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가능한 한 완전한 그래프를 구성하십시오. 특성에 따른 그래프 구성. 기본 개념을 강화하는 그래프 문제

키워드:

그래픽 객체
컴퓨터 그래픽
래스터 그래픽
벡터 그래픽
형식 그래픽 파일

그림, 그림, 도면, 사진 및 기타 그래픽 이미지를 그래픽 개체라고 합니다.

3.2.1. 컴퓨터 그래픽의 응용 분야

컴퓨터 그래픽은 우리의 일부가 되었습니다. 기와. 적용됩니다:

측정 및 관찰 결과(예: 장기간에 걸친 기후 변화, 동물 개체군의 역학, 다양한 지역의 생태 상태 등에 대한 데이터), 사회학적 조사 결과를 시각적으로 표현하기 위해 계획된 지표, 통계 데이터, 의학 분야의 초음파 연구 결과 등
인테리어 및 조경 디자인을 개발할 때, 새로운 건물을 디자인할 때, 기술 장치및 기타 제품;
시뮬레이터와 컴퓨터 게임에서 비행기나 우주선의 비행, 자동차의 움직임 등 발생하는 다양한 상황을 시뮬레이션합니다.
영화 산업에서 온갖 종류의 특수 효과를 만들 때;
현대를 개발할 때 사용자 인터페이스 소프트웨어및 네트워크 정보 자원;
인간의 창의적 표현을 위한 것(디지털 사진, 디지털 페인팅, 컴퓨터 애니메이션 등)

컴퓨터 그래픽의 예가 그림 1에 나와 있습니다. 3.5.

쌀. 3.5.
컴퓨터 그래픽의 예

http://snowflakes.barkleyus.com/ - 컴퓨터 도구를 사용하면 눈송이를 "잘라낼" 수 있습니다.
http://www.pimptheface.com/create/ - 입술, 눈, 눈썹, 헤어스타일 및 기타 조각으로 구성된 대규모 라이브러리를 사용하여 얼굴을 만들 수 있습니다.
http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - 방에 맞는 새로운 가구와 마감재를 선택해 보세요.

3.2.2. 디지털 그래픽 제작 방법

컴퓨터를 사용하여 생성되거나 처리된 그래픽 개체는 컴퓨터 매체에 저장됩니다. 필요한 경우 종이나 기타 적절한 매체(필름, 판지, 직물 등)에 인쇄할 수 있습니다.

우리는 컴퓨터 미디어의 그래픽 객체를 디지털 그래픽 객체라고 부를 것입니다.

디지털 그래픽 개체를 얻는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

완성된 이미지를 디지털 카메라나 외부 메모리 장치에서 복사하거나 인터넷에서 "다운로드"합니다.
스캐너를 사용하여 종이에 존재하는 그래픽 이미지를 입력하는 단계;
소프트웨어를 사용하여 새로운 그래픽을 만듭니다.

스캐너의 작동 원리는 종이에 있는 이미지를 작은 정사각형(픽셀)으로 나누고 각 픽셀의 색상을 결정하여 컴퓨터 메모리에 이진 코드로 저장하는 것입니다.

스캔 결과 얻은 이미지의 품질은 픽셀 크기에 따라 달라집니다. 픽셀이 작을수록 원본 이미지가 더 많은 픽셀로 분할되고 이미지에 대한 더 완전한 정보가 컴퓨터로 전송됩니다.

픽셀 크기는 스캐너의 해상도에 따라 달라지며 일반적으로 dpi(인치당 도트 - 인치당 도트 1)로 표시되며 숫자 쌍(예: 600 x 1200dpi)으로 지정됩니다. 첫 번째 숫자는 1인치 길이의 이미지 라인에서 스캐너가 추출할 수 있는 픽셀 수입니다. 두 번째 숫자는 1인치 높이의 이미지 스트립을 분할할 수 있는 줄 수입니다.

1인치는 영국식 측정 체계의 길이 단위로 2.54cm와 같습니다.

일. 10 x 10 cm 크기의 컬러 이미지가 스캔됩니다. 스캐너 해상도는 1200 x 1200 dpi이고 색상 심도는 24비트입니다. 결과 그래픽 파일에는 어떤 정보량이 포함됩니까?

해결책. 스캔한 이미지의 크기는 약 4" x 4"입니다. 스캐너의 해상도를 고려하여 전체 이미지는 4 4 1200 1200 픽셀로 나뉩니다.

답변: 약 66MB입니다.

디지털 교육 자원 통합 컬렉션(http://school-collection.edu.ru/)에 게시된 애니메이션 "스캐너: 일반 작동 원리", "스캐너: 평판 스캐너"를 시청하는 것이 좋습니다. 이러한 리소스는 스캔 프로세스의 작동 방식을 더 잘 이해하는 데 도움이 됩니다. "디지털 카메라" 리소스는 디지털 사진을 촬영하는 방법을 보여줍니다(그림 3.6).

쌀. 3.6.
평판 스캐너 및 디지털 카메라

3.2.3. 래스터 및 벡터 그래픽

생성방식에 따라 그래픽 이미지래스터, 벡터 및 프랙탈 그래픽이 있습니다.

래스터 그래픽

안에 래스터 그래픽이미지는 행과 열을 형성하는 점(픽셀)의 모음인 래스터 형태로 형성됩니다. 각 픽셀은 수백만 가지 색상이 포함된 팔레트의 모든 색상을 취할 수 있습니다. 색상 정확도는 래스터 그래픽의 주요 장점입니다. 래스터 이미지가 컴퓨터 메모리에 저장되면 해당 이미지에 포함된 각 픽셀의 색상에 대한 정보가 저장됩니다.

래스터 이미지의 품질은 이미지의 픽셀 수와 팔레트의 색상 수에 따라 증가합니다. 동시에 전체 이미지의 정보량이 증가합니다. 정보량이 많다는 것은 래스터 이미지의 주요 단점 중 하나입니다.

래스터 이미지의 다음 단점은 크기 조정 시 몇 가지 어려움과 관련이 있습니다. 따라서 래스터 이미지가 축소되면 인접한 여러 픽셀이 하나로 변환되어 이미지의 작은 세부 사항에서 선명도가 손실됩니다. 래스터 이미지를 확대하면 새 픽셀이 추가되고 인접한 픽셀은 동일한 색상을 띠게 되어 계단 효과가 발생합니다(그림 3.7).

쌀. 3.7.
래스터 이미지 및 확대된 조각

래스터 그래픽은 손으로 만드는 경우가 거의 없습니다. 대부분의 경우 예술가가 준비한 삽화나 사진을 스캔하여 얻습니다. 최근에는 래스터 이미지를 컴퓨터에 입력하기 위해 디지털 카메라가 널리 사용되고 있습니다.

벡터 그래픽

많은 그래픽 이미지는 세그먼트, 원, 호, 직사각형 및 기타 기하학적 모양의 모음으로 표시될 수 있습니다. 예를 들어, 그림 1의 이미지. 3.8은 원, 세그먼트 및 직사각형으로 구성됩니다.

쌀. 3.8.
원, 선분, 직사각형으로 구성된 이미지

각 그림은 수학적으로 설명할 수 있습니다. 세그먼트와 직사각형 - 꼭지점 좌표, 원 - 중심 및 반경 좌표로 설명할 수 있습니다. 또한 선의 두께와 색상, 채우기 색상 및 기타 기하학적 모양의 속성을 설정할 수 있습니다. 안에 벡터 그래픽이미지는 그래픽 객체와 그 구성 공식을 설명하는 데이터 세트(벡터)를 기반으로 형성됩니다. 벡터 이미지를 저장할 때 이를 구성하는 가장 단순한 기하학적 개체에 대한 정보가 컴퓨터 메모리에 입력됩니다.

벡터 이미지의 정보량은 훨씬 작습니다. 정보량래스터 이미지. 예를 들어, 래스터 그래픽을 사용하여 원을 묘사하려면 원이 새겨진 사각형 영역의 모든 픽셀에 대한 정보가 필요합니다. 벡터 그래픽을 이용하여 원을 그리려면 한 점(중심)의 좌표와 반지름만 있으면 됩니다.

벡터 이미지의 또 다른 장점은 품질 저하 없이 크기를 조정할 수 있다는 것입니다(그림 3.9). 이는 벡터 개체를 변환할 때마다 이전 이미지가 삭제되고 대신 기존 수식을 사용하여 변경된 데이터를 고려하여 새 이미지가 구성되기 때문입니다.

쌀. 3.9.
벡터 이미지, 변환된 조각 및 이 조각이 "조립"되는 가장 단순한 기하학적 모양

동시에 모든 이미지가 단순한 기하학적 모양의 모음으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다. 이 프리젠테이션 방법은 도면, 다이어그램, 비즈니스 그래픽 및 이미지의 선명하고 명확한 윤곽을 유지하는 것이 특히 중요한 기타 경우에 적합합니다.

벡터 그래픽과 마찬가지로 프랙탈 그래픽은 수학적 계산을 기반으로 합니다. 그러나 벡터 그래픽과 달리 컴퓨터 메모리는 이미지를 구성하는 기하학적 모양에 대한 설명이 아니라 이미지를 구성하는 데 사용되는 수학 공식(방정식) 자체를 저장합니다. 프랙탈 이미지는 다양하고 기괴합니다(그림 3.10).

쌀. 3.10.
프랙탈 그래픽

이 문제에 대한 더 완전한 정보는 인터넷(예: http://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal)에서 찾을 수 있습니다.

3.2.4. 그래픽 파일 형식

그래픽 파일 형식은 외부 미디어에 그래픽 데이터를 표현하는 방법입니다. 그래픽 파일에는 래스터 및 벡터 형식이 있으며 그 중에는 범용 그래픽 형식과 그래픽 응용 프로그램의 독점(원본) 형식이 있습니다.

범용 그래픽 형식은 래스터(벡터) 그래픽을 사용하는 모든 응용 프로그램에서 "이해"됩니다.

범용 래스터 그래픽 형식은 BMP 형식입니다. 이 형식의 그래픽 파일은 각 픽셀의 색상에 대한 정보를 저장하기 위해 24비트를 할당하므로 정보량이 많습니다.

범용 비트맵 형식 GIF로 저장된 그림은 256가지 색상만 사용할 수 있습니다. 심플한 일러스트나 픽토그램에 적합한 팔레트입니다. 이 형식의 그래픽 파일은 정보량이 적습니다. 이는 다음에 사용되는 그래픽에 특히 중요합니다. 월드 와이드 웹, 사용자는 요청한 정보가 가능한 한 빨리 화면에 나타나기를 원합니다.

범용 래스터 형식 JPEG는 효율적인 이미지 저장을 위해 특별히 설계되었습니다. 사진 품질. 최신 컴퓨터 1,600만 개 이상의 색상을 재현하며 그 중 대부분은 사람의 눈으로는 쉽게 구분할 수 없습니다. JPEG 형식인간의 인식에 "과도한" 이웃 픽셀의 다양한 색상을 버릴 수 있습니다. 원본 정보 중 일부가 손실되지만 이렇게 하면 그래픽 파일의 정보량(압축)이 줄어듭니다. 사용자에게는 파일 압축 정도를 결정할 수 있는 기회가 제공됩니다. 저장되는 이미지가 대형 용지에 인쇄할 사진인 경우 정보 손실은 바람직하지 않습니다. 이 사진을 웹 페이지에 게시하면 수십 번 안전하게 압축할 수 있습니다. 나머지 정보는 모니터 화면에 이미지를 재현하기에 충분합니다.

범용 벡터 그래픽 형식에는 Microsoft 그림 모음을 저장하는 데 사용되는 WMF 형식이 포함됩니다(http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

범용 EPS 형식을 사용하면 래스터 및 벡터 그래픽 모두에 대한 정보를 저장할 수 있습니다. 2개의 파일을 인쇄 프로그램으로 가져오는 데 자주 사용됩니다.

2 파일이 생성되지 않은 프로그램에서 파일을 여는 과정입니다.

작업하는 과정에서 자신의 형식에 직접 익숙해질 것입니다. 그래픽 애플리케이션. 그들은 제공한다 최고의 비율파일의 이미지 품질 및 정보량은 파일을 생성하는 응용 프로그램 자체에서만 지원(즉, 인식 및 재생)됩니다.

문제 1. 1픽셀을 인코딩하는데 3바이트가 사용됩니다. 2048 x 1536 픽셀 크기의 사진은 압축되지 않은 파일로 저장되었습니다. 결과 파일의 크기를 결정합니다.

해결책.

답: 9MB.

문제 2. 압축되지 않은 128 x 128 픽셀 비트맵 이미지는 2KB의 메모리를 차지합니다. 이미지 팔레트에서 가능한 최대 색상 수는 몇 개입니까?

해결책.

답변: 2가지 색상 – 흑백.

가장 중요한

컴퓨터 그래픽은 다음을 가리키는 광범위한 개념입니다. 1) 컴퓨터를 사용하여 생성되거나 처리되는 다양한 유형의 그래픽 개체; 2) 컴퓨터를 그래픽 객체 생성 및 처리 도구로 사용하는 활동 영역.

그래픽 이미지를 생성하는 방법에 따라 래스터 그래픽과 벡터 그래픽이 구분됩니다.

래스터 그래픽에서 이미지는 행과 열을 형성하는 점(픽셀) 모음인 래스터 형태로 형성됩니다. 래스터 이미지가 컴퓨터 메모리에 저장되면 해당 이미지에 포함된 각 픽셀의 색상에 대한 정보가 저장됩니다.

벡터 그래픽에서 이미지는 특정 그래픽 객체와 해당 구성 공식을 설명하는 데이터 세트(벡터)를 기반으로 형성됩니다. 벡터 이미지를 저장할 때 이를 구성하는 가장 단순한 기하학적 개체에 대한 정보가 컴퓨터 메모리에 입력됩니다.

그래픽 파일 형식은 외부 미디어에 그래픽 데이터를 표현하는 방법입니다. 그래픽 파일에는 래스터 및 벡터 형식이 있으며 그 중에는 범용 그래픽 형식과 그래픽 응용 프로그램의 독점 형식이 있습니다.

질문 및 작업

컴퓨터 그래픽이란 무엇입니까?
컴퓨터 그래픽의 주요 응용 분야를 나열하십시오.
디지털 그래픽은 어떻게 제작될 수 있나요?
10 x 15 cm 크기의 컬러 이미지가 스캔됩니다. 스캐너 해상도는 600 x 600 dpi이고 색상 심도는 3바이트입니다. 결과 그래픽 파일에는 어떤 정보량이 포함됩니까?
이미지를 표현하는 래스터 방법과 벡터 방법의 차이점은 무엇입니까?
래스터 이미지가 색상을 매우 정확하게 전달한다고 믿는 이유는 무엇입니까?
래스터 이미지를 변환할 때 품질 저하(축소 또는 확대)가 가장 큰 작업은 무엇입니까? 이것을 어떻게 설명할 수 있나요?
크기 조정이 벡터 이미지의 품질에 영향을 주지 않는 이유는 무엇입니까?
다양한 그래픽 파일 형식을 어떻게 설명할 수 있나요?
범용 그래픽 형식과 독점 그래픽 응용 프로그램 형식의 주요 차이점은 무엇입니까?
섹션 3.2.4의 개념에 대해 가능한 한 완전한 그래프를 구성하십시오.
다음을 나타내는 래스터 및 벡터 이미지에 대해 자세히 설명합니다.
1024 x 512 픽셀 그림은 압축되지 않은 1.5MB 파일로 저장되었습니다. 픽셀의 색상을 인코딩하는 데 얼마나 많은 정보가 사용되었습니까? 이 색상 심도에 해당하는 팔레트의 가능한 최대 색상 수는 얼마입니까?
압축되지 않은 256 x 128픽셀 비트맵 이미지는 16KB의 메모리를 차지합니다. 이미지 팔레트에서 가능한 최대 색상 수는 몇 개입니까?

그래픽 파일 형식외부 미디어에 그래픽 데이터를 표현하는 방법입니다. 구별하다 래스터 및 벡터 형식그래픽 파일 중에는 다음과 같은 것들이 있습니다. 범용 그래픽 형식그리고 자신의 (원본) 형식의 그래픽 응용 프로그램.

범용 그래픽 형식은 래스터(벡터) 그래픽을 사용하는 모든 응용 프로그램에서 "이해"됩니다.

범용 래스터 그래픽 형식은 다음과 같습니다. BMP 형식. 이 형식의 그래픽 파일은 각 픽셀의 색상에 대한 정보를 저장하기 위해 24비트를 할당하므로 정보량이 많습니다.

범용 비트맵에 저장된 도면에서 GIF 형식, 256가지 색상만 사용할 수 있습니다. 심플한 일러스트나 픽토그램에 적합한 팔레트입니다. 이 형식의 그래픽 파일은 정보량이 적습니다. 이는 사용자가 요청한 정보가 가능한 한 빨리 화면에 나타나기를 원하는 World Wide Web에서 사용되는 그래픽에 특히 중요합니다.

유니버설 래스터 JPEG 형식사진 품질의 이미지를 효율적으로 저장하도록 특별히 설계되었습니다. 현대 컴퓨터는 1,600만 가지가 넘는 색상을 재현할 수 있으며, 그 중 대부분은 사람의 눈으로는 쉽게 구별할 수 없습니다. JPEG 형식을 사용하면 인간의 인식에 "과도한" 인접 픽셀의 다양한 색상을 버릴 수 있습니다. 원본 정보 중 일부가 손실되지만 이렇게 하면 그래픽 파일의 정보량(압축)이 줄어듭니다. 사용자에게는 파일 압축 정도를 결정할 수 있는 기회가 제공됩니다. 저장되는 이미지가 대형 용지에 인쇄할 사진인 경우 정보 손실은 바람직하지 않습니다. 이 사진을 웹 페이지에 배치하면 수십 번 안전하게 압축할 수 있습니다. 나머지 정보는 모니터 화면에 이미지를 재현하기에 충분합니다.

범용 벡터 그래픽 형식에는 다음이 포함됩니다. WMF 형식, Microsoft 사진 모음을 저장하는 데 사용됩니다.

만능인 EPS 형식래스터 및 벡터 그래픽 모두에 대한 정보를 저장할 수 있습니다. 인쇄 제작 프로그램으로 파일을 가져오는 데 자주 사용됩니다.

그래픽 응용 프로그램을 사용하는 과정에서 직접 자신의 형식에 익숙해질 것입니다. 최상의 이미지 품질과 파일 정보량 비율을 제공하지만 파일을 생성하는 애플리케이션 자체에서만 지원(인식 및 재생)됩니다.

작업 1.
1픽셀을 인코딩하는데 3바이트가 사용됩니다. 2048 x 1536 픽셀 크기의 사진은 압축되지 않은 파일로 저장되었습니다. 결과 파일의 크기를 결정합니다.

해결책:
나는 = 3바이트
K= 2048 1536
나 - ?

나=키
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1.5 2 10 3 = 9 2 20(바이트) = 9(MB).

답: 9MB.

작업 2.
압축되지 않은 128 x 128 픽셀 비트맵 이미지는 2KB의 메모리를 차지합니다. 이미지 팔레트에서 가능한 최대 색상 수는 몇 개입니까?

해결책:
케이 = 128 128
나는 = 2KB
N -?

나=키
나는=I/K
N=2i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1(비트) .
N = 2 1 = 2.

답변: 2가지 색상 – 흑백.

가장 중요한:

그래픽 파일 형식은 외부 미디어에 그래픽 데이터를 표현하는 방법입니다. 그래픽 파일에는 래스터 및 벡터 형식이 있으며 그 중에는 범용 그래픽 형식과 독점 그래픽 응용 프로그램 형식이 있습니다.

그래프 이론은 개별 요소(정점)로 표현되는 객체와 이들 사이의 연결(호, 모서리)을 연구하는 이산 수학의 한 분야입니다.

그래프 이론은 1736년 유명한 수학자 쾨니히스베르크(Königsberg) 교량 문제의 해결에서 유래되었습니다. 레너드 오일러(1707-1783: 스위스에서 태어나 러시아에서 살면서 일함)

Königsberg 교량에 관한 문제.

프레갈 강의 프로이센 마을인 쾨니히스베르크에는 7개의 다리가 있습니다. 각 다리를 정확히 한 번씩 건너고 같은 장소에서 시작하고 끝나는 산책로를 찾을 수 있을까요?

같은 꼭지점에서 시작하고 끝나며, 그래프의 모든 변을 정확히 한 번씩 통과하는 경로가 있는 그래프를 그래프라고 합니다.오일러 그래프.

원하는 경로가 통과하는 정점 시퀀스(반복될 수 있음)와 경로 자체를 호출합니다.오일러 사이클 .

세 집과 세 우물의 문제.

세 채의 집과 세 개의 우물이 비행기 위에 위치해 있습니다. 경로가 교차하지 않도록 각 집에서 각 우물까지 경로를 그립니다. 이 문제는 1930년 Kuratovsky(1896~1979)에 의해 해결되었습니다(해결책이 없음이 밝혀졌습니다).

4색 문제. 평면을 교차하지 않는 영역으로 분할하는 것을 호출합니다. 카드로. 지도 영역에 공통 경계가 있는 경우 인접 영역이라고 합니다. 임무는 인접한 두 영역이 동일한 색상으로 칠해지지 않도록 지도를 색칠하는 것입니다. 19세기 말부터 4가지 색상이면 충분하다는 가설이 알려졌습니다. 가설은 아직 입증되지 않았습니다.

게시된 솔루션의 핵심은 4색 정리에 대한 크지만 유한한 수(약 2000개) 유형의 잠재적 반례를 시도하고 단 하나의 사례도 반례가 아님을 보여주는 것입니다. 이 검색은 약 1000시간의 슈퍼컴퓨터 작업으로 프로그램에 의해 완료되었습니다.

결과 솔루션을 "수동으로" 확인하는 것은 불가능합니다. 열거 범위는 인간의 능력 범위를 벗어납니다. 많은 수학자들은 다음과 같은 질문을 제기합니다. 이러한 "프로그램 증명"이 유효한 증명으로 간주될 수 있습니까? 결국 프로그램에 오류가 있을 수도 있으니...

따라서 우리는 저자의 프로그래밍 기술에만 의존할 수 있으며 그들이 모든 것을 올바르게 수행했다고 믿을 수 있습니다.

정의 7.1. 세다 G= G(V, 이자형)는 두 개의 유한 집합의 모음입니다. V – 호출 많은 정점 V의 요소 쌍으로 구성된 집합 E, 즉 EÍV'V, 호출됨 많은 모서리, 쌍이 순서가 지정되지 않은 경우, 또는 많은 호, 쌍을 주문한 경우.

첫 번째 경우 그래프는 G(V, 이자형) ~라고 불리는 어려운, 두 번째 – 지향.

예. 정점 집합 V = (a,b,c)와 간선 집합 E =((a, b), (b, c))가 있는 그래프

예. V = (a,b,c,d,e) 및 E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) 인 그래프, (CD)),

e=(v 1 ,v 2), еОЕ이면 가장자리가 e라고 말합니다. 연결하다정점 v 1과 v 2.

두 꼭짓점 v 1, v 2가 호출됩니다. 인접한, 그들을 연결하는 가장자리가 있는 경우. 이 상황에서 각 정점은 다음과 같이 불립니다. 부대 해당 가장자리 .

두 개의 서로 다른 갈비뼈 인접한, 공통 정점이 있는 경우. 이 상황에서 각 모서리를 모서리라고 합니다. 부대 해당 정점 .

그래프 정점 수 G나타내자 V, 간선 수는 다음과 같습니다. 이자형:

그래프의 기하학적 표현은 다음과 같습니다.

1) 그래프의 꼭지점은 공간(평면)의 한 점입니다.

2) 무방향 그래프의 가장자리 - 세그먼트;

3) 유향 그래프의 호 – 유향 세그먼트.

정의 7.2.간선 e=(v 1 ,v 2)에 v 1 =v 2 가 있으면 간선 e가 호출됩니다. 고리. 그래프가 루프를 허용하면 호출됩니다. 루프가 있는 그래프 또는 의사 .

그래프가 두 정점 사이에 둘 이상의 간선을 허용하는 경우 이를 호출합니다. 다중 그래프 .

그래프 및/또는 간선의 각 꼭지점에 레이블이 지정되면 해당 그래프를 호출합니다. 두드러진 (또는 짐을 실은 ). 문자나 정수는 일반적으로 표시로 사용됩니다.

정의 7.3.그래프 G (V , 이자형 ) ~라고 불리는 하위 그래프 (또는 부분 ) 그래프 G(V,이자형), 만약에 V V, 이자형 이자형. 만약에 V = V, 저것 G ~라고 불리는 스패닝 하위 그래프 G.

예 7 . 1 . 방향이 없는 그래프가 주어졌습니다.

정의 7.4.그래프라고 합니다 완벽한 , 만약에 어느 두 정점은 모서리로 연결됩니다. 다음을 사용하여 그래프를 완성하세요. N정점은 다음과 같이 표시됩니다. 케이 N .

K 카운트 2 , 에게 3, 에게 4 그리고 K 5 .

정의 7.5.그래프 G=G(V, 이자형) 라고 한다 쌍자엽의 , 만약에 V서로소 집합의 합집합으로 표현될 수 있습니다. V=ㅏ비이므로 각 모서리의 형식은 ( V 나 , V 제이), 어디 V 나 ㅏ그리고 V 제이 비.

각 모서리는 A의 꼭지점을 B의 꼭지점에 연결하지만 A의 두 꼭지점 또는 B의 두 꼭지점은 연결되지 않습니다.

이분 그래프(bipartite graph)라고 불린다. 완전한 쌍자엽 세다 케이 중 , N, 만약에 ㅏ포함 중봉우리, 비포함 N정점과 각각에 대해 V 나 ㅏ, V 제이 비우리는 ( V 나 , V 제이)이자형.

따라서 모든 사람에게 V 나 ㅏ, 그리고 V 제이 비그들을 연결하는 가장자리가 있습니다.

케이 12케이 23케이 22케이 33

예 7 . 2 . 완전한 이분 그래프 구성 케이 2.4 및 전체 그래프 케이 4 .

단위 그래프N-차원 큐브안에 N .

그래프의 꼭짓점은 n차원 이진 집합입니다. 모서리는 하나의 좌표가 다른 정점을 연결합니다.

예:

문제 1과 유사한 여러 문제를 분석한 후 그래프의 개념을 도입하는 것이 바람직하며, 결정적인 고려 사항은 그래픽 표현입니다. 학생들이 동일한 그래프를 그릴 수 있다는 것을 즉시 깨닫는 것이 중요합니다. 다른 방법들. 내 생각에는 그래프에 대해 엄격한 정의를 내릴 필요는 없다. 그것은 너무 번거롭고 토론을 복잡하게 만들 뿐입니다. 처음에는 직관적인 개념이면 충분합니다. 동형의 개념을 논의할 때 동형 그래프와 비동형 그래프를 식별하기 위한 몇 가지 연습 문제를 해결할 수 있습니다. 주제의 핵심 포인트 중 하나는 홀수 정점 수의 패리티에 대한 정리입니다. 학생들이 증명을 완전히 이해하고 이를 문제 해결에 적용하는 방법을 배우는 것이 중요합니다. 여러 문제를 분석할 때 정리를 언급하기보다는 실제로 그 증명을 반복하는 것이 좋습니다. 그래프 연결성의 개념도 매우 중요합니다. 여기서 의미 있는 고려 사항은 연결 구성 요소에 대한 고려 사항입니다. 이에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 오일러 그래프는 거의 게임 주제입니다.

그래프를 공부할 때 추구해야 할 첫 번째이자 주요 목표는 학생들에게 문제 설명의 그래프를 보고 조건을 그래프 이론의 언어로 올바르게 번역하도록 가르치는 것입니다. 연속해서 여러 수업에 참여하는 모든 사람에게 두 가지를 모두 알려서는 안됩니다. 2~3학년에 걸쳐 수업을 분산시키는 것이 좋습니다. (첨부된 내용은 6학년 "그래프의 개념. 문제 해결에 그래프 적용" 수업의 전개 내용입니다.)

2. "그래프"주제에 대한 이론적 자료.

소개

그래프는 훌륭한 수학적 개체입니다. 도움을 받으면 겉으로는 서로 다른 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 수학에는 그래프, 속성 및 응용을 연구하는 그래프 이론이라는 전체 섹션이 있습니다. 가장 기본적인 개념, 그래프의 속성, 문제 해결 방법에 대해서만 논의하겠습니다.

그래프의 개념

두 가지 문제를 고려해 보겠습니다.

작업 1. 태양계의 9개 행성 사이에 우주 통신이 확립되었습니다. 일반 로켓은 다음 경로로 비행합니다: 지구-수성; 명왕성 - 금성; 지구 - 명왕성; 명왕성 - 수성; 수성 - 비엔나; 천왕성-해왕성; 해왕성-토성; 토성 – 목성; 목성 - 화성과 화성 - 천왕성. 지구에서 화성까지 일반 로켓을 타고 날아갈 수 있나요?

해결책:조건에 대한 다이어그램을 그려 보겠습니다. 행성을 점으로 묘사하고 로켓 경로를 선으로 묘사합니다.

이제 지구에서 화성으로 비행하는 것이 불가능하다는 것이 즉시 분명해졌습니다.

작업 2. 보드는 4x4 정사각형에서 모서리 정사각형을 제거하여 얻은 이중 십자가 모양입니다.

체스 나이트를 움직여서 원래의 사각형으로 돌아가서 모든 사각형을 정확히 한 번씩 방문하면 이를 우회할 수 있습니까?

해결책:보드의 사각형에 순차적으로 번호를 매겨 보겠습니다.

이제 그림을 사용하여 조건에 표시된 대로 테이블 순회가 가능함을 보여줍니다.

우리는 서로 다른 두 가지 문제를 고려했습니다. 그러나 이 두 가지 문제에 대한 솔루션은 솔루션의 그래픽 표현이라는 공통 아이디어로 통합됩니다. 동시에 각 작업에 대해 그려진 그림은 유사한 것으로 나타났습니다. 각 그림은 여러 개의 점으로 구성되어 있으며 그 중 일부는 선으로 연결되어 있습니다.

그런 사진을 이렇게 부른다. 그래프. 포인트라고 합니다 봉우리, 그리고 라인 - 갈비 살그래프. 이 유형의 모든 그림을 그래프라고 부르는 것은 아닙니다. 예를 들어. 노트에 오각형을 그리라는 요청을 받으면 그러한 그림은 그래프가 아닙니다. 이전 문제에서처럼 이러한 유형의 그림을 구성한 특정 작업이 있는 경우 그래프라고 부를 것입니다.

또 다른 참고 사항은 그래프의 모양에 관한 것입니다. 동일한 문제에 대한 그래프가 다른 방식으로 그려질 수 있는지 확인해보세요. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 다양한 작업에 대해 동일한 모양의 그래프를 그릴 수 있습니다. 여기서 중요한 것은 어떤 정점이 서로 연결되어 있고 어떤 정점이 연결되어 있지 않은지입니다. 예를 들어 작업 1에 대한 그래프는 다르게 그려질 수 있습니다.

이렇게 동일하지만 다르게 그려진 그래프를 호출합니다. 동형의.

정점의 각도와 그래프의 모서리 수 계산

정의를 하나 더 적어 보겠습니다. 그래프에서 정점의 각도는 정점에서 나타나는 가장자리의 수입니다. 여기서, 짝수 차수의 꼭지점을 각각 짝수 꼭지점, 홀수 차수를 갖는 꼭지점을 홀수 꼭지점이라 한다.

그래프 이론의 주요 정리 중 하나는 꼭지점 차수의 개념, 즉 홀수 꼭지점 수의 공정성에 관한 정리와 관련이 있습니다. 우리는 그것을 잠시 후에 증명할 것입니다. 그러나 먼저 설명을 위해 문제를 고려해 보겠습니다.

작업 3. Malenky 마을에는 15개의 전화기가 있습니다. 각 전화기가 정확히 5개의 다른 전화기에 연결되도록 전선으로 연결할 수 있습니까?

해결책:이러한 전화 연결이 가능하다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 정점이 전화기를 나타내고 모서리가 전화기를 연결하는 와이어를 나타내는 그래프를 상상해 보십시오. 총 몇 개의 전선이 있는지 세어 봅시다. 각 전화기에는 정확히 5개의 전선이 연결되어 있습니다. 그래프의 각 정점의 차수는 다음과 같습니다. 5. 와이어 수를 찾으려면 그래프의 모든 정점의 각도를 합산하고 결과 결과를 2로 나누어야 합니다(각 와이어에는 두 개의 끝이 있으므로 각도를 합산하면 각 와이어가 2번 사용됩니다). . 그러나 전선 수가 달라집니다. 하지만 이 숫자는 정수가 아니다. 이는 각 전화기가 정확히 5개의 다른 전화기에 연결될 수 있다는 우리의 가정이 잘못된 것으로 판명되었음을 의미합니다.

답변.이런 식으로 전화를 연결하는 것은 불가능합니다.

정리: 모든 그래프에는 짝수 개의 홀수 정점이 포함되어 있습니다.

증거:그래프의 모서리 수는 꼭지점 각도의 합의 절반과 같습니다. 모서리의 개수는 정수여야 하므로 꼭짓점의 차수의 합도 짝수여야 합니다. 그리고 이는 그래프에 짝수 개의 홀수 정점이 포함된 경우에만 가능합니다.

그래프 연결성

그래프와 관련된 또 다른 중요한 개념, 즉 연결성의 개념이 있습니다.

그래프라고 합니다 일관성,정점 중 두 개가 연결될 수 있는 경우 에 의해,저것들. 가장자리의 연속 시퀀스. 그래프 연결성 개념을 기반으로 해결하는 문제가 많이 있습니다.

작업 4. 세븐의 나라에는 15개의 도시가 있으며, 각 도시는 적어도 7개의 다른 도시와 도로로 연결되어 있습니다. 모든 도시에서 다른 도시로 이동하는 것이 유행이라는 것을 증명하세요.

증거: 임의의 두 도시 A와 B를 고려하고 두 도시 사이에 경로가 없다고 가정합니다. 각각은 적어도 7개의 다른 도시와 도로로 연결되어 있으며, 문제의 두 도시와 연결된 도시는 없습니다(그렇지 않으면 A에서 B로 가는 경로가 있을 것입니다). 다음 도시에 해당하는 그래프의 일부를 그려 보겠습니다.

이제 우리는 문제의 조건과 모순되는 적어도 16개의 다른 도시를 받았다는 것을 분명히 알 수 있습니다. 이는 그 진술이 모순으로 입증되었음을 의미합니다.

이전 정의를 고려하면 문제에 대한 설명을 다른 방식으로 다시 공식화할 수 있습니다. "7국가의 도로 그래프가 연결되어 있음을 증명하십시오."

이제 연결된 그래프가 어떻게 생겼는지 알 수 있습니다. 연결이 끊긴 그래프는 여러 "조각"의 형태를 가지며, 각 조각은 가장자리가 없는 별도의 정점이거나 연결된 그래프입니다. 그림에서 연결이 끊긴 그래프의 예를 볼 수 있습니다.

그러한 각각의 개별 작품을 그래프의 연결된 구성 요소.각 연결된 구성 요소는 연결된 그래프를 나타내며 연결된 그래프에 대해 입증된 모든 설명은 이를 유지합니다. 연결된 구성요소를 사용하는 문제의 예를 살펴보겠습니다.

문제 5. Far Far Away Kingdom에는 날아다니는 양탄자라는 한 가지 유형의 교통수단만 있습니다. 수도에서 출발하는 카펫 노선은 21개이며, 하나는 Dalniy 시에서, 20개는 다른 모든 도시에서 출발합니다. 수도에서 Dalniy 시까지 비행기를 타고 갈 수 있음을 증명하세요.

증거:왕국의 양탄자를 그래프로 그리면 일관성이 없을 수 있다는 것은 분명합니다. 왕국 수도를 포함하는 연결 구성 요소를 살펴보겠습니다. 수도에서 21개의 카펫이 나오고 Dalniy시를 제외한 다른 도시에서는 20개가 나옵니다. 따라서 짝수의 홀수 정점에 대한 법칙이 충족되려면 Dalniy 시가 포함되어야 합니다. 동일한 연결 구성 요소에서. 그리고 연결된 구성 요소는 연결된 그래프이기 때문에 수도에서 카펫을 따라 Dalniy 시까지 가는 경로가 있는데, 이는 입증이 필요한 것입니다.

오일러 그래프

아마도 종이에서 연필을 떼지 않고 각 선을 한 번만 그리지 않고 모양을 그려야 하는 작업에 직면했을 것입니다. 그러한 문제가 항상 해결 가능한 것은 아니라는 것이 밝혀졌습니다. 이 방법으로는 그릴 수 없는 도형이 있습니다. 이러한 문제의 해결 가능성에 대한 질문도 그래프 이론에 포함됩니다. 1736년 독일의 위대한 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 쾨니히스베르크(Königsberg) 교량 문제를 해결하면서 처음으로 이를 탐구했습니다. 따라서 이렇게 그릴 수 있는 그래프를 오일러 그래프(Euler graph)라고 합니다.

작업 6. 종이에서 연필을 떼지 않고 각 모서리를 정확히 한 번씩 그리지 않고도 그림에 표시된 그래프를 그릴 수 있습니까?

해결책.조건에 명시된 대로 그래프를 그리면 초기 및 최종 정점을 제외한 각 정점에 종료할 때와 동일한 횟수만큼 입력됩니다. 즉, 그래프의 두 꼭짓점을 제외한 모든 꼭짓점이 짝수여야 합니다. 우리 그래프에는 세 개의 홀수 정점이 있으므로 조건에 지정된 방식으로 그릴 수 없습니다.

이제 우리는 오일러 그래프에 대한 정리를 증명했습니다.

정리: 오일러 그래프에는 최대 2개의 홀수 정점이 있어야 합니다.

결론적으로 Königsberg 교량의 문제입니다.

작업 7. 그림은 Königsberg 시의 교량 다이어그램을 보여줍니다.

각 다리를 정확히 한 번씩 건너도록 산책하는 것이 가능한가요?

3. “그래프” 주제에 대한 문제

그래프의 개념.

1. 3x3 정사각형 보드에 그림 1과 같이 4명의 기사가 배치됩니다. 기사와 함께 여러 번 이동한 후 그림 2에 표시된 위치로 재배열하는 것이 가능합니까?

쌀. 1

쌀. 2

해결책.그림과 같이 보드의 사각형에 번호를 매겨 보겠습니다.

각 셀에 평면 위의 점을 할당하고, 한 셀에서 체스 기사를 움직여서 한 셀에 도달할 수 있다면 해당 점을 선으로 연결하겠습니다. 기사의 초기 및 필수 배치는 그림에 표시되어 있습니다.

기사 이동 순서에 대해 순서는 분명히 바뀔 수 없습니다. 따라서 말을 원하는 방식으로 재배치하는 것은 불가능합니다.

2. Digit 국가에는 이름이 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9인 9개의 도시가 있습니다. 여행자는 두 자리 숫자가 다음과 같은 경우에만 두 도시가 항공사로 연결된다는 것을 발견했습니다. 도시 이름으로 구성된 숫자를 3으로 나눈 값입니다. 1번 도시에서 9번 도시까지 비행기로 비행할 수 있나요?

해결책.각 도시에 점을 부여하고 그 점들을 선으로 연결하여 숫자의 합이 3으로 나누어지면 숫자 3, 5, 9가 서로 연결되어 있지만 도시와는 연결되지 않은 그래프가 나온다. 나머지. 즉, 1번 도시에서 9번 도시로 비행할 수 없습니다.

꼭지점의 각도와 가장자리의 수를 계산합니다.

3. 한 주에는 100개의 도시가 있고, 각 도시에는 4개의 도로가 있습니다. 주에는 도로가 몇 개 있나요?

해결책.도시를 떠나는 총 도로 수를 세어 봅시다 - 100 . 4 = 400. 그러나 이 계산에서는 각 도로가 2번 계산됩니다. 즉, 한 도시를 떠나 다른 도시로 들어갑니다. 이는 총 도로 수가 2배 적다는 것을 의미합니다. 200.

4. 학급에는 30명이 있습니다. 9명은 3명의 친구가 있고, 11명은 4명의 친구가 있고, 10명은 5명의 친구가 있을 수 있습니까?

답변.아니요(홀수 정점 수의 패리티에 관한 정리).

5. 왕에게는 19명의 신하가 있다. 각 가신에는 1, 5 또는 9명의 이웃이 있을 수 있습니까?

답변.아니요, 그럴 수 없습니다.

6. 각 도시에서 정확히 3개의 도로가 나가는 주가 정확히 100개의 도로를 가질 수 있습니까?

해결책. 도시의 수를 세어 봅시다. 도로 수는 도시 수 x 3(각 도시를 떠나는 도로 수)을 곱하고 2로 나눈 값과 같습니다(문제 3 참조). 그러면 100 = 3x/2 => 3x = 200이며 이는 자연 x에서는 발생할 수 없습니다. 이는 그러한 상태에 100개의 도로가 있을 수 없음을 의미합니다.

7. 지구에 살면서 홀수 번 악수를 한 사람의 수가 짝수임을 증명하세요.

증명은 그래프의 홀수 꼭지점 수의 패리티에 대한 정리에서 직접 따릅니다.

연결성.

8. 전국에는 각 도시에서 100개의 도로가 있으며, 각 도시에서 다른 도시로 이동할 수 있습니다. 한 도로는 수리를 위해 폐쇄되었습니다. 이제 어느 도시에서든 다른 도시로 이동할 수 있음을 증명하세요.

증거. 도로가 폐쇄된 도시 중 하나를 포함하는 연결 구성 요소를 고려해 보겠습니다. 홀수 꼭지점 수의 패리티에 관한 정리에 따라 두 번째 도시도 포함됩니다. 이는 여전히 경로를 찾고 이러한 도시 중 하나에서 다른 도시로 이동할 수 있음을 의미합니다.

오일러 그래프.

9. 각 섬에서 다른 섬으로 이동할 수 있도록 다리로 연결된 섬 그룹이 있습니다. 관광객은 모든 섬을 돌아다니며 각 다리를 한 번씩 건너갔습니다. 그는 Threefold Island를 세 번 방문했습니다. 관광객이라면 Troyekratnoye에서 몇 개의 다리가 연결됩니까?

a) 그것으로 시작하지도 않았고 그것으로 끝나지도 않았나요?
b) 시작했지만 끝나지 않았나요?
c) 그것으로 시작해서 그것으로 끝났는가?

10. 사진은 울타리로 여러 부분으로 나누어진 공원을 보여줍니다. 각 울타리를 한 번씩 넘어갈 수 있도록 공원과 그 주변을 산책하는 것이 가능한가요?

널 그래프와 전체 그래프.

그래프 이론의 다양한 응용 분야에 나타나는 몇 가지 특별한 그래프가 있습니다. 지금은 그래프를 스포츠 경기 과정을 보여주는 시각적 다이어그램으로 다시 생각해 보겠습니다. 시즌 시작 전, 아직 경기가 진행되지 않았지만 그래프에는 가장자리가 없습니다. 이러한 그래프는 고립된 정점들로만 구성됩니다. 모서리 없이 연결된 정점의 수입니다. 우리는 이런 유형의 그래프를 부를 것입니다 널 그래프. 그림에서. 도 3은 명령 또는 정점의 수가 1, 2, 3, 4 및 5인 경우에 대한 그래프를 보여줍니다. 이러한 널 그래프는 일반적으로 기호 O1, O2, O3 등으로 표시되므로 On은 널 a입니다. n개의 정점이 있고 간선이 없는 그래프입니다.

또 다른 극단적인 경우를 생각해 보자. 시즌이 끝나면 각 팀이 다른 팀과 한 게임씩 경기를 펼친다고 가정해 보겠습니다. 그러면 해당 그래프에서 각 정점 쌍이 가장자리로 연결됩니다. 그러한 그래프를 이렇게 부른다. 완전한 그래프. 그림 4는 꼭지점 수 n = 1, 2, 3, 4, 5인 완전한 그래프를 보여줍니다. 이 완전한 그래프를 각각 U1, U2, U3, U4 및 U5로 표시하므로 그래프 Un은 11개의 꼭지점과 이러한 정점의 가능한 모든 쌍을 연결합니다. 이 그래프는 모든 대각선이 그려지는 n각형으로 생각할 수 있습니다.

예를 들어 그림 1에 표시된 그래프 G와 같은 그래프가 있습니다. 1, 누락된 가장자리(즉, 아직 플레이되지 않은 게임에 해당하는 가장자리)를 추가하여 항상 동일한 정점을 가진 완전한 그래프로 바꿀 수 있습니다. 그림에서. 5 우리는 그림의 그래프에 대해 이 작업을 수행했습니다. 1 (아직 진행되지 않은 게임은 점선으로 표시됨) 아직 플레이하지 않은 향후 게임에 해당하는 그래프를 별도로 그릴 수도 있습니다. 그래프 G의 경우 그림 1에 표시된 그래프가 생성됩니다. 6.

우리는 이 새로운 그래프를 그래프 G의 보수라고 부릅니다. G1으로 표시하는 것이 일반적입니다. 그래프 G1의 보수를 취하면 다시 그래프 G를 얻습니다. 두 그래프 G1과 G의 가장자리가 함께 완전한 그래프를 형성합니다.

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