Bipartitni graf se imenuje popolna dvokaličnica štetje K m , n, Če A vsebuje m vrhovi, B vsebuje n oglišča in za vsako v jaz A, v j B imamo ( v jaz , v j)E.

Tako za vse v jaz A, In v j B obstaja rob, ki ju povezuje.

K 12 K 23 K 22 K 33

Primer 7 . 2 . Zgradite popoln bipartitni graf K 2.4 in celoten graf K 4 .

Graf enotn-dimenzionalna kockaIN n .

Točke grafa so n-dimenzionalne binarne množice. Robovi povezujejo vozlišča, ki se razlikujejo v eni koordinati.

primer:

Priporočljivo je, da koncept grafa uvedemo po tem, ko smo analizirali več problemov, podobnih problemu 1, pri čemer je odločilna obravnava grafična predstavitev. Pomembno je, da učenci takoj ugotovijo, da je mogoče narisati isti graf različne poti. Po mojem mnenju ni treba dati stroge definicije grafa, ker je preveč okoren in bo samo zapletel razpravo. Sprva bo zadostoval intuitiven koncept. Ko razpravljate o konceptu izomorfizma, lahko rešite več vaj za prepoznavanje izomorfnih in neizomorfnih grafov. Ena od osrednjih točk teme je izrek o pariteti števila lihih vozlišč. Pomembno je, da učenci popolnoma razumejo njegov dokaz in se ga naučijo uporabiti pri reševanju problemov. Pri analizi več problemov priporočam, da se ne sklicujete na izrek, ampak dejansko ponovite njegov dokaz. Izredno pomemben je tudi koncept povezljivosti grafov. Pri tem je pomembno upoštevati komponento povezljivosti; temu je treba posvetiti posebno pozornost. Eulerjevi grafi so skoraj tema igre.

Prvi in glavni cilj, ki mu je treba slediti pri preučevanju grafov, je naučiti šolarje videti graf v izjavi problema in pravilno prevesti pogoj v jezik teorije grafov. Obojega ne smete povedati vsem v več razredih zapored. Bolje je, da pouk razdelite na 2–3 študijska leta. (Priložen je razvoj lekcije “Pojem grafa. Uporaba grafov pri reševanju problemov” v 6. razredu).

2. Teoretično gradivo za temo "Grafi".

Uvod

Grafi so čudoviti matematični objekti, z njihovo pomočjo lahko rešite veliko različnih, navzven različnih problemov. V matematiki obstaja cel oddelek - teorija grafov, ki preučuje grafe, njihove lastnosti in uporabo. Obravnavali bomo le najosnovnejše pojme, lastnosti grafov in nekaj načinov reševanja problemov.

Koncept grafa

Razmislimo o dveh težavah.

Naloga 1. Med devetimi planeti sončnega sistema je bila vzpostavljena vesoljska komunikacija. Običajne rakete letijo po sledečih poteh: Zemlja – Merkur; Pluton - Venera; Zemlja - Pluton; Pluton - Merkur; Merkur - Dunaj; Uran - Neptun; Neptun - Saturn; Saturn – Jupiter; Jupiter - Mars in Mars - Uran. Ali je mogoče z navadnimi raketami leteti z Zemlje na Mars?

rešitev: Narišimo diagram stanja: planete bomo prikazali kot točke, poti raket pa kot črte.

Zdaj je takoj jasno, da je nemogoče leteti z Zemlje na Mars.

Naloga 2. Tabla ima obliko dvojnega križa, ki jo dobimo tako, da kvadratu 4x4 odstranimo kotna polja.

Ali ga je mogoče zaobiti tako, da premaknete šahovskega skakača in se vrnete na prvotno polje, ko ste obiskali vsa polja točno enkrat?

rešitev: Oštevilčimo polja na plošči zaporedno:

In zdaj bomo s pomočjo slike pokazali, da je takšno prečkanje tabele, kot je navedeno v pogoju, možno:

Upoštevali smo dva različna problema. Rešitvi teh dveh problemov pa združuje skupna ideja – grafični prikaz rešitve. Hkrati so se slike, narisane za vsako nalogo, izkazale za podobne: vsaka slika je sestavljena iz več pik, od katerih so nekatere povezane s črtami.

Takšne slike se imenujejo grafi. Točke se imenujejo vrhovi, in črte – rebra graf. Upoštevajte, da vsaka slika te vrste ne bo imenovana graf. Na primer. če vas prosimo, da v zvezek narišete peterokotnik, potem taka risba ne bo graf. To vrsto risbe bomo tako kot v prejšnjih nalogah imenovali graf, če obstaja določena naloga, za katero je bila taka risba izdelana.

Druga opomba se nanaša na videz grafa. Poskusite preveriti, ali je mogoče graf za isti problem narisati na različne načine; in obratno, za različne naloge lahko narišete grafe enakega videza. Pri tem je pomembno le, katera vozlišča so med seboj povezana in katera ne. Na primer, graf za nalogo 1 lahko narišemo drugače:

Takšne enake, a različno narisane grafe imenujemo izomorfen.

Stopnje oglišč in štetje števila robov grafa

Zapišimo še eno definicijo: Stopnja vozlišča v grafu je število robov, ki izhajajo iz njega. V zvezi s tem se oglišče s sodo stopnjo imenuje sodo oglišče oziroma oglišče z liho stopnjo imenujemo liho oglišče.

Eden glavnih izrekov teorije grafov je povezan s konceptom stopnje vozlišč - izrek o pravičnosti števila lihih vozlišč. To bomo dokazali nekoliko kasneje, najprej pa bomo za ponazoritev obravnavali problem.

Naloga 3. V mestu Malenky je 15 telefonov. Jih je možno povezati z žicami tako, da je vsak telefon povezan s točno petimi drugimi?

rešitev: Predpostavimo, da je takšna povezava med telefoni možna. Nato si predstavljajte graf, v katerem oglišča predstavljajo telefone, robovi pa žice, ki jih povezujejo. Preštejmo, koliko žic je skupaj. Vsak telefon ima povezanih natanko 5 žic, tj. stopnja vsakega vozlišča našega grafa je 5. Če želite najti število žic, morate sešteti stopnje vseh oglišč grafa in dobljeni rezultat deliti z 2 (ker ima vsaka žica dva konca, bo pri seštevanju stopinj vsaka žica vzeta 2-krat) . Toda potem bo število žic drugačno. Vendar to število ni celo število. To pomeni, da se je naša domneva, da je vsak telefon mogoče povezati s točno petimi drugimi, izkazala za napačno.

Odgovori. Na ta način ni mogoče povezati telefonov.

Izrek: Vsak graf vsebuje sodo število lihih vozlišč.

Dokaz:Število robov grafa je enako polovici vsote stopinj njegovih oglišč. Ker mora biti število robov celo število, mora biti vsota stopenj oglišč soda. In to je mogoče le, če graf vsebuje sodo število lihih vozlišč.

Povezljivost grafov

Obstaja še en pomemben koncept, povezan z grafi - koncept povezljivosti.

Graf se imenuje skladen,če je možno katerikoli dve njeni točki povezati avtor, tiste. neprekinjeno zaporedje robov. Obstaja vrsta problemov, katerih rešitev temelji na konceptu povezljivosti grafov.

Naloga 4. V državi sedmih je 15 mest, vsako mesto je s cestami povezano z vsaj sedmimi drugimi. Dokažite, da je modno priti iz vsakega mesta v katero koli drugo.

Dokaz: Razmislite o dveh poljubnih mestih A in B in predpostavite, da med njima ni poti. Vsako od njih je s cestami povezano z vsaj sedmimi drugimi in ni mesta, ki bi bilo povezano z obema mestoma (sicer bi obstajala pot od A do B). Narišimo del grafa, ki ustreza tem mestom:

Zdaj je jasno razvidno, da smo prejeli vsaj 16 različnih mest, kar je v nasprotju s pogoji problema. To pomeni, da je bila izjava dokazana s protislovjem.

Če upoštevamo prejšnjo definicijo, lahko izjavo o problemu preoblikujemo na drug način: "Dokažite, da je cestni graf države Sedem povezan."

Zdaj veste, kako izgleda povezan graf. Nepovezan graf ima obliko več "kosov", od katerih je vsak bodisi ločena vozlišča brez robov bodisi povezan graf. Na sliki lahko vidite primer nepovezanega grafa:

Vsak tak posamezen kos se imenuje povezana komponenta grafa. Vsaka povezana komponenta predstavlja povezan graf in zanj veljajo vse trditve, ki smo jih dokazali za povezane grafe. Oglejmo si primer težave, ki uporablja povezano komponento:

Problem 5. V daljnem kraljestvu je samo ena vrsta prevoza - leteča preproga. Iz prestolnice vozi 21 preprog, ena iz mesta Dalniy, iz vseh drugih mest pa 20. Dokaži, da lahko letiš iz prestolnice v mesto Dalniy.

Dokaz: Jasno je, da če narišete graf preproge kraljestva, je lahko nekoherenten. Poglejmo komponento povezljivosti, ki vključuje glavno mesto Kraljestva. 21 preprog prihaja iz prestolnice in 20 iz katerega koli drugega mesta razen mesta Dalniy, zato je za izpolnitev zakona o sodem številu lihih točk potrebno vključiti mesto Dalniy v isti komponenti povezljivosti. In ker je povezana komponenta povezan graf, potem iz prestolnice poteka pot po preprogah do mesta Dalniy, kar je bilo treba dokazati.

Eulerjevi grafi

Verjetno ste že srečali naloge, pri katerih morate narisati obliko, ne da bi dvignili svinčnik s papirja in vsako črto narisati samo enkrat. Izkazalo se je, da tak problem ni vedno rešljiv, tj. Obstajajo figure, ki jih s to metodo ni mogoče narisati. Vprašanje rešljivosti tovrstnih problemov je vključeno tudi v teorijo grafov. Prvi ga je leta 1736 raziskoval veliki nemški matematik Leonhard Euler, ko je rešil problem königsberških mostov. Zato se grafi, ki jih lahko narišemo na ta način, imenujejo Eulerjevi grafi.

Naloga 6. Ali je mogoče narisati graf, prikazan na sliki, ne da bi dvignili svinčnik s papirja in narisali vsak rob natanko enkrat?

rešitev.Če graf narišemo, kot je navedeno v pogoju, potem bomo v vsako točko, razen v začetno in končno, vstopili tolikokrat, kot iz nje izstopimo. To pomeni, da morajo biti vse točke grafa, razen dveh, sode. Naš graf ima tri liha oglišča, zato ga ni mogoče narisati na način, ki je določen v pogoju.

Zdaj smo dokazali izrek o Eulerjevih grafih:

Izrek: Eulerjev graf mora imeti največ dve lihi točki.

In na koncu - problem königsberških mostov.

Naloga 7. Slika prikazuje diagram mostov v mestu Königsberg.

Ali je mogoče hoditi tako, da vsak most prečkaš točno enkrat?

3. Težave za temo "Grafi"

Koncept grafa.

1. Na kvadratni plošči 3x3 so postavljeni 4 konji, kot je prikazano na sliki 1. Ali je mogoče, potem ko narediš več potez s konji, te prerazporediti v položaj, prikazan na sliki 2?

riž. 1

riž. 2

rešitev. Oštevilčimo polja na tabli, kot je prikazano na sliki:

Vsaki celici priredimo točko na ravnini in če lahko eno celico dosežemo s premikanjem šahovskega skakača iz ene celice, potem ustrezne točke povežemo s črto. Začetna in zahtevana postavitev vitezov je prikazana na slikah:

Za katero koli zaporedje potez konja se njihov vrstni red očitno ne more spremeniti. Zato je nemogoče preurediti konje na zahtevani način.

2. V državi števk je 9 mest z imeni 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Popotnik je ugotovil, da sta dve mesti povezani z letalsko linijo, če in samo če je dvomestno število, sestavljeno iz imen mest, deljenih s 3. Ali je možno leteti z letalom iz mesta 1 v mesto 9?

rešitev.Če vsakemu mestu pripišemo piko in piki povežemo s črto, če je vsota števil deljiva s 3, dobimo graf, v katerem so števila 3, 5, 9 med seboj povezana, niso pa povezana z počitek. To pomeni, da ne morete leteti iz mesta 1 v mesto 9.

Stopnje oglišč in štetje števila robov.

3. V državi je 100 mest in vsako mesto ima 4 ceste. Koliko cest je v državi?

rešitev. Preštejmo skupno število cest, ki zapuščajo mesto - 100 . 4 = 400. Vendar se pri tem izračunu vsaka cesta šteje 2-krat - zapusti eno mesto in vstopi v drugo. To pomeni, da je skupno dvakrat manj cest, tj. 200.

4. V razredu je 30 ljudi. Ali je mogoče, da ima 9 ljudi 3 prijatelje, 11 4 prijatelje in 10 5 prijateljev?

Odgovori. Ne (izrek o pariteti števila lihih vozlišč).

5. Kralj ima 19 vazalov. Je mogoče, da ima vsak vazal 1, 5 ali 9 sosedov?

Odgovori. Ne, ne more.

6. Ali ima lahko država, v kateri iz vsakega mesta izstopajo natanko 3 ceste, natanko 100 cest?

rešitev. Preštejmo število mest. Število cest je enako številu mest x pomnoženo s 3 (število cest, ki zapuščajo vsako mesto) in deljeno z 2 (glej nalogo 3). Potem je 100 = 3x/2 => 3x = 200, kar se ne more zgoditi z naravnim x. To pomeni, da v takem stanju ne more biti 100 cest.

7. Dokaži, da je število ljudi, ki so kdaj živeli na Zemlji in so se rokovali liho, sodo.

Dokaz sledi neposredno iz izreka o pariteti števila lihih vozlišč v grafu.

Povezljivost.

8. V državi 100 cest zapusti vsako mesto in iz vsakega mesta lahko pridete v katero koli drugo. Ena cesta je bila zaprta zaradi popravila. Dokažite, da zdaj lahko pridete iz katerega koli mesta v katero koli drugo.

Dokaz. Oglejmo si komponento povezljivosti, ki vključuje eno od mest, med katerima je bila cesta zaprta. Po izreku o pariteti števila lihih vozlišč vključuje tudi drugo mesto. To pomeni, da lahko še vedno najdete pot in pridete iz enega od teh mest v drugega.

Eulerjevi grafi.

9. Obstaja skupina otokov, ki so povezani z mostovi, tako da lahko z vsakega otoka pridete do katerega koli drugega. Turist je prehodil vse otoke in vsak most prečkal enkrat. Otok Threefold je obiskal trikrat. Koliko mostov vodi iz Troyekratnoye, če je turist

a) se ni začelo s tem in ni končalo z njim?
b) začeli z njim, vendar z njim niso končali?
c) z njim začel in z njim končal?

10. Na sliki je park, ki je z ograjami razdeljen na več delov. Ali se da sprehoditi po parku in okolici tako, da lahko enkrat preplezaš vsako ograjo?

Ničelni graf in popolni graf.

Obstaja nekaj posebnih grafov, ki se pojavljajo v mnogih aplikacijah teorije grafov. Za zdaj bomo graf spet obravnavali kot vizualni diagram, ki prikazuje potek športnih tekmovanj. Pred začetkom sezone, ko še ni bilo odigranih tekem, na grafu ni robov. Tak graf je sestavljen le iz izoliranih vozlišč, tj. vozlišč, ki niso povezana z robovi. To vrsto bomo imenovali graf ničelni graf. Na sl. 3 prikazuje takšne grafe za primere, ko je število ukazov ali vozlišč 1, 2, 3, 4 in 5. Ti ničelni grafi so običajno označeni s simboli O1, O2, O3 itd., tako da je On ničelni a graf z n vozlišči in brez robov.

Poglejmo še en skrajni primer. Predpostavimo, da ob koncu sezone vsaka ekipa igra eno tekmo proti vsaki od drugih ekip. Nato bo na ustreznem grafu vsak par vozlišč povezan z robom. Tak graf se imenuje celoten graf. Slika 4 prikazuje popolne grafe s številom vozlišč n = 1, 2, 3, 4, 5. Te popolne grafe označimo z U1, U2, U3, U4 oziroma U5, tako da je graf Un sestavljen iz 11 vozlišč in robove, ki povezujejo vse možne pare teh oglišč. Ta graf si lahko predstavljamo kot n-kotnik, v katerem so narisane vse diagonale.

Če imamo kakšen graf, na primer graf G, prikazan na sl. 1, ga lahko vedno spremenimo v popoln graf z enakimi vozlišči, tako da dodamo manjkajoče robove (to je robove, ki ustrezajo igram, ki jih je treba še igrati). Na sl. 5 smo to naredili za graf na sl. 1 (igre, ki še niso bile prikazane s pikčastimi črtami). Prav tako lahko ločeno narišete graf, ki ustreza prihodnjim igram, ki še niso bile odigrane. Za graf G bo rezultat tega graf, prikazan na sl. 6.

Ta novi graf imenujemo komplement grafa G; Običajno ga označujemo z G1. Če vzamemo komplement grafa G1, ponovno dobimo graf G. Robovi obeh grafov G1 in G skupaj tvorijo popoln graf.

Priljubljeno v kategoriji: